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【与名师对话】2015高考数学(文,北师大版)课时作业:51 Word版含解析]


课时作业(五十一)
一、选择题 1. 直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点, 则 k 的值为 ( A.1 C.0 B.1 或 3 D.1 或 0 )

?y=kx+2, 解析:由? 2 得 ky2-8y+16=0,若 k=0,则 y=2,若 k≠0,则 ?y =8x, Δ=0,即 64-64k=0,解得 k=1,因此若直线 y

=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只 有一个公共点,则 k=0 或 k=1. 答案:D x2 y2 2.AB 为过椭圆a2+b2=1 中心的弦,F(c,0)为它的焦点,则△FAB 的最大面 积为 A.b2 C.ac B.ab D.bc ( )

解析:设 A、B 两点的坐标为(x1,y1)、(-x1,-y1), 1 则 S△FAB=2|OF||2y1|=c|y1|≤bc. 答案:D 3.(2012 年东北三校联考)已知 A,B 是双曲线 C 的两个顶点,直线 L 垂直 → → 于实轴, 与双曲线 C 交于 P, Q 两点, 若PB· AQ=0, 则双曲线 C 的离心率 e 为 ( A. 2 C.1 B. 3 D.2 )

x2 y2 解析:不妨设双曲线 C 的方程为a2-b2=1(a>0,b>0),点 P(x,y),设 A(- → → a,0),B(a,0),Q(x,-y),由PB· AQ=0 得 x2-y2=a2①,又知点 P(x,y)在双曲线 x2 y2 C 上,所以有a2-b2=1 ②,对比①②得 a=b,因此双曲线 C 的离心率 e= 2.

答案:A x2 x2 4.(2013 年武汉调研测试)已知椭圆 m+y2=1(m>1)和双曲线 n -y2=1(n>0) 有相同的焦点 F1、F2,P 是它们的一个交点,则△F1PF2 的形状是 A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.随 m、n 变化而变化 ( )

x2 2 解析:如图,对椭圆 m+y =1(m>1),c2=m-1,|PF1|+|PF2|=2 m.

x2 对双曲线 n -y2=1,c2=n+1,|PF1|-|PF2|=2 n, ∴|PF1|= m+ n,|PF2|= m- n,(2c)2=2(m+n), 而|PF1|2+|PF2|=2(m+n)=(2c)2, ∴△F1PF2 是直角三角形,选 B. 答案:B 5.设 P 是曲线 y2=4x 上的一个动点,则点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 x=-1 直线的距离之和的最小值为 A. 2 C. 5 B. 3 D. 6 ( )

解析:如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1,由抛物线的定义 知:

点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离;于是,问题转化为: 在曲线上求一点 P, 使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小;显然,连 AF

交曲线于 P 点. 故最小值为 22+1,即为 5. 答案:C ?b ? 6.椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)和圆 x2+y2=?2+c?2 有四个交点,其中 c 为 ? ? 椭圆的半焦距,则椭圆离心率 e 的范围为 5 3 A. 5 <e<5 C. 2 3 <e< 5 5 2 B.0<e< 5 D. 3 5 <e< 5 5 ( )

解析:由题意可知,椭圆的两个顶点(a,0)与(0,b)一个在圆外,一个在圆内 即: ? 2 ?b +c?2, ? ?a >? ?2 ? ? ?b ? 2 +c?2 ? ?b <? ?2 ? b ? ?a>2+c, ?? b ? ?b<2+c 5 3 ? 5 <e<5.

1 ? ??a-c?2>4?a2-c2?, ?? ? ? a2-c2<2c 答案:A 二、填空题

x2 7.已知椭圆 4 +y2=1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与 椭圆相交,一个交点为 P,则|PF2|=________.

