# 毕业论文正文(常微分方程积分因子法的求解)

I

Abstract
Differential expression of natural law is a natural mathematical language. It from the production practice and science and technology generation, but modern science and technology in analyzing and solving problems in a powerful tool.. Some people in the law to explore the process of the material world, the general experimental observation is difficult to completely rely on recognizing that the law, but there is a link in accordance with certain laws are often easy to catch us, and such laws expressed in mathematical language, which often results in the formation of a differential equation, and once obtained equation, the law is clear So we must be able to find its solution. Meanwhile, for the appropriate differential equation we have a general formula to solve. However, as we all know, not all forms of first-order differential equations are appropriate differential equation. For these are not appropriate differential equation differential equation, how it obtained its solution, which we are discussing here need to use the integrating factor

Keywords:
Differential equation; integral factor; appropriate differential equation; first-order differential

II

1.1 常微分方程………………………………………………………………………1 1.2 恰当微分方程……………………………………………………………………1

2.1 各种形式积分因子存在的充要条件……………………………………………2 2.2 几种常见类型的微分方程的积分因子…………………………………………5

3.1

?P ?Q P ? ? Qf ( x) ? y 的积分因子求法………………………………7 满足条件 ?y ?x

?(m ? 3) x m ?1 ? mx m ?1 y 2 ? 3 xy 3 ? dx ? ?6 y 4 ? 3 x 2 y 2 ? 3 x m y ? dy ? 0 ? ? ? 3.2 方程 ? 积分因

?3 x m ? m( x ? y ) x m ?1 ? dx ? 3x m dy ? 0 ? 方程 ? 积分因子……………………………11

3.3

?(4 ? m) x m ? mx m ?1 y ? 4 y ? dx ? ? x ? 4 x m ? 5 y ? dy ? 0 ? ? ? 3.4 方程 ? 积分因子…………12

III

1.1 常微分方程

1.2

1

2.1

u ? u( x, y) ? 0 ， 使得 u( x, y)M ( x, y)dx ? u( x, y) N ( x, y) ? 0 为一恰当微分方程， 即存在函数U，

d (uM ) d (uN ) ? dy dx 。

1 dM dN *( ? ) N dy dx ，且积分因子为 u ? exp( ? ( x)dx ) 。

? 1 dM dN *( ? ) M dy dx ，且积分因子为 u ? exp( ? ( x)dy ) 。

1 dM dN *( ? ) ? f ( x ? y) u ? exp( ? ( x ? y )d ( x ? y )) N ?M dy dx ，且积分因子为 。 du du du ? ? x ? y ? u ， du dx dy ， 证明 令 则 假设 u ( x ? y ) 为方程 M ( x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 的 d (uM ) d (uN ) ? dx ，所以 积分因子，则由引理有充要条件 dy u *( dM dN du du du du du ? )?N ?M ?N ?M ? (N ? M ) * dy dx dx xy du du du ，所以，

du 1 dM dN 1 dM dN ? *( ? )du *( ? ) ? f ( x ? y) u N ?M dy dx N ?M dy dx ，当且仅当， 时可以解出 u ，故
2

1 dM dN *( ? ) ? f ( x ? y) N ?M dy dx 。

1 dM dN *( ? ) ? f ( x ? y) u ? exp( ? ( x ? y )d ( x ? y ) N ?M dy dx ,且积分因子 。证明类似结论3的证

1 dM dN *( ? ) ? f ( xy) u ? exp( ? ( xy )d ( xy ) Ny ? Mx dy dx ,且积分因子 。 du du dv du du du dv du ? * ? y* ， ? * ? x* xy ? v ，则 dx dv dx dv dy dv dy dv ，假设 u ( x, y ) 为方程

d (uM ) d (uN ) ? M ( x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 的积分因子，则有充要条件 dy dx ，所以 u( dM dN du du du du du ? )? N* ?M ? Ny ? Mx ? ( Ny ? Mx) * dy dx dx dy dv dv dv ，所以，

du 1 dM dN 1 dM dN ? *( ? ) * dv *( ? ) ? f (v ) u Ny ? Mx dy dx Ny ? Mx dy dx ，当且仅当 时,可以解出 u ,故

