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高中物理竞赛-流体力学


流体静力学

理想流体的流动
一.基本概念: 1. 流体: 具有流动性的液体和气体; 2. 流体动力学: 研究流体的运动规律以及流体与其他物 体之间相互作用的力学; 二.流体动力学的应用: ? 生物体液和氧分的输送,动物体内血液 的循环,土壤中水分的运动,农田排灌、 昆虫迁飞;

§1.3.1 理想流体的稳定流动

.基本概念
? 1.流体的粘滞性:
实际流体在流动时.其内部有相对运动的相邻两部分之间 存在类似两固体相对运动时存在的摩擦阻力(内摩擦力), 流体的这种性质称为粘滞性。

? 2.流体的可压缩性:
实际流体在外界压力作用下、其体积会发生变化,即具 有可压缩性;

? 3.理想流体模型:
? 绝对不可压缩、没有粘滞性的流体叫做理想流体; ? 一般情况下,密度不发生明显变化的气体或者液体、粘滞 性小的流体均可看成理想流体.

二.流体的运动形式:
1. 一般流动形式:
? 通常流体看做是由大量流体质点所组成的连续介质。 ? 一般情况流体运动时,由于流体各部分可以有相对运动,各 部分质点的流动速度是空间位置的函数,又是时间t的函数

2. 定常流动:
? 流体质点经过空间各点的流 速虽然可以不同,但如果空 间每一点的流速不随时间而 改变,这样的流动方式称为 定常流动,也称为稳定流动 ? 是一种理想化的流动方式。

三.流线、流管
1. 流线:为了形象地描述定常流动的流体
而引入的假想的直线或曲线

? ?

? ?

流线上任意点的切线方向就是流体质点流经该点的速度方向 稳定流动时,流线的形状和分布不随时间变化,且流线与流体质 点的运动轨迹重合; 流线的疏密程度可定性地表示流体流速的大小; 流线不相交;

2.流管:流体内部,通过某一个截面的流线围成的管状空间;
? ? 流体质点不会任意穿出或进入流管 ;(与实际管道相似) 流体可视为由无数个稳定的流管组成,分析每个流管中流体的运 动规律,是掌握流体整体运动规律的基础;

四.连续性原理
1. 推导过程:
假设: ①.取一个截面积很小的细流管,垂直于流管的同一截面上的 各点流速相同; ②.流体由左向右流动 ; ③.流体具有不可压缩性 ; ④.流体质点不可能穿入或者穿出流管 ; ⑤.在一个较短的时间?t内,流进流管的流体质量等于流出流 管的流体质量(质量守恒),即:

?S1?1?t ? ?S 2? 2 ?t
S1?1 ? S 2? 2

2. 理想流体的连续性方程(连续性原理、流量方程):

S? ? 恒量
体积流量:表示单位时间内流过任意截面S的流体体积,
称为体积流量,简称流量,用QV表示,单位为m3/s.
?流体在同一细流管中作稳定流动时,通过任一截面S的体 积流量保持不变。 ?推广,对于不可压缩的实际流体,任意流管、真实导流管、 流体管道都满足连续性原理。

?如果同一截面上流速相同,不可压缩的流体在流管中做稳 定流动时流体的流速?与流管的截面积S成反比,即截面大 处流速小,狭窄处流速大。

补充例题

有一条灌溉渠道,横截面是梯形,底宽2m,水面宽 4m,水深1m,这条渠道再通过两条分渠道把水引到 田间,分渠道的横截面也是梯形,底宽1m,水面宽 2m,水深0.5m,如果水在两条渠道内的流速均为 0.2m/s,求水在总渠道中的流速?
S1?1 ? S 2? 2

1 S1 ? ?4 ? 2? ? 1 ? 3m 2 2 1 S 2 ? ?2 ? 1?? 0.5 ? 2 ? 1.5m 2 2 S2 ? 1 ? ? 2 ? 0.1m / s S1

§1.3.3 伯努利方程及其应用
伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的,是理想流体作稳定流动时的 基本方程,对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水 利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
伯努利个人简介:(Daniel Bernouli,1700~1782)瑞士物理学家、数学家、

