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高一数学5月竞赛


金沙高级中学 2016 学年春学期高一数学竞赛试题(十)
(时间:120 分钟 满分 160 分) 班级______________________ 姓名____________________联队____________________ 一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1、在等差数列 ?a n ?中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ?a

n ?的公差为 2、点 M ( x, y ) 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上移动,则 2 ? 4 的最小值是__________
x y

3、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a , b, c .若 a 2 ? (b ? c) 2 ? bc ,则 A ? 4、

2x ? 0 的解集为 x ?1

5、直线过原点且倾角的正弦值是

4 ,则直线方程为 5

6、已知 ab ? 0, bc ? 0, 则直线 ax ? by ? c ? 0 经过_______________象限 7、已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围为__________ 8、不论 m 取何实数,直线 (2 m -1 )x - (m-3)y - (m-3) = 0 恒过一个定点,则此定点的坐标是

9、若 an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n, 则数列 ?

?1? ? 的前 10 项和为 ? an ?

2 10、函数 f ( x) ? lg x ? ax ? 1 在 ? 0, ??? 有意义,则 a 的取值范围为_______

?

?

11、 直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 , 再向右平移1个单位, 所得到的直线方程为________
0

12、直线 xcos ? +y+m=0 的倾斜角范围是________ 13、点 A(1,3) ,B(5,-2) ,点 P 在 x 轴上使|AP|-|BP|最大,则 P 的坐标为 _______ 14 、 已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均 不 为 0 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前 n 项 和 , 且 满 足

an2 ? S2n?1 ? n ? N ? ? .若不等式
值为

?
an ?1



n ? 8 ? (?1)n 对任意的 n ? N ? 恒成立,则实数 ? 的最大 2n

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、 (本题 14 分) 已知直线 l1 :? m ? 2? x ? ? m ? 3? y ? 5 ? 0 和直线 l2 :6x ? ? 2m ?1? y ? 5 , 求满足下列条件的实数 m 的取值:

?1? l1 ? l2 ;

? 2 ? l1 ∥ l2 。

16、 (本题 14 分)已知定点 P(6,4) ,过 P 点的直线 l 与 x 轴的正半轴交于点 M,与 y 轴 的正半轴交于点 N,求使△OMN 面积最小的直线 l 的方程.

17 、( 本 题 14 分 ) 在 ?ABC 中 , a、b、c 分 别 是 角 A、B、C 的 对 边 , 且

?2a ? c?c o B s ? ?b c o C s
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 7, a ? c ? 8 ,求 a、c 的值。

0≤x≤2, ? ? 18、 (本题 16 分)已知 x,y 满足?0≤y≤2, ? ?x-y≥1, (2) z = x+2y-4 的取值范围; (3)求

求(1)作出可行域并求其面积;

x? y?7 的取值范围。 x ?1

19、 (本题 16 分)如图,在 Rt ?ABC 中,?ACB ? 点.

?
2

, AC ? 3, BC ? 2, P 是 ?ABC 内的一

(1)若 P 是等腰直角三角形 PBC 的直角顶点,求 PA 的长; (2) 若 ?BPC ?

2? C B ?? , B C 的面积 S (? ) , 设 ?P 求 ?P 3

的解析式,并求 S (? ) 的最大值·

20、 (本题 16 分)已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列;数列 ?bn ? 是公比为 2 15 的等比数列,且 ?bn ? 的前 4 项的和为 . 2 (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 d ? 3 ,求数列 ?an ? 中满足 b8 ? ai ? b9 (i ? N * ) 的所有项 ai 的和; (3)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,若 c5 是数列 ?cn ? 中的最大项,求公差 d 的取值范围.

16.(本题满分 14 分)

(1) ?2 sin A ? sin C ?cos B ? ? sin B cosC

?B ? C ? ? ? s i n ?2s i n Ac o B s ? ?s i n Bc o C s ?c o B s sin C ? ?s i n A
又? s i n A ? 0?c o s B??
2? 3

1 2
………………7 分
2

? B ? ?0, ? ? ? B ?

(2) b 2 ? 49 ? a 2 ? c 2 ? 2accos B ? a 2 ? c 2 ? ac ? ?a ? c? ? ac ? 64 ? ac

?a ? 3 ?a ? 5 ? ac ? 15 又 ? a ? c ? 8 ? ? ………………14 分 或? ?c ? 5 ?c ? 3

19.(本题满分 16 分) 解: (1)因为 P 是等腰直角三角形 PBC 的直角顶点,且 BC ? 2 , 所以 ?PCB ?

?

4

, PC ? 2 ,………1 分

又因为 ?ACB ?

?
2

,??ACP ?

?
4

,………2 分
2 2 2

在 ?PAC 中,由余弦定理得: PA ? AC ? PC ? 2 AC ? PC cos 所以 PA ? 5 .………6 分 (2)在 ?PBC 中, ?BPC ? 由正弦定理得

?
4

? 5 ,………5 分

2? ? , ?PCB ? ? ,所以 ?PBC ? ? ? ,………7 分 3 3

2 PB PC ? ? , 2? sin ? ? sin sin( ? ? ) ………8 分 3 3
? PB ? 4 3 4 3 ? sin ? , PC ? sin( ? ? ) ………9 分 3 3 3 1 2? 4 3 ? 所以 ?PBC 得面积 S (? ) ? PB ? PC sin ? sin( ? ? )sin ? ………11 分 2 3 3 3
= 2sin ? cos ? ?

2 3 2 3 3 sin ? ? sin 2? ? cos 2? ? ……12 分 3 3 3

=

2 3 ? 3 ? sin(2? ? ) ? ,? ? (0, ) ,………14 分 3 6 3 3

所以当 ? ?

?
6

时, ?PBC 面积得最大值为

3 .………16 分 3


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