1 dM dN *( ? ) ? f ( xy) u ? exp( ? ( xy )d ( xy ) Ny ? Mx dy dx ,且积分因子 。

a ?1

a b 方程 M ( x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 有形如 u( x ? y ) 的积分因子的充要条件是

Nax

1 dM dN *( ? ) ? f (xa ? yb ) b ?1 u ? exp( ? ( x a ? y b )d ( x a ? y b )) dy dx ? Mby ，且有积分因子 。
du du du du du du du du ? * ? axa ?1 ， ? * ? byb ?1 du dy du dy du ，假设 令 x ? y ? u ，则 dx du dx
a b

u( x a ? y b ) 是方程 M ( x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 的积分因子，则由引理有充要条件：

3

d (uM ) d (uN ) dM dN du du du ? u *( ? )?N ?M ? ( Naxa ?1 ? Mbyb?1 ) dy dx ，所以， dy dx dx dy du ，从而， du dM dN ? ( Naxa ?1 ? Mbyb?1 ) ?1 * ( ? ) ? f (u ) u dy dx 时，可以解出 u ，得方程
M ( x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 有形如 u( x a ? y b ) 的积分因子的充要条件是
a ?1

Nax

1 dM dN *( ? ) ? f (xa ? yb ) b ?1 u ? exp( ? ( x a ? y b )d ( x a ? y b )) dy dx ? Mby ， 即可得积分因子 。
a b 方程 M ( x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 有形如 u(mx ? ny ) 的积分因子的充要条件是

a ?1

1 dM dN *( ? ) ? f (m xa ? nyb ) b ?1 dy dx N max ? Mnby ，且积分因子
u ? exp( ? (mx a ? ny b )d (mx a ? ny b ))

。证明类似结论3 的证明。

a ?1 b ?1

a b 方程 M ( x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 有形如 u( x y ) 的积分因子的充要条件是

x

y

1 dM dN *( ? ) ? g(x a yb ) u ? exp( ? g ( x a y b )d ( x a y b )) dy dx (ayN ? bxM ) ，且积分因子 。
du du dv du du du dv du ? * ? axa ?1 y b ， ? * ? bxa y b?1 dv dy dv dy dv ，假设 令 x y ? v ，则有 dx dv dx
a b

u( x a y b ) 是方程 M ( x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 的积分因子，则由引理有充要条件：
d (uM ) d (uN ) ? dy dx ，所以， u *( dM dN du du du du ? )?N ?M ? ( Naxa ?1 y b ? Mbxa y b?1 ) ? x a ?1 y b?1 ( Nay ? Mbx) * dy dx dx dy dv dv ， 所以，

du dM dN ? [ x a ?1 y b?1 ( Nay ? Mbx)]?1 * ( ? )dv u dy dx ，当且仅当 [ x a ?1 y b?1 ( Nay ? Mbx)]?1 * ( dM dN ? ) ? g (v ) dy dx 时可以解出 u 。故方程 M ( x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0
a ?1 b ?1

u ? exp( ? g ( x a y b )d ( x a y b ))

a

b

y

1 dM dN *( ? ) ? g(x a yb ) dy dx (ayN ? bxM ) ， 且积

4

a a b b 方程 M ( x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 有形如 u(mx ? hx y ? ny ) 的积分因子的充

a ?1

? Mnby

b ?1

1 dM dN *( ? ) ?φ (m xa ? hxa y b ? nyb ) a ?1 b ?1 dy dx ? hx y (ayN ? bxM ) ，

u ? exp( ? (mx a ? hx a y b ? ny b )d (mx a ? hx a y b ? ny b ))

