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从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧


从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧
题目:设湖岸MN是一条直线,有一小船自岸 边的A点沿与湖岸成α=15°角的方向匀速向 湖中驶去,有一个人自A点同时出发,,他先 沿岸走一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸 上走的速度为v1 =4m/s,在水中游泳的速度为 v2=2m/s,试求小船的速度至多为多大时,这 人才能追上小船?
Vmax=? M A

r />?

α N

方法1:微元法

B

M

A

? α

F θ ? C D E

N

如图,设人在D点入水并在B点刚好能追上小船,这表 明:此时人追上小船所用时间最少,对应的小船速度 最大. D点两侧各有入水点C和E,使得在该处入水追 船所用时间相等. 现设C、E是D点两侧附近无限靠近D点的两点,并 设分别从C、E点入水追小船所用总时间相等. 现在BC段截取BF=BE, 那么∠BFE=90°. 由于从C、E点入水追小船所用总时间相等,所以, 人在CE段走与在CF段游泳所用时间相等.

于是
所以

CE CF ? v1 v2

B

α M ? CF 1 A cos ? ? ? CE 2

F θ ? C D E

K N

? ? 60?
因为C、E两点无限靠近D点,所以∠BDN=θ =60°. 作BK⊥BD交MN于K,于是DK=2BD. 又因为v1=2v2,则人游DK段与走DK段所用时间相等.所 以人自出发经D点再到B点与人由A点一直走到K点所用 时间相同,并都等于小船从A到B所用的最少时间.

即有

AB AK ? vmax v1

B

在⊿ABK中, α M ? 用正弦定理可 A 得:

F θ ? C D E

K N

AB sin 30? 1 ? ? AK sin 135? 2
那么

vmax

2 ? ? v1 ? 2 2 (m / s) 2 2

v1

方法2:类比法

B

乙 设想MN为甲和乙两种介质 β ? 的分界面,光在甲中的速度 M A D N 甲 为v1,在乙中的速度为v2, 据费马原理可知,B→D→A是光从B传到A费时最少 的路径,而β是临界角. 这可类比本题人从A经D到B 的追船情况. 由此得: v2 ? ? arcsin ? 30? v1 下面解法与方法1相同.最后可得:

vmax ? 2 2 (m / s)

方法3:图解法

E

B 如图,设人开 α 始运动就一直 K M A N 游泳,那么他 能到达的区域 是以A为圆心、以v2t为半径的半圆中的任何一点,若 他一直沿湖岸走,那么他在t时间内可以到达AK=v1t 中的任何一点,若他先沿岸走一段再入水追船,那么 他可以在t时间内到达图中⊿AEF中的任何一点.所以, 他若能追上船,船也必须在t时间内到达这区域. 由于题设小船沿α角的方向运动,所以沿此方向的 直线与EK线的交点B是船以最大速度运动且又能被人 追上的地点.

E 在Rt⊿AEK中, B 因为AK=2AE, α 所以∠AKE= K M A 30°, 于是,∠ABK=180 °-15 °- 30°=135° 在⊿ABK中,据正弦定理得:

N

AB sin 30? 1 ? ? AK sin 135? 2 而 AB ? v maxt ? v max AK v1t v1
所以

vmax

2 ? ? v1 ? 2 2 (m / s) 2 2

v1

方法4:矢量图解法
M

? v2
α

C

N 设人先沿岸走一段,再入 水追船,以船为参考系, 由于人和船是同时由A点出发的,则人在沿岸走时, 船看到人正在由船所在位置逐渐“离去”,离去的相 ? ? ? ? 对速度为 u1 : u1 ? v1 ? v 要人能追上船,即人能回到船上,则其返回的相对速 ? ? ? 度 u 2必须沿 u1的反方向,返回的相对速度 u 2 为:

A

? v1

K

? 作图:(1)以MN线上的A点为起点作矢量 v1 得K点;
(2)以A点为圆心,以v2的大小为半径作圆; (3)作直线AC,使它与MN线的夹角为α=15°;

? ? ? u 2 ? v2 ? v

E ? 设K点与圆上的任一点E ? u2 B ? C 的连线与AC线的交点为 v2 ? u ? v α B,则AB表示船速,BK ? 1 v1 K N M A 表示人相对船的“离开” ? u1 ,而BE表示人相 速度 ? u2 对船的“返回”速度 . 显然,当KE与圆相切时,AB 线最长,表示船速最大, 由此有作图步骤:

(4)作KE与圆相切于E点,并与AC相交于B点. 由于AK=AE,所以,∠AKF=30°, ∠ABE=45°. 因而⊿ABE为等腰直角三角形,那么

vmax ? 2v2 ? 2 2 (m / s)

方法5:等效法

B

设人在B点追上船, α 30° C M E N D A 则人到达B点可能有很 K 多途径,如A→C→B, H F A→D→B,A→E→B等, P 这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大船速, 作∠NAP=30°,并分别作CK,DH,EF垂直AP,其中 设BDH为直线, 又设想MN线下方也变成湖水区域, 则因为AC=2CK,所以人由K点游泳到C点所用时间 与人在岸上走由A点到C点所用时间是相等的. 故人按题设情况经路径A→C→B所用时间与假想人全 部在水中游泳游过路径K→C→B所用时间相等, 同理,人按题设情况经路径A→D→B所用时间与假想 人全部在水中游泳游过路径H→D→B所用时间相等,

