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二次函数公式


★二次函数知识点汇总★
1.定义:一般地,如果 y ? ax 2.二次函数 y ? ax 的性质
2 2 2

? bx ? c ( a , b , c 是常数, a ? 0 ) ,那么 y 叫做 x 的二次函数.

(1)抛物线 y ? ax ( a ? 0) 的顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴.(2)函数 y ? ax 的图像与 a 的符号关系. ①当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向上 ? 顶点为其最低点;②当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向下 ? 顶点为其最高点
2

3.二次函数 y ? ax

2

? bx ? c 的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线.
2

2 4.二次函数 y ? ax ? bx ? c 用配方法可化成: y ? a ? x ? h ? ? k 的形式,其中 h

? ?

b 2a

,k ?

4 ac ? b 4a

2

.

5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ① y ? ax ;② y ? ax ? k ;③ y ? a ? x ? h ? ;④ y ? a ? x ? h ? ? k ;⑤ y ? ax 6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ① a 决定抛物线的开口方向:
2 2
2 2

2

? bx ? c .

当 a ? 0 时,开口向上;当 a ? 0 时,开口向下; a 相等,抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 y 轴(或重合)的直线记作 x ? h .特别地, y 轴记作直线 x ? 0 . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开口 大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法: y ? ax ? bx ? c ? a ? x ?
2

? ?

b 4 ac ? b b ? 4 ac ? b b ( ),对称轴是直线 x ? ? ,∴顶点是 ? , . ? ? 2a 4a 2a 2a ? 4a
2

2

2

(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为 y ? a ? x ? h ? ? k 的形式,得到顶点为( h , k ),对称轴是 x ? h . (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是 抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★
2

9.抛物线 y ? ax

2

? bx ? c 中, a , b , c 的作用
2

(1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y ? ax 中的 a 完全一样. (2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y ? ax ? bx ? c 的对称轴是直线 x
2

? ?

b 2a

,故:

① b ? 0 时,对称轴为 y 轴;② b
a

? 0

(即 a 、 b 同号)时,对称轴在 y 轴左侧;

③b
a

? 0

(即 a 、 b 异号)时,对称轴在 y 轴右侧.
2

(3) c 的大小决定抛物线 y ? ax

? bx ? c 与 y 轴交点的位置.
2

当 x ? 0 时, y ? c ,∴抛物线 y ? ax

? bx ? c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ):
b a

① c ? 0 ,抛物线经过原点; ② c ? 0 ,与 y 轴交于正半轴;③ c ? 0 ,与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向
y ? ax y ? ax
2 2

? 0

.

? k
2

y ? a?x ? h ?

y ? a ?x ? h ? ? k
2

当a ? 0 时 开口向上 当a ? 0 时 开口向下

对称轴 x ? 0 ( y 轴)
x ? 0 ( y 轴)
x ? h x ? h

顶点坐标 (0,0) (0, k ) ( h ,0) (h ,k )

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y ? ax

2

? bx ? c

x ? ?

b 2a

4 ac ? b , (? 2a 4a b

2

)

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11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式: y ? ax
2

? bx ? c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式.
2

(2)顶点式: y ? a ? x ? h ? ? k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1 、 x 2 ,通常选用交点式: y ? a ? x ? x 1 ?? x ? x 2 ? . 12.直线与抛物线的交点 (1) y 轴与抛物线 y ? ax
2

? bx ? c 得交点为( 0 , c )
2

(2)与 y 轴平行的直线 x ? h 与抛物线 y ? ax (3)抛物线与 x 轴的交点 二次函数 y ? ax
ax
2

? bx ? c 有且只有一个交点( h , ah

2

? bh ? c ).

2

? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1 、 x 2 ,是对应一元二次方程

? bx ? c ? 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相交; ②有一个交点(顶点在 x 轴上) ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相切; ③没有交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相离. (4)平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标

为 k ,则横坐标是 ax

2

? bx ? c ? k 的两个实数根.
2

(5)一次函数 y ? kx ? n ? k ? 0 ? 的图像 l 与二次函数 y ? ax
? y ? kx ? n ? 2 ? y ? ax ? bx ? c

? bx ? c ? a ? 0 ? 的图像 G 的交点,由方程组

的解的数目来确定:

①方程组有两组不同的解时 ? l 与 G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 ? l 与 G 只有一个交点;③方程组无解时 ? l 与 G 没有交点. (6)抛物线与 x 轴两交点之间的距离:若抛物线 y ? ax
x 1 、 x 2 是方程 ax
AB ? x 1 ? x 2 ?
2

2

0 0 ? bx ? c 与 x 轴两交点为 A ? x 1, ?, B ? x 2, ? ,由于

? bx ? c ? 0 的两个根,故
? x2 ?

x1 ? x 2 ? ?
2

b a

, x1 ? x 2 ?
2

c a
? ? a

? x1

2

?

? x1

? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ?
2

4c ? b? ? ?? ? ? a ? a?
2

b ? 4 ac a

13.二次函数与一元二次方程的关系: (1)一元二次方程 y ? ax (2)二次函数 y ? ax
2 2

? bx ? c 就是二次函数 y ? ax

? bx ? c 当函数 y 的值为 0 时的情况.

? bx ? c 的图象与 x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;
2
2

当二次函数 y ? ax (3)当二次函数 y ? ax
2

? bx ? c 的图象与 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y ? 0 时自变量 x 的值, ? bx ? c 的图象与 x 轴有两个交点时,则一元二次方程 y ? ax
2 2

即一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根.
2

? bx ? c 有两个不

相 等 的 实 数 根 ; 当 二 次 函 数 y ? ax
ax
2

? bx ? c 的 图 象 与 x 轴 有 一 个 交 点 时 , 则 一 元 二 次 方 程
2

? bx ? c ? 0 有两个相等的实数根;当二次函数 y ? ax

? bx ? c 的图象与 x 轴没有交点时,则一

元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 没有实数根 14.二次函数的应用: (1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值; (2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系; 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值. 15.解决实际问题时的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它 们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等.
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