a a b b 令 mx ? hx y ? ny ? t ，则

du du dt du du du dt du ? * ? (maxa ?1 ? haxa ?1 y b ) * ， ? * ? (nbyb?1 ? hbxa y b ?1 ) * dx dt dx dt dy dt dy dt ，假设

u(mxa ? hxa y b ? nyb ) 是方程 M ( x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 的积分因子，则由引理有充要条件
d (uM ) d (uN ) ? dy dx ，所以， u *( dM dN du du du ? )?N ?M ? [ N (maxa ?1 ? haxa ?1 y b ) ? M (nbyb?1 ? hbxa y b?1 )] * dy dx dx dy dt ，

du dM dN ? [ N (maxa ?1 ? Mnbyb?1 ? hxa ?1 y b?1 (nay ? Mbx)]?1 * ( ? )dt dt dy dx ，当且仅当

[ N maxa?1 ? Mnbyb?1 ? hxa?1 y b?1 ( Nay ? Mbx)]?1＝φ (t ) 时可以解出 u ,故方程
M ( x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 有形如 u(mxa ? hxa y b ? nyb ) 的积分因子的充要条件是
a ?1

N max

? Mnby

b ?1

1 dM dN *( ? ) ?φ (m xa ? hxa y b ? nyb ) a ?1 b ?1 dy dx ? hx y (ayN ? bxM ) ，且积分因

u ? exp( ? (mx a ? hx a y b ? ny b )d (mx a ? hx a y b ? ny b ))

2.2

1 N1 ( x) M 2 ( y ) 。
1

y dy y y ? xφ ( ) ?φ ( ) x 。 x 有积分因子 齐次方程 dx
5

u?

1 xM ? yN 。

dy ? P( x) y ? Q( x) y n ? n ( n ?1) ? P ( x ) dx 1 ） dx Bernoulli方程 ， (n ? 0， 有积分因子 u ? y e 。

6

?P ?Q P ? ? Qf ( x) ? y 的积分因子求法 满足条件 ?y ?x

3.1

?P ?Q P ? ? Qf ( x) ? ?y ?x y

? ( x, y) ? e
? 1 ?

? f ( x ) dx? ? y dy

1

? e?

f ( x ) dx

?y．

? ? f ( x ) dx ? ? dy ? ?? y ? ? f ( x)e ? ? f ( x) ? ( x, y) ?x 证明 ：

?? 1 ?? f ( x ) dx ? ? y dy ? 1 ? ? ? ( x, y ) ? e? y ?y y
1

?

?

? ( x, y) P( x, y)dx ? ? ( x, y)Q( x, y)dy ? 0
?? P ?? ?P P ?P ?P ?? ? ??? ?y ?y ?y y ?y
?? Q ?? ?Q ?Q ?Q ?? ? Qf ( x ) ? ? ? ?x ?x ?x ?x

?? Q ?? P ? ?x ?y P ?P ?Q ??? ? Qf ( x) ? ? ? y ?y ?x

?P ? ? ?Q ?P ? ? y ? Qf ( x) ? ? ? ? ?x ? ?y ? ? ? ? ? ?

7

?Q ?P P ? ? ? Qf ( x) ?x ?y y ．
? 如 果 ? ( x, y ) ? e
x) d x

f ( x ) dx

? y 是 方 程 P( x, y) d? x y 也是该方程的积分因子

Q , )? d y 0 积 分 因 子 ， 则 ( x y 的

?f( ? ( x , y 2) ? ( e

? y2 ? )

?2 e

f( x d x2 )

?