B 人按题设情况经路径 A→E→B所用时间与假 α 想人全部在水中游泳游 M A 30° C E N D 过路径F→E→B所用时 K H F 间相等, 显然,在这些途径中,因为 P HDB是直线,因此所用时间最少. 由以上分析可知,人沿等效途径HDB游泳就费时最少 地刚好追上船,这对应着最大船速,设为vmax,则有

因为⊿AHB是等腰直角三角形,所以 AB ? 2BH 故得 vmax ? 2v2 ? 2 2 (m / s)

AB BH ? vmax v2

方法6:极值法(利用三角函数) 如图,设人沿岸走到D点时,船 航行到C点,此时人入水游泳就 α 刚好能在B点追上船. M A 在⊿ACD中应用正弦定理得
C θ D

B β

N

sin(? ? ? ) AD ? sin(? ? ? ) AC

又设此时船速为v,人由A点走到D点耗时为t,则

AD ? v1t , AC ? vt
由以上两式得

v1 sin ? ? sin(? ? ? ) v

v1 sin ? ? sin(? ? ? ) v
又在⊿CDB中应用正弦定理得

(1)
C M A α D θ

B β

sin ? BD ? sin(? ? ? ? ? ) BC

N

设人游过DB段所用时间为 t ? ,则 BD ? v2 t ? , CB ? vt ?

v2 sin ? 由以上两式得 ? (2) sin(? ? ? ) v 由(1)、(2)式,并注意 v1 ? 2v2 ,可得

sin( ? ? ? ) ? 2 sin( ? ? ? )

(3)

sin( ? ? ? ) ? 2 sin( ? ? ? ) (3) 又由于 AC ? v , 要v尽可能 AD v1 α
M A

C

B β
θ D N

大,即需AC/AD尽可能大, 而θ越大,则AC越大, 由于α为恒量,则θ越大,则 θ-α也越大,且(θ-α)为锐角,则sin (θ-α)随(θ -α)增大而增大,故得sin (θ-α)最大时,θ最大, 由(3)式可见,当sin (θ+β)=1时, sin (θ-α)有最大值为1/2,此时对应的θ值为 ? ? 45?,由此得 ? ? 45? ,
于是⊿CDB是等腰直角三角形,则有

vmax BC ? ? 2 v2 BD
所以,
M A
α

C

B β
θ D N

vmax ? 2v2 ? 2 2 (m / s)

方法7:极值法(利用一元二次函数判别式) 如图,设船出发后经时间t被人追上. S 则船的位移为s=vt,又设人在岸上 S2 α 走用时为kt(0<k<1),位移为 D N M A S1 s1=kv1t,人在湖中游用时为(1-k)t (0<k<1),位移为s2=(1-k)v2t. 那么,据余弦定理有:s 2 ? s 2 ? s 2 ? 2ss cos ? 2 1 1 把s、s1、s2的表达式及v1、v2的值代入并整理可得
B

4(1 ? k ) 2 ? 16k 2 ? v 2 ? 8kv cos15?


1 ? cos 30? cos15? ? ? 2

2? 3 3 ?1 ? 4 2 2

于是有 12k 2 ? [2( 6 ? 2 )v ? 8]k ? (v 2 ? 4) ? 0

12k ? [2( 6 ? 2 )v ? 8]k ? (v ? 4) ? 0
2 2

要这方程有实数解,其判别式⊿应满足:

? ? [2( 6 ? 2 )v ? 8]2 ? 48(v 2 ? 4) ? 0
由此可解得:

v ? 2 2 或 v ? 2 2 ( 3 ? 1)
由本题的物理情景可知只能取:

vmax ? 2 2 (m / s)

方法8:极值法(利用一元二次函数判别式) 如图,设人在岸上D处入水追船, 运动方向与湖岸成θ角,并在B点处 追上船,这人由A→D→B用时为t . M A 则
B d
α

L ? d cot ? d t? ? v1 v 2 sin ? L 1 cos ? ? ?( ? )d v1 v 2 sin ? v1 sin ? 1 cos ? y? ? v 2 sin ? v1 sin ?

L

θ D

N

(1)

上式表明:t与θ有关,且在d、L、v1、v2一定时,由θ 决定,研究函数

(2)

1 cos ? y? ? v 2 sin ? v1 sin ?
两边平方得:
2 2 2 v ? 2 v v cos ? ? v cos ? 2 1 1 2 2 y ? 2 v12 v2 sin 2 ? 2 v12 ? 2v1v2 cos ? ? v2 cos 2 ? ? 2 v12 v2 (1 ? cos 2 ? )

(3)

整理后得:

( y v v ? v ) cos ? ? 2v1v2 cos ? ?v (1 ? y v ) ? 0
2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2

此方程有实数解的条件是:判别式⊿≧0,即有

4v v ? 4( y v v ? v )v (1 ? y v ) ? 0
2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

由此解得:
2 2 v ? v y2 ? 1 2 2 2 v1 v 2

所以
2 y min 2 v12 ? v2 ? 2 2 v1 v2

(4)

v2 1 ? 由(3)、(4)式得: cos ? ? v1 2

? ? 60?

这表明当θ=60°时,函数y有最小值,由(1)式 知此时t有最小值,对应的船速有最大值. v2 ? 2m / s 、 L ? d cot 15? 把 ? ? 60? 、v1 ? 4m / s 、 代入(1)式得:

t min

d cot 15? 2 1 d ? ?( ? ) ? (cot 15? ? 3 ) v1 v1 3v2 3v1

对应的最大船速为:

v1 AB d vmax ? ? ? t min t min sin ? sin 15?(cot 15? ? 3 ) v1 v1 ? ? ? 2 2 (m / s) cos15? ? 3 sin 15? 2 sin 45?


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