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高中数学联赛二试概念集锦


1、平面几何 基本要求:掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求:面积和面积方法。 梅涅劳斯定理(Menelaus' theorem)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。 它指出:如果一条直线与△ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E 点, 那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或:设 X、Y、Z 分别在△ABC 的 BC、

CA、 AB 所在直线上,则 X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。

塞瓦定理 在△ABC 内任取一点 O, 直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 托勒密定理:指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 西姆松定理: 有三角形 ABC,平面上有一点 P。P 在三角形三边上的投影(即由 P 到边上的垂足)共线(此线称为西姆松线, Simson line)当且仅当 P 在三角 形的外接圆上。

几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。 (1)对于任意三角形△ABC,若三角形内或三角形上某一点 E,若 EA+EB+EC 有最 小值,则取到最小值时 E 为费马点。 (2) 如果三角形有一个内角大于或等于 120°, 这个内角的顶点就是费马点;如果 3 个内角均小于 120°,则在三角形内部对 3 边张角均为 120°的点,是三角形的费马点。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。 三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。

简单的等周问题。
等周定理,又称等周不等式,是一个几何中的不等式定理,说明了欧几里得平面上的 封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理说 明在周界长度相等的封闭几何形状之中, 以圆形的面积最大; 另一个说法是面积相等的几何 形状之中,以圆形的周界长度最小。

解释:不完全凸的封闭曲线的话,能以“翻折”凹的部分以成为凸的图形,以增 加面积,而周长不变 一个狭长的图形可以通过“压扁”来变得“更圆”, 从而使得面积更大而周长不 变。 了解下述定理: 在周长一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。 在面积一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。 几何中的运动:反射、平移、旋转。 复数方法: 由于复数与平面上的点存在着一一对应关系,所以许多平面几何问题,特别是涉 及规则图形(如正多边形、等腰直角三角形、矩形、圆等)的几何问题,都可以通 过建立坐标系,利用复数方法求解。 向量方法 平面凸集、凸包及应用
凸集 实数 R (或复数 C 上)在向量空间中,集合 S 称为凸集,如果 S 中任两点的 连线内的点都在集合 S 内。 对欧氏空间,直观上,凸集就是凸的。 点集 Q 的凸包(convex hull)是指一个最小凸多边形,满足 Q 中的点或者在多边形边上或者 在其内。右图中由红色线段表示的多边形就是点集 Q={p0,p1,...p12}的凸包。

2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容: 周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。 三倍角公式 sin3α =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3α =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) tan3a = tan a · tan(π /3+a)· tan(π /3-a) 三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| (定理),

第二数学归纳法。
第二数学归纳法原理是设有一个与自然数 n 有关的命题,如果: (1)当 n=1 时,命题成立; (2)假设当 n≤k 时命题成立,由此可推得当 n=k+1 时,命题也成立。 那么,命题对于一切自然数 n 来说都成立。 第二数学归纳法和第一数学归纳法一样,也是数学归纳法的一种表达形式,而且可以 证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的, 之所以采用不同的表达形式, 旨在更便于 我们应用。

递归,递归,就是在运行的过程中调用自己。 在数学和计算机科学中,递归指由一种(或多种)简单的基本情况定义的一 类对象或方法,并规定其他所有情况都能被还原为其基本情况。 例如,下列为某人祖先的递归定义: 某人的双亲是他的祖先 (基本情况) 。 某人祖先的双亲同样是某人的祖先 (递 归步骤)。斐波纳契数列(Fibonacci Sequence),又称黄金分割数列,指的是 这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21..... I 斐波纳契数列是典型的递归案例 一阶、二阶递归,特征方程法。
特征方程,实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式,它因数学对象不同 而不同,包括数列特征方程,矩阵特征方程,微分方程特征方程,积分方程特征方程等等

