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上海中学、复旦附中等八校2011届高三联合调研数学理试题


上海八校 2011 届高三联合调研考试
[来源:学科网 ZXXK]

数学试题(理科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚. 2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格

填对 得 4 分,否则一律得零分.
[来源:学科网 ZXXK]

1. 函数 y ? 2x ? 1 的反函数为 2. 平面上的点 A(3, 4) 绕原点顺时针旋转 3. 设 m 是实数.若复数
2



π 后, 所得点 B 的坐标为 2

. .

1? i 的实部为 0 ( i 表示虚数单位 ), 则 m ? m?i


4. 若复数 z 是方程 x ? 2 x ? 4 ? 0 的一个根, 则 | z |? 5. 在右边所示流程图中, 若输入的 为 .
2 2

x 值是 3 , 则最后输出的 n 的值

开始

n←1

6. 设 m 是正实数.若椭圆

x y ? ? 1 的焦距为 8 , 则 m ? 16 9
2

输入x

m?



7. 设 k 是实数.若方程 则 k 的取值范围为

x y ? ? 1 表示的曲线是双曲线, k ?4 k ?4


2

2

x←3x n←n+1

否 x≥2000 是 输出n

1 3 2a
8. 已知命题“ a ? A ”是命题“ 1 a

1 1

1 ? 0 ”的充分非必要条件, 请写出一个 1

[来源:学科网]

满足条件的非空集合 A , 你写的非空集合 A 是 9. 设全集 U ? R .若集合 A ? ? x

结束

? 1 ? ? 1? , 则 ? A ? U ? x ?



10.设 A 是三角形的内 角.若 sin A ? cos A ?

1 , 则 tan 2 A ? 5



11.设 a 是实数.若函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 1| 是定义在 R 上的奇函数, 但不是偶函数, 则函数 f ( x ) 的 递增区间为 .
*

12 . 在 数 列 {an } 中 , a1 ? 0 , 当 n ? N 时 , an?1 ? ?

?1 ? ? 1? an . 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 则 ?n ?

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lim
n ??

S2 n ? Sn



13.若平面向量 a, b 满足 | a |? 2 , (2a ? b ) ? b ? 12 , 则 | b | 的取值范围为

? ?

?

?

? ?

?



?? a 14.设 S1 ? ?? ? ?? c ?
已知矩阵 ?

?? a ? b? ? ? ? a, b, c, d ? R, b ? c ? , S2 ? ?? c d? ?? ? ? ?

? b? ? ? a, b, c, d ? R, a ? d ? b ? c ? 0 ? . d? ? ?


? 2 4? ? ? A ? B , 其中 A ? S1 , B ? S2 .那么 A ? B ? ?6 8?

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有 且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.根据以下各组条件解三角形, 解不唯一的是 ( ) ...
? ? A. A ? 60 , B ? 75 , c ? 1 ? C. a ? 5 , b ? 10 , A ? 30 . ? B. a ? 5 , b ? 10 , A ? 15 . ? D. a ? 15 , b ? 10 , A ? 30 .

16.对于数列 {an } , 如果存在正实数 M , 使得数列中每一项的绝对值均不大于 M , 那么称该数列为有界 的, 否则称它为无界的.在以下各数列中, 无界的数列为 A. a1 ? 2 , an?1 ? ?2an ? 3 . C. a1 ? 2 , an?1 ? arctan an ? 1 . B. a1 ? 2 , an ?1 ? ( )

an ?1. 2

D. a1 ? 2 , an?1 ? 2 an ? 1 .
2

17.设 a, b, k 是实数, 二次函数 f ( x) ? x ? ax ? b 满足: f (k ? 1) 与 f ( k ) 异号, f (k ? 1) 与 f ( k ) 同 号.在以下关于 f ( x ) 的零点的命题中, 假命题的序号为 ① 该二次函数的两个零点之差一定大于 2 ; ② 该二次函数的零点都小于 k ; ③ 该二次函数的零点都大于 k ? 1 . A.① . ② B.② . ③ C.① . ③ ( )

D.① ③ ② .

18.将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , 不同的标字母方式共有 ( ) A.24 种 B.48 种 C.72 种 D.144 种 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤 . 19.(本题满分 12 分) 已知 a 是实数, 三条直线 2 x ? y ? 5 ? 0 , x ? y ? a ? 4 ? 0 , x ? a ? 0 中任意两条的交点均不在椭圆

x2 ? 2 y 2 ? 11 上, 求 a 的取值范围.
20.(本题满分 12 分)

[来源:学科网 ZXXK]

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某学生解下面的题目时, 出现了错误.指出该学生 从哪一个步骤开始犯了第一个错误, 并从该步骤开 始改正他的解答. 【题目】有一块铁皮零件, 它的形状是由边长为 40 cm 的正方形 CDEF 截去一个三角形 ABF 所得的五边形 ABCDE , 其中 AF 长 等于 12 cm, BF 长等于 10 cm, 如图所示.现在需要截取矩形铁皮, 使得矩形相邻两边在 CD, DE 上.请问如何截取, 可以使得到的矩形 面积最大? (图中单位: cm) 21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小 题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? sin

x x 1 π? ? cos ? sin ? x ? ? . 2 2 2 2? ?

(1) 写出 f ( x ) 的最小正周期以及单调区间; (2) 若函数 h( x) ? cos ? x ? 的 x 的集合. 22. (本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 可以证明, 对任意的 n ? N , 有 (1 ? 2 ? ? ? n)2 ? 13 ? 23 ? ? ? n3 成立.下面尝试推广该命题:
*

? ?

5π ? ? , 求函数 y ? log2 f ( x) ? log2 h( x) 的最大值, 以及使其取得最大值 4 ?

( 1 )

设 由 三 项 组 成 的 数 列 a1 , a2 , a3 每 项 均 非 零 , 且 对 任 意 的 n ? {1, 2, 3} 有

3 3 3 (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ? a1 ? a2 ? ? ? an 成立, 求所有满足条件的数列; 3 3 3 (2) 设数列 {an } 每项均非零, 且对任意的 n ? N 有 (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ? a1 ? a2 ? ? ? an 成立, 数
*

2 列 {an } 的前 n 项和为 Sn .求证: an?1 ? an?1 ? 2Sn , n ? N ;
*

(3) 是否存在满足(2)中条 件的无穷数列 {an } , 使得 a2012 ? ?2011 ? 若存在, 写出一个这样 的无穷 数列(不需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由.
[来源:学§科§网]

23. (本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? x x ? 2m , 常数 m ? R . (1) 设 m ? 0 .求证: 函数 f ( x ) 递增; (2) 设 m ? 0 .若函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最大值为 m , 求正实数 m 的取值范围;
2

(3) 设 ?2 ? m ? 0 .记 f1 ( x) ? f ( x) , f k ?1 ( x) ? f k ( f ( x)) , k ? N .设 n 是正整数, 求关于 x 的方
*

程 f n ( x) ? 0 的解的个数.
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