1 解析: 将 x=- 3代入椭圆方程得 yp=2, 由|PF1|+|PF2|=4?|PF2|=4-|PF1| 1 7 =4-2=2. 7 答案:2

x2 y2 8.(2012 年东北三省联考)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),F( 2,0)为其右 焦点,过 F 垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为 ________. c= 2, ? ?b2 a2-b2,则由题意:? 2=1, a ? ?a2=b2+c2,

解析:令 c=

?a=2, x2 y2 解得? ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 ?b= 2, x2 y2 答案: 4 + 2 =1 x2 y2 9.已知点 F1,F2 分别是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双 曲线离心率的取值范围为________. 解析: 据题意由双曲线的对称性可得若△ ABF2 为锐角三角形,只需∠ b2 a b2 BF2F1<45° 即可,故在 Rt△BF2F1 中,tan∠BF2F1=2c=2ac<tan45° =1,整理可 得 c2-a2<2ac,两侧同除以 a2,e2-1<2e,解不等式结合 e>1,可得离心率的取 值范围是(1,1+ 2). 答案:(1,1+ 2) 三、解答题 x2 2 10.如图,直线 y=kx+b 与椭圆 4 +y =1 交于 A,B 两点,如果|AB|=2, △AOB 的面积为 S=1,求直线 AB 的方程.

解: 设 A、 B 的横坐标分别为 x1、 x2, O 到直线 AB 的距离为 d, 则 d=

|b| , 1+k2

由|AB|=2,S=1 可知,d=1, ∴|b|= 1+k2,即 b2=1+k2. 把 y=kx+b 代入 x2+4y2=4 并整理得: (1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0, 则 x1、 x2 是该方程的两根, 4 4k2-b2+1 Δ ∴|x1-x2|= = , 1+4k2 1+4k2 4 4k2-b2+1 ∴|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2· , 1+4k2 4 3k2?1+k2? ∵|AB|=2,b =1+k ,∴2= , 1+4k2
2 2

1 2 整理得:4k4-4k2+1=0,∴k2=2,∴k=± 2 . 3 6 ∴b2=1+k2=2,∴b=± 2 , 2 6 2 6 ∴直线 AB 的方程为 y= 2 x± 2 或 y=- 2 x± 2 . 11.设 x,y∈R,i,j 为直角坐标平面内 x 轴,y 轴正方向上的单位向量, 若向量 a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8. (1)求点 M(x,y)的轨迹 C 的方程; → → → (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点.设OP=OA+OB,是否存在 这样的直线 l,使得四边形 OAPB 为菱形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存 在,请说明理由. 解:(1)因为 a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8, 所以点 M(x,y)到两定点 F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为 8. 所以点 M 的轨迹 C 为以 F1、 F2 为焦点的椭圆, 易知 a=4, c=2, 故 b2=12, x2 y2 其方程为12+16=1. (2)因为直线 l 过 y 轴上的点(0,3),若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的 → → → 顶点,这时OP=OA+OB=0. 所以 P 与 O 重合,与四边形 OAPB 是菱形矛盾, 故直线 l 的斜率存在.

可设其方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+3, ? ? 由? x2 y2 + =1, ? ?12 16 消去 y,得(4+3k2)x2+18kx-21=0.

此时 Δ=(18k)2-4(4+3k2)(-21)=576k2+336>0 恒成立. 18k 24 且 x1+x2=- . 2,y1+y2=k(x1+x2)+6= 4+3k 4+3k2 → → → 因为OP=OA+OB,所以四边形 OAPB 是平行四边形. → → 若四边形 OAPB 是菱形,则|OA|=|OB|. → → 因为OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),
2 2 2 所以 x1 +y 2 1=x2+y2. 2 2 2 所以 x1 -x 2 2+y1-y2=0.

所以(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0. 又 y1-y2 =k, x1-x2 18k 24 =0,解得 k=0. 2+k· 4+3k 4+3k2

所以-

所以存在这样的直线 l,使四边形 OAPB 为菱形,其方程为 y=3. 2 12.(2012 年焦作一模)已知椭圆的离心率 e= 2 ,左、右焦点分别为 F1、 F2,定点 P(2, 3),点 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M,F2N 的倾斜角 满足 α+β=π,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标. 2 c 2 解:(1)由椭圆 C 的离心率 e= 2 ,得a= 2 ,其中 c= a2-b2, 椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0), 又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上, ∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=( 3)2+(2-c)2. 解得 c=1,a2=2,b2=1,

x2 ∴椭圆的方程为 2 +y2=1. x2 ? ? +y2=1, (2)证明:由? 2 ? ?y=kx+m

消去 y,

得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0. 2m2-2 kx1+m 4km 设 M(x1, y1), N(x2, y2), 则 x1+x2=- 2 , x1x2= 2 , 且 kF2M= , 2k +1 2k +1 x1-1 kF2N= kx2+m . x2-1