函数迭代,求 n 次迭代,简单的函数方程。 n 个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用
【柯西不等式】 二维形式 (a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 三角形式 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√*(a+c)^2+(b+d)^2] 表示平方根, 向量形式 |α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2) 为零向量,或 α=λβ(λ∈R) 。 一般形式 (∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或 ai、bi 均为零. 等号成立条件:β 等号成立条件:ad=bc 注:“√” 等号成立条件:ad=bc

排序不等式
设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n ≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中 t1,t2,……,tn 是 1,2,……,n 的任意一个排列, 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。 以上排序不等式也可简记为: 反序和≤乱序和≤同序和. 例 1 在△ABC 中, ha , hb ,hc 为边长 a,b,c 上的高, 求证: asinA+bsinB+csinC>= ha + hb +hc

解:简单画下图形可知:ha=csinB, hb=asinC, hc=bsinA 原不等式即证: asinA+bsinB+csinC>=csinB+asinC+bsinA 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC, ∴a,b,c 和 sinA,sinB,sinC 大小顺序相同 排序不等式:顺序和>=乱序和>=反序和 ∴asinA+bsinB+csinC(顺序和)>=csinB+asinC+bsinA(乱序和) ∴asinA+bsinB+csinC>=ha+hb+hc

复数的指数形式,

欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有,复变函数中的欧拉幅角 公式,即将复数、指数函数与三角函数联系起来。拓扑学中的欧拉多面体公式。 初等数论中的欧拉函数公式。欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特

有的规律,它只适用于简单多面体。常用的欧拉公式有复数函数 e^ix=cosx+isinx,三角公式 d^2=R^2-2Rr , 物理学公式 F=fe^ka 等。 欧拉公式,

特殊的:

分式 分式里的欧拉公式: a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当 r=0,1 时式子的值为 0 当 r=2 时值为 1 当 r=3 时值为 a+b+c

三角公式
三角形中的欧拉公式: 设 R 为三角形外接圆半径,r 为内切圆半径,d 为外心到内心的距离,则: d^2=R^2-2Rr
拓扑学里的欧拉公式:

V 是多面体 P 的顶点个数,F 是多面体 P 的面数,E 是多 面体 P 的棱的条数

棣莫佛定理,
把复数用三角式(具体参见复数)表示: c=r(cosa+isina) 或者表示为: r(cos+isina) 的 n 次方根=n 次根号下,r×*cos((a+2k)/n)+isin((a+2kπ)/n)+k=0,1,2...n-1 其中

单位根,单位根的应用。
单位根 (unit root) 设 n 是正整数, 当一个数的 n 次乘方等于 1 时, 称此数为 n 次 “单位根”。在复数范围内,n 次单位根有 n 个。例如,1、-1、i、-i 都是 4 次单位根。 确切的说, 单位根指模为 1 的根, 一般的 x^n=1 的 n 个根可以表示为: x=cos(2kπ/n)+sin(2kπ/n)i , 其中:k=0,1,2,..,n-1 ,i 是虚数的单位。

圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。 从 n 个不同元素中不重复地取出 m(1≤m≤n)个元素在一个圆周上,叫做这 n 个不同元素的圆排列。如果一个 m-圆排列旋转可以得到另一个 m-圆排列,则认 为这两个圆排列相同。 计算公式: n 个不同元素的 m-圆排列数为 n!/[(n-m)!*m] (n-1)!。

特别地,当 m=n 时,n 个不同元素作成的圆排列总数为

一元 n 次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成 对定理。 简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降 法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧 拉函数,孙子定理,格点及其性质。
高斯函数的形式为:

其中 a、b 与 c 为实数常数 ,且 a > 0. c^2 = 2 的高斯函数是傅立叶变换的特征函数。这就意味着高斯函数的傅立叶变换不仅 仅是另一个高斯函数,而且是进行傅立叶变换的函数的标量倍。 费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如 p 是质数, 且 Gcd(a,p)=1,那么 a
(p-1)