? 2 Pdx ? ? 2Qdy ? 0
? ( ? 2 P) ?? ?P ? 2? P ? ?2 ?y ?y ?y
? 2? 2 P ?P ? ?2 y ?y

? ( ? 2Q) ?? ?Q ? 2?Q ? ?2 ?x ?x ?x
? 2 ? 2Qf ( x) ? ? ? 2 ?Q ?x

?? ?P ?? ?Q ?(? 2 P) ?( ? 2Q) ? ? 2 ) ? (2?Q ? ?2 ) ? ? (2? P ?y ?y ?x ?x ?y ?x ? 2? ( P ?? ?? ?P ?Q ? Q ) ? ?2( ? ) ?y ?x ?y ?x

P ?P ?Q ? 2? ( ? ? Qf ( x) ? ) ? ? 2 ( ? ) y ?y ?x ? 2? 2 ( P ?P ?Q ? Qf ( x)) ? ? 2 ( ? ) y ?y ?x

1 2 因为 f ( x) ， y 分别是 x ， y 的连续函数，则由连续函数的局部性质知 2 f ( x) ， y 也分别是

x ， y 的连续函数．
?P ?Q 2P ? ? 2Qf ( x) ? ?y ?x y P ?P ?Q ?(? 2 P) ?( ? 2Q) ) ? ? 2? 2 ( ? Qf ( x)) ? ? 2 ( ? y ?y ?x ?y ?x

8

? 2? 2 (

P P ? Qf ( x)) ? 2? 2 ( ? Qf ( x)) y y

=0 所以 所以 例3

? 2 Pdx ? ? 2Qdy ? 0 是全微分方程．
? 2 也是该方程的积分因子．

3

y

sin xdy ? 0 的积分因子．

?P ?Q ? ? x3 ? e y cos x ?y ?x
f ( x) ? ? cot x

? ? e?

? cot xdx

?y．

2

xdx ? x3 ye y dy ? 0 的积分因子．

?M ?N ? ? sin 2 x ? 3x 2 ye y ?y ?x

f ( x) ?

?3x 2 ye y ?3 ? x3 ye y x 从而使该方程能够满足定理 1 所需条件

?3 1 dx ?3 dx 1 y ? ? e? x ? y ? e ? x ? y ? 3 ? y ? 3

x

x

??

y x3 ．

??

y2 x6 也是该方程的积分因子．

3.2

?(m ? 3) x m ?1 ? mx m ?1 y 2 ? 3 xy 3 ? dx ? ?6 y 4 ? 3 x 2 y 2 ? 3 x m y ? dy ? 0 ? ? ?

?(m ? 3) x m ?1 ? mx m ?1 y 2 ? 3 xy 3 ? dx ? ?6 y 4 ? 3 x 2 y 2 ? 3 x m y ? dy ? 0 ? ? ? ?

9

2

1 2 2

2

1 2 2
1 ? ?z ? y( x2 ? y 2 ) 2 ?y

1 ? ?z 2 2 ? x( x ? y ) 2 ?x

? ( x, y) Pdx ? ? ( x, y)Qdy ? 0
P ? (m ? 3) xm?1 ? mxm?1 y 2 ? 3xy3 Q ? 6 y 4 ? 3x2 y2 ? 3xm y
?? P d ? ?z ?P ?P ?? ?y dz ?y ?y

? Py( x 2 ? y 2 )

?

1 2

d? ?P ?? dz ?y

?? Q d ? ?z ?Q ?Q ?? ?x dz ?x ?x

? Qx( x 2 ? y 2 )

?

1 2

d? ?Q ?? dz ?x

?? P ?? Q ? ?y ?x

( Py ? xQ)( x 2 ? y 2 )

?

1 2

d? ?Q ?P ? ?( ? ) dz ?x ?y

?

1 d? ? ? dz

?Q ?P ? ?x ?y ( Py ? xQ) ? ( x 2 ? y 2 ) ?Q ?P ? ?x ?y ( Py ? Qx) ? ( x 2 ? y 2 )
? 1 2 ? 1 2

?

d ln ? ? dz

?

1 ( x2 ? y2 ) 2
1

10

? ( x, y ) ? e
?

?