由已知 α+β=π,得 kF2M+kF2N=0, 即 kx1+m kx2+m + =0, x1-1 x2-1

化简,得 2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0, 2m2-2 4km?m-k? ∴2k· 2 - -2m=0,整理得 m=-2k. 2k +1 2k2+1 ∴直线 MN 的方程为 y=k(x-2), 因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0). [热点预测] y2 1 13.双曲线 x2- 3 =1 左、右两支上各有一点 A、B,点 B 在直线 x=2上的 射影是点 B′,若直线 AB 过右焦点,则直线 AB′必过点 A.(1,0) ?3 ? C.?2,0? ? ? ?5 ? B.?4,0? ? ? ?7 ? D.?4,0? ? ? ( )

?1 ? 解析:设直线 AB 的方程为 y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),则 B′?2,y2?. ? ? y=k?x-2?, ? ? 由? 2 y2 x - 3 =1 ? ? 消去 y 得:(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,

4k ? x1+x2= 2 , ? k -3 ∴? 4k2+3 x x = ? ? 1 2 k2-3 . 5 ∴x1x2+1=4(x1+x2). ①

2

y2-y1 直线 AB′的方程为 y-y1= 1 (x-x1),将 y=0 及 y1=k(x1-2),y2=k(x2 2-x1 -2)代入得: -k(x1-2)= k?x2-2?-k?x1-2? 5 ( x - x 1),化简得(x2-x1)x=x1x2- x1+1,② 1 2 2-x1

5 5 5 由①知,x1x2+1-2x1=4(x2-x1),代入②得:x=4, ?5 ? ∴直线 AB′过点?4,0?. ? ? 答案:B 14.若过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为________.

解析:如图,过 A、B 分别作 AD、BE 垂直于准线,垂足分别为 D、E.由 |BC|=2|BF|,即 |BC|= 2|BE|,则∠ BCE = 30° ,又 |AF|=3 ,即 |AD|= 3, |AC| =6, ∴F 为 AC 的中点,KF 为△ACD 的中位线, 1 3 ∴p=|FK|=2|AD|=2, 所求抛物线方程为 y2=3x. 答案:y2=3x

2 15.已知 P、Q、M、N 四点都在中心为坐标原点,离心率为 2 ,左焦点为 → → → → → → F(-1,0)的椭圆 C 上,已知PF与FQ共线,MF与FN共线,PF· MF=0. (1)求椭圆 C 的方程; (2)试用直线 PQ 的斜率 k(k≠0)表示四边形 PMQN 的面积 S, 求 S 的最小值. x2 y2 解:(1)设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), c 2 则 a2=b2+c2,又依题意,知 c=1,a= 2 , x2 2 所以 a= 2,b=1.所以椭圆 C 的方程为 2 +y =1. (2)依题意,易知 PQ 与 MN 垂直于点 F.设 PQ 的方程为 y=k(x+1), y=k?x+1?, ? ? 由?x2 2 +y =1 ? ?2 消 y,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.

设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 2k2-2 4k2 则 x1+x2=- , x x = , 1+2k2 1 2 1+2k2 所以|PQ|= ?1+k2??x1-x2?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 2 2?1+k2? . 1+2k2

1? ? 2 2?1+k2? 2 2?1+k2? ? ? 同理,可得|MN|= 2 = 2+k2 . 1+k2 4?1+k2?2 1 所 以 四 边 形 PMQN 的 面 积 为 S = 2 |PQ|· |MN| = =2- ?1+2k2??k2+2? 2k2 =2- 2k +5k2+2
4

2 16 ≥ 2 9, 2 2k +k2+5

当且仅当 k2=1 时,取等号.

16 所以四边形 PMQN 的面积 S 的最小值为 9 .


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