医学家。他是伯努利这个数学家族(4代10人)中最杰出的代表,16岁时就 在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑,后获得哲学硕士学位,17~20岁又学习医 学,并于1721年获医学硕士学位,成为外科名医并担任过解剖学教授。但 在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。伯努利成功的领域很广,除流体动力 学这一主要领域外,还有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海 洋、潮汐等等。

伯努利方程:理想流体在重力场中作稳定流动时,能量守
衡定律在流动液体中的表现形式。

一. 伯努利方程的推导:
稳定流动的理想流体中,忽略流体的粘滞性,任意细流管中的 液体满足能量守恒和功能原理!
设:流体密度?,细流管中分析一段流体a1 a2 : a1处:S1,?1,h1, p1 a2处:S2,?2,h2, p2 经过微小时间?t后,流体a1 a2 移到了b1 b2, 从 整体效果看,相当于将流体 a1 b1 移到了a2 b2, 设a1 b1段流体的质量为?m,则:

1 ?E1= ?m?12 ? ?mgh1 2

1 2 ?E 2= ?m? 2 ? ?mgh2 2

机械能的增量: ?E=?E 2-?E1

功能原理: 系统受到非保守力做功,系统机械能的增量等于 非保守力对系统作的功; 外界对系统作的功? 受力分析=端面压力+侧壁压力

W=p1 S1?1?t ? p2 S2? 2 ?t V=S1?1?t=S2? 2 ?t 1 1 2 ?m? 2 ? ?mgh2 ? ( ?m?12 ? ?mgh1 )=p1 S1?1?t ? p2 S 2? 2 ?t 2 2 1 1 2 ?V? 2 ? ?Vgh2 ? ( ?V?12 ? ?Vgh1 )=p1V ? p2 V 2 2 1 1 2 2 p1 ? ? ?1 ? ?gh1=p2 ? ? ?2 ? ?gh2 2 2

二. 对于同一流管的任意截面,伯努利方程:

1 2 p ? ? ? ? ?gh ? 恒量 2
?含义:对于理想流体作稳定流动,在同一流管中任一处,
每单位体积流体的动能、势能和该处压强之和是一个恒量。
?伯努利方程,是理想流体作稳定流动时的基本方程; ?对于实际流体,如果粘滞性很小,如:水、空气、酒精等,可应用伯 努利方程解决实际问题; ?对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水利、造 船、航空等部门有着广泛的应用。

补充例题, 水管里的水在压强为p=4×105 Pa的作用下流入房 间,水管的内直径为2.0 cm,管内水的流速为4 m/s。引入到5 m高处二楼浴室的水管,内直径为 1.0 cm, 试求浴室水管内水的流速和压强? (已知水的密度为?=103 kg/m3)。
? 2 ? 16m / s
p2 ? 2.25 ? 105 ( Pa )

1.3.4. 伯努利方程的应用
?一.水平流管的伯努利方程:

1 p ? ? ?2 ? 恒量 2
在水平流动的流体中,流速大的地方压强小;流 速小的地方压强大。 在粗细不均匀的水平流管中,根据连续性原理, 管细处流速大,管粗处流速小,因而管细处压强 小,管粗处压强大; 如:水流抽气机、喷雾器、内燃机的汽化器的基 本原理都基于此;

生活中的实例:
1.
2. 3. 4.

5. 6.

在海洋中平行逆向航行的两艘大轮船,相互不能靠得太近,否 则就会有相撞的危险,为什么? 逆流航行的船只行到水流很急的岸边时,会自动地向岸靠拢; 汽车驶过时,路旁的纸屑常被吸向汽车; 简单的实验:用两张窄长的纸条,相互靠近,用嘴从两纸条中 间吹气,会发现二纸条不是被吹开而是相互靠拢,就是“速大 压小”的道理。 打开的门窗,有风吹过,门窗会自动的闭合,然后又张开; 足球中的香蕉球。

二十世纪初一支法国舰队在地中海演习,勃林奴斯号装甲旗舰召来一艘驱 逐舰接受命令。驱逐舰高速开来,到了旗舰附近突然向它的船头方向急转弯, 结果撞在旗舰的船头上,被劈成两半。 1942年玛丽皇后号运兵船从美国开往英国,与之并行的一艘护航巡洋舰突 然向左急转弯,撞在运兵船的船头上,被劈成两半。

