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平面几何周练(3)


平面几何周练(3)
(1)如图, O 、 I 分别表示 △ A B C 的外心与内心,已知 ? O IB ? 3 0 .求证: ? B A C ? 6 0 .
A
? ?

O

I
C

B

(2)如图,已知点 M 是 △ A B C 的中线 A D 上的一点,直线 B M 交边 A C 于点 N ,且 A B 是 △ N B C 的 外接圆的切线,设
BC BN ? ? ,试求

BM MN

(用 ? 表示) .

A

N

M

B

D

C

(3)圆内接凸四边形 A B C D 的面积记为 S , A B ? a , B C ? b , C D ? c , D A ? d .证明: (Ⅰ) S ?
( p ? a )( p ? b )( p ? c )( p ? d ) ,其中 p ?
a?b?c?d 2



(Ⅱ)如果四边形 A B C D 同时具有外接圆和内切圆,则 S ?

abcd .

(4)如图,以锐角 △ A B C 的两边 A B 、 A C 为直径向 △ A B C 外各作一个半圆, A H ? B C 交 B C 于 H , 点 D 是边 B C 上任意一点(不是端点) ,过点 D 作 D E ∥ A C 、 D F ∥ A B ,分别交两个半圆于点 E 、 F .求证: D 、 E 、 F 、 H 四点共圆.
E A F

B

D

H

C

(5)求实数 ? 的最大值,使得,只要点 P 在锐角 △ A B C 内部, ? P A B ? ? P B C ? ? P C A ,射线 A P 、
B P 、C P 分别 Q 分别交 △ P B C 、△ P C A 、△ P A B 的外接圆于 A1 、 B 1 、C 1 ,就有 S △ A B C ? S △ B C A
1 1

? S△C

1 AB

? ? S △ ABC .

A

P

B

C


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