≡1(mod p)。即:假如 a 是整数,p 是质数,且 a,p 互质(即

两者只有一个公约数 1),那么 a 的(p-1)次方除以 p 的余数恒等于 1。

欧拉函数:在数论, 对正整数 n, 欧拉函数是少于或等于 n 的数中与 n 互质的数的数目。
此函数以其首名研究者欧拉命名, 它又称为 Euler's totient function、 φ 函数、 欧拉商数等。 例 如 φ(8)=4,因为 1,3,5,7 均和 8 互质。

孙子定理:若某数 x 分别被 d1、、?、dn 除得的余数为 r1、r2、?、rn,则 可表示为下式: x=R1*r1+R2*r2+?+Rn*rn+R*D 其中 R1 是 d2、d3、?、dn 的公倍数,而且被 d1 除,余数为 1;(称为 R1 相对于 d1 的数论倒数) R1、R2、?、Rn 是 d1、d2、?、dn-1 的公倍数,而且被 dn 除,余数为 1; D 是 d1、d2、?、的最小公倍数; R 是任意整数(代表倍数),可根据实际需要决定;且 d1、d2、d3?、dn 必须互质,以保证每个 Ri(i=1,2,?,n)都能求得. (注:因为 R1 对 d1 求余为 1,所以 R1*r1 对 d1 求余为 r1,这就是为什么 是 R1 对 d1 求余为 1 的目的,其次,R2*r2,R3*r3?Rn*rn 对 d1 求余都是 0) 无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为: 假设方程有解,并设 X 为最小的解。 从 X 推出一个更小的解 Y。 从而与 X 的最小性相矛盾。所以,方程无解。 同余是数论中的重要概念。给定一个正整数 m,如果两个整数 a 和 b 满足 a-b 能 被 m 整除,即 m|(a-b),那么就称整数 a 与 b 对模 m 同余,记作 a≡b(modm)。对 模 m 同余是整数的一个等价关系。 用欧几里德算法(辗转相除法)求两个正整数的最大公约数。 先将其中较大的数除以较小的数,如果余数为 0,则其中较小的数就是所求 的最大公约数,如果余数不为 0,就用较小的数再去去除以余数,再看余数是否 为 0,这样一直做下去,直到余数为 0 为止,此时除数就是所求的最大公约数。 例:48,64 64÷48=1??16 48÷16=3 所以 16 即为 48 和 64 的最大公约数。 3、立体几何 多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体,欧拉定理。[3] 体积证法。 截面,会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何 直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条 割线定理:从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A、B;C、D,则有 PA· PB=PC· PD 定义:圆幂

线段长的比例中项。

(称为 P 点对圆 O 的幂) 符号:圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零。[1]

合),则有

考虑经过 P 点与圆心 O 的直线,设 PO 交⊙O 于 M、N,R 为圆的半径,则 有

? ?

根轴:在平面上任给两不同心的圆,则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线,这 条线称为这两个圆的根轴。

? ?

另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴,或者称作等幂轴。

5、其它 抽屉原理。桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会
发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽 屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假 如有 n+1 或 n+(n-1)个元素放到 n 个集合中去,其中必定至少有一个集合里有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。

容斥原理。 在计数时, 必须注意无一重复, 无一遗漏。 为了使重叠部分不被重复计算,
人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某 内容中的所有对象的数目先计算出来, 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去, 使得计算 的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。

极端原理。直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、
解决问题的思想方法称为极端性原则。

集合的划分。 覆盖。 梅涅劳斯定理 托勒密定理定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积
的和等于两条对角线的乘积

西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。西姆松定理是一个几何定理。表述为:
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。(此线常称 为西姆松线)。西姆松定理的逆定理为:若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该 点在此三角形的外接圆上。

赛瓦定理及其逆定理。 在△ABC 内任取一点 O, 直线 AO、 BO、 CO 分别交对边于 D、 E、
F,则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。


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