7.飞机的机翼的翼型使得飞行中前面的空气掠过机翼向后时, 流经机翼上部的空气要通过的路程大于流经机翼下部的空 气通过的路程,因此上部空气流速大于下部空气的流速, 上部空气对机翼向下的压力就会小于下部空气对机翼向上 的压力,从而产生升力 ;

应用实例1. 水流抽气机、喷雾器 ?空吸作用:当流体流速增大时 压强减小,产生对周围气体或液 体的吸入作用; ?水流抽气机、喷雾器就是根据空吸 作用的原理(速度大、压强小)设 计的。

应用实例2.汾丘里流量计
?汾丘里管:特制的玻璃管,两端较粗,中间较细,在较粗和较细 的部位连通着两个竖直细管。

?汾丘里管水平接在液体管道中可以测定液体的流量;

1 2 p ? ?v ? 恒量 2

S? ? 恒量

? 2 ? S1

2?p1 ? p 2 ? 2 ? S1 ? S2 p1 ? p 2 ? ?gH 2

?

?

流速:?

2

? S1

2gH 2gH , ?1 ? S2 2 2 2 S1 ? S2 S1 ? S2 2 2gH 2 S1 ? S2 2

体积流量: QV ? S2? 2 ? S1S2

只要读出两个 竖管的高度差, 就可以测量流 速和流量

?二. 流速的测定:
应用实例3. 皮托管:常用的流速测定装置;
皮托管:由双层圆头玻璃管组 成,内外管分别通过橡皮管与U 形压强计的两管相连、内管的 开口在A,外管的开门(即管壁 上钻的几个小孔)在B。A 正对流 速方向,A、B间忽略高度差;

H

1 2 Pc ? ?v ? Pd 2

Pd ? Pc ? ?gh
v ? 2 gh
动压全部转化为静压
c

h

d

驻点:当流体遇到障碍物受阻时,在障碍物前会有一点, 该点流体静止不动,故称驻点;

应用实例4.

小孔流速:

敞口的液槽内离开液面h处开一小孔,液体密度为?,液面上 方是空气,在液槽侧面小孔处压强为大气压p0, 求小孔处的液 体流速?
注:由于液槽中液面下降很 慢,可以看成是稳定流动, 把液体作为理想流体;

? ? 2 gh
托里拆利定律:忽略粘滞性,任何液体质点从小孔 中流出的速度与它从h高度处自由落下的速度相等;

应用实例5. 文特里管:可串接到管道中测定流速 的装置; 曲管压强计中盛 水银,当粗管和 S 1 细管横截面S1和S2 及水银柱的高度 差h已知时,求粗 管中水的流速。
h

S2

?1 ? S 2

2( ? 汞 - ? )gh 2 ? (S 1 ? S 2 ) 2

§1.4 粘滞流体的流动
粘滞流体:如植物组织中的水分,人体 及动物体内的血液以及甘油、蓖麻油。

一. 牛顿粘滞定律 粘滞系数
?层流:实际流体在流动时,同一横截面上各点流速并不相同,管中轴
心处流速最大,越接近管壁,流速越小,在管壁处流速为零。这种各层 流体流速有规则逐渐变化的流动形式,称为层流; ?每一层为与管同轴的薄圆筒,每一层流速相同,各层之间有相对运动

但不互相混杂,管道中的流体没有横向的流动。
?(流速小时呈现的流动形式:河道、圆形管道)

粘滞力:
粘滞流体在流动中各层的流速不同,相邻两流层之间有相 对运动,互施摩擦力,快的一层给慢的一层以向前的拉力; 慢的一层则给快的一层以向后的阻力,这种摩擦力称为内 摩擦,又称粘滞力;

粘滞力和哪些因素有关? 流体内相邻两层内摩擦力的大小: ?与两流层的接触面积大小有关; ?还与两流层间速度变化的快慢有关;

?垂直于流速方向上有相距?y的 两个流层,速度差为?? ;

?速度变化的快慢程度:

?? ?y
?y

?其物理意义是:垂直于流速方 向上相距单位距离的两个流层的 速度的变化率。

d? ?垂直于流速方向的流速梯度(或速度梯度): dy

牛顿粘滞定律: 流体内部相邻两流层间的内
摩擦力f与两流层的接触面积?S,以及两流层处的 速度梯度成正比;
d? f ?? ?S dy

比例系数?:流体的粘滞系数或粘度,单位为帕· 秒(Pa · s) ?粘滞系数越大,相邻两流层接触表面间的内摩擦力也越大; ?用粘滞系数定量地表示流体粘性的大小; ?牛顿型流体的粘滞系数除与流体性质有关,还与温度有关。 ?对于液体.温度愈高,粘滞系数愈小; ?气体则相反.温度愈高,粘滞系数愈大。 ?确定粘滞系数的实际意义:输送流体的管道设计、机械中润 滑油的加入、血液粘稠度诊断学、药学等;

? 几种常见液体的粘滞系数:

♂ 接触面积相同的两层液体间的内摩擦力远小于两个固体间 的摩擦力,因此在机器上广泛使用机油等作为润滑剂.

二. 流体的湍流 雷诺数
?层流不是流动的唯一形式; ?湍流:流体在管道内流动,当流速超过某一临界值,流 体的层流状态将被破坏,各流层相互混淆,局部有横向流 动,呈现不规则的涡状流动,这种流动状态称为湍流。 ?在自然现象中,比较普遍的流动状态是湍流,如江河急 流、烟囱排出的废气流、大气的流动等。 层流与湍流的区别:

?层流:无横向流动;
?湍流:总体向前流动,但局部有横向流动;

? 实验表明:由层流变成湍流的条件用雷诺数Re
来确定:

? ?D Re ? ?

Re----雷诺数,一个无量纲的纯数 ?----流体的密度; ?----流体的粘滞系数; ?----流体在管道中的平均流速; D----管道的直径或流体中的运动物体

雷诺数Re来判断层流变成湍流的条件:

? ?D Re ? ?

Re ? 2000 ; 层流 Re ? 3000 ; 湍流 2000 ? Re ? 3000 ; 过渡状态

?植物组织中水分流动的雷诺数很小,属于稳定 的层流;
?动物组织中的血液流动比较复杂,但在正常生 理条件下,生物体系中液体的流动可视为层流;

流体相似率: 雷诺数不仅提供了一个判断流动类型的标准,而且具 有相似率: 如果两种流体的边界条件相似且具有相同的雷诺数, 则流体具有相同的动力学特征。 雷诺数在流体动力学中的作用:

?对于一定几何形状的管道(不论大小)中流动的
流体,不论?、?、v 、 D如何,只要Re相同,它 们的流动类型就相同。 ?可在实验室用水工模型来模拟江河水的流动,用 风洞实验来研究飞机的飞行等情况;

§1.4.2 泊肃叶公式及其应用
?粘滞流体稳定层流时,流量和哪些因素有关?
?粘滞流体在无限长水平圆形管道作层流的情形; ? 实际应用:水管、动物血管、植物木质导管都是圆形管道; ?在均匀水平管的一段,管的半径为R,长为l,左端压强为 p1,右端压强为p2,且p1>p2,流体自左向右流动。 ?通过圆形管内稳定流层的流量: ? 与两截面的压强差以及流体截面的半径有关,即p1-p2越 大,R越大,流量越大; ? 与流体的长度l,流体的粘度有关,长度及粘度越大则流 量越小。

法国医生泊肃叶于1840年研究动物血液在毛细管中 流动时发现,粘滞流体在水平圆管中作稳定流动时 的流量为:

?R ? p1 ? p2 ? QV ? 8?l
4

p1

p2

前提: 粘性流体在等截面的水平细管中作稳定流 动,且是层流状态。
F ? ? F1 ? F2 ? P?r 2 ? P2?r 2 1 dv 2 ( P ? P2 )?r ? ?? 2?rL 1 dr
P ? P2 dv ? ? 1 rdr 2?L P ? P2 2 2 v? 1 (R ? r ) 4?L