1
1

dz

( x2 ? y 2 ) 2

1
1 ( x2 ? y 2 ) 2

1

d ( x2 ? y 2 ) 2

?e
?e

1

ln( x 2 ? y 2 ) 2

? ( x2 ? y 2 ) 2 ．

?6 cos3 x ? 3 y 2 cos x ? 3 y 3 cos x ? d (cos x) ? ?6 y 4 ? 3cos 2 xy 2 ? 3x 2 y ? dy ? 0 ? ? ? ? 的积分因

1

? ? ( x2 ? y 2 ) 2

1

3.3

?3 x m ? m( x ? y ) x m ?1 ? dx ? 3x m dy ? 0 ?

?3 x m ? m( x ? y ) x m ?1 ? dx ? 3x m dy ? 0 ? ?

? ? ( x ? y)2 ．

2

?? ? 2x ? 2 y ?x

?? ? 2x ? 2 y ?y

? ( x, y) Pdx ? ? ( x, y)Qdy ? 0
?? P d ? ?z ?P ?P ?? ?y dz ?y ?y ? P(2 x ? 2 y ) d? ?P ?? dz ?y

?? Q d ? ?z ?Q ?Q ?? ?x dz ?x ?x d? ?Q ? Q (2 x ? 2 y ) ?? dz ?x
11

?? P ?? Q ? ?y ?x

( P ? Q)(2 x ? 2 y )

d? ?Q ?P ? ?( ? ) dz ?x ?y

?Q ?P ? 1 d? ?x ?y ? ? ? dz ( P ? Q) ? (2 x ? 2 y )

?Q ?P ? d ln ? ?x ?y ? ( P ? Q) ? (2 x ? 2 y ) ? dz

?
1

1 ( x ? y)2
dz 1 d ( x ? y )2

? ( x, y) ? e? ( x? y )2 ? e? ( x? y )2

2 ? eln( x? y ) ? ( x ? y) ．
2

?3sin 4 x ? 4(sin x ? e y ) sin 3 x ? d (sin x) ? 3sin 4 xde y ? 0 ? ?

? ? (sin x ? e y )2 ．

3.4

?(4 ? m) x m ? mx m ?1 y ? 4 y ? dx ? ? x ? 4 x m ? 5 y ? dy ? 0 ? ? ? 方程 ? 积分因子

?(4 ? m) x m ? mx m ?1 y ? 4 y ? dx ? ? x ? 4 x m ? 5 y ? dy ? 0 ? ? ? ?

? ? ( x ? y)3 ．

3

?z ? 3( x ? y ) 2 ?x

?z ? 3( x ? y ) 2 ?y

? ( x, y) Pdx ? ? ( x, y)Qdy ? 0
12

P ? (4 ? m) xm ? mxm?1 y ? 4 y Q ? x ? 4 xm ? 5 y
?? P d ? ?z ?P ?P ?? ?y dz ?y ?y ? 3P ( x ? y ) 2 d? ?P ?? dz ?y

?? Q d ? ?z ?Q ?Q ?? ?x dz ?x ?x d? ?Q ? 3Q( x ? y ) 2 ?? dz ?x

?? P ?? Q ? ?y ?x

3( P ? Q)( x ? y )2

d? ?Q ?P ? ?( ? ) dz ?x ?y

?Q ?P ? 1 d? ?x ?y ? 2 ? ? dz ( P ? Q ) ? 3( x ? y ) ?Q ?P ? d ln ? ?x ?y ? ( P ? Q ) ? 3( x ? y ) 2 ? dz

?

1 ( x ? y )3

? ( x, y) ? e
?e

? ( x? y )3 dz
1
3

1

? ( x ? y )3 d ( x ? y )
3

? eln( x? y )

? ( x ? y)3

? ? ( x ? y)3 ．
13

3 2 3 求齐次方程 (7sin x ? 3sin xy ? 4 y)dx ? (sin x ? 4sin x ? 5 y)dy ? 0 的积分因子．

? ? ( x ? y)3 ．

14

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