F? ? f

dv f ? ?? 2?rL dr

F1

F2

在管中取一半径为r、厚度为dr的圆管状流体元, 该流体元的截面积为:

ds ? 2?rdr
流体通过该流体元截面的流量为:
dr

dQ ? v ? ds ? v ? 2?rdr
P ? P2 2 2 v? 1 (R ? r ) 4?L

通过整个管截面的流体流量为:
?R 4 ( P ? P2 ) 1 Q? 8?L

dr

r

利用泊肃叶公式测量液体的黏度:

h

l

?R 4 ? p1 ? p2 ? QV ? 8?l

?R ? p1 ? p2 ? 泊肃叶公式: QV ? 8?l
4

?p 8?l QV ? , 其中 R x= 4 Rx ?R
?Rx为流阻,表示粘滞流体在圆管中流过时受到的 阻滞程度; ?管道半径的细微变化可引起流阻很大的变化;

流量、压强差和流阻三者之间的关系与电学 中电流强度、电压和电阻之间的关系相似;

§1.4.3 斯托克斯定律
运动是相对的,流体对物体的作用可理解为静止流体对运 动物体的作用。 古老的:船帆、船桨;近代的:螺旋浆、汽轮机、飞机机 翼、火箭、导弹等都离不开水或气体对它们的作用; 研究流体对物体的作用:富有实际意义; 固体在流体中运动主要受到两种流体阻力: 粘滞阻力和压差阻力;

较小物体在?较大的流体中缓缓运动,主要受粘滞阻力; 运动物体前后形成压强差,产生压差阻力; 当运动速度较大时,物体尾部产生漩涡,会增大压强差;

要减小压差阻力,应尽量减小物体尾部的漩涡和前部迎流 面积———流线形设计原理;

物体尾部伸展成光滑的流线型,可大大减小压差阻力,如: 飞机、快艇、轿车;

鱼、飞鸟(自然进化的结果);

流线型的鱼、飞鸟(自然进化的结果);

为什么没有流线型的昆虫???

接触面积

? 由于液体具有粘滞性,物体在液体中运动时受到 的总阻力等于粘滞阻力和压差阻力之和; ? 实验表明:流体阻力的大小与物体的形状大小、 速度及流体的粘滞系数等有关; 斯托克斯定律:关于球体在粘滞流体中运动规律

对半径为r的小球体.在粘滞系数为 ? 的流体中以 速度?运动时受到的总阻力为:

f ? 6?? r?

小球在粘滞流体中的沉降
微小球体在粘滞液体中自由下沉,受到三个力:重力、浮力、 流体阻力;开始时加速下沉,最后达到终极速度匀速下沉;
2( ? ? ? ? ) gr 2 ?t ? 9?
?v正比于球半径的平方, 球越小,下落越慢 ?雾等微粒在空气中下落 ? 由此可以测量粘滞流体的粘滞系数? ; 极其慢,不易散去

? 已知粘滞系数? ,可测出小球体的半径。 ? 1911年,著名的密里根油滴实验就是用这一公 式测出了油滴的半径,从而求电子的电荷。 ? 还可用来做土壤的颗粒分析;

沉降分离与离心分离
?悬浮液中的土壤颗粒、细胞和生物溶液中的某些生物大分子 都可以看成球形颗粒,它们的沉降遵从同样的规律, ?利用在重力作用下沉降使物质分离的方法叫做沉降分离;

2?? ? ? ??gr 2 ?t ? 9?
??=??, 颗粒处于平衡状态,不能分离; ??<??,颗粒上浮;?>??,颗粒下沉,密度差越大,沉降越快; ?颗粒越大,终极速度越大,沉降越快; ?颗粒很小,终极速度很小,沉降困难--?高速离心分离

? 离心分离:提纯线粒体、染色体、溶酶体、病 毒等亚细胞物质,还可以用超速离心法分离脱 氧核糖核酸等生物大分子, (直径小于1微米); ? 离心分离法已成为生物科学研究的重要手段。

离心机通过旋转运动,使物质产生较大的离心力,依靠这一 离心力可实现对物质的分离、制备、浓缩、提纯。离心机是 科研生产与医疗卫生系统中的常用设备。在医学检验中,常 用离心机来分离血清、血浆、沉淀蛋白质等。


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