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两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习


两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习
一、知识要点: 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1) S(? ? ? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? cos ? ; (2) C(? ? ? ) : cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; (3) T(? ? ? ) : tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1) S(2? ) : sin 2? ? 2sin ? cos ? α ; (2) C(2? ) : cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ? ;
2 2 2 2

(3) T(2? ) : tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

3.常用的公式变形 (1) tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ; (2) cos ? ?
2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ; ,sin 2 ? ? 2 2
2 2

(3) 1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? ) ,1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? ) ,sin ? ? cos ? ? 4.函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x(a, b 为常数 ), 可以化为 f ( x) ?

2 sin(? ? ) . 4

?

a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) ? a 2 ? b 2 cos( x ? ? ), 其中

? (? ) 可由 a, b 的值唯一确定.
两个技巧 (1)拆角、拼角技巧:(2)化简技巧:切化弦、 “1”的代换等. 【双基自测】 1.(人教 A 版教材习题改编)下列各式的值为

1 的是( ). 4

A. 2cos

2

?
12
0

? 1 B. 1 ? 2sin 2 750 C.
0 0 0

2 tan 22.50 0 0 D. sin15 cos15 1 ? tan 2 22.50
)

2. sin 68 sin 67 ? sin 23 cos 68 ? ( A. ?

2 2 3 B. C. D.1 2 2 2

3.(2011·福建)若 tan ? ? 3, 则 A.2 B.3 C.4

sin 2? ? ( ). cos 2 ?
D.6

4.已知 sin ? ? A. ?

2 , 则 cos(? ? 2? ) ? ( ). 3
B. ?

5 3

1 9

C.

1 9

D.

5 3

5.(2011·辽宁)设 sin( A. ?

?

1 ? ? ) ? , 则 sin 2? ? ( ). 4 3
C.

7 9
0

B. ?

1 9
0

1 9
0

D.
0

7 9

6. tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 ? ________. 7.若 tan(

?

2 ? ? ) ? , 则 tan ? ? t________. 4 5
cos150 ? sin150 0 0 ;② sin 50 (1 ? 3 tan10 ) . 0 0 cos15 ? sin15

考向一 三角函数式的化简与求值 [例 1]求值:①

[例 2]已知函数 f ( x) ? 2sin( ? (1)求 f ( 练习: 1.(1)已知 sin ? ?

x ? ), x ? R . 3 6

? 10 6 5? ? ?? ) 的值;(2)设 ? , ? ? ?0, ? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 cos(? ? ? ) 的值. 2 13 5 4 ? 2?
3 ? cos 2? , ? ? ( , ? ), 则 ? ________. ? 5 2 2 sin(? ? ) 4
5 ? , 则 tan( ? 2? ) ? ( 5 4
)

(2)(2012·济南模拟)已知 ? 为锐角, cos ? ? A. ?3 B. ?

1 4 C. ? D. ?7 7 3 ? 4 1 2.已知 ? , ? ? (0, ),sin ? ? , tan(? ? ? ) ? ? , 求 cos ? 的值. 2 5 3
考向二 三角函数的求角问题 [例 3]已知 cos ? ? 练习: 1.已知 ? , ? ? ( ?

1 13 ? ,cos(? ? ? ) ? , 且 0 < ? < ? < ,求 ? . 7 14 2

? ?

, ), 且 tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两个根,求 ? ? ? 的值. 2 2

2.(2011·南昌月考)已知 tan(? ? ? ) ? 3.已知锐角 ? , ? 满足 sin ? ?

1 1 , tan ? ? ? , 且 ? , ? ? (0, ? ), α ,β ∈(0,π ),求 2? ? ? 的值. 2 7

5 10 , cos ? ? , 求:① ? ? ? 的值;② ? ? ? 的值. 5 10

考向三三角函数公式的逆用与变形应用 [例 4](2013·德州一模)已知函数 f ( x) ? 2cos 2

x ? 3 sin x . 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域;(2)若 ? 为第二象限角,且 f (? ? 练习: 1.(1)(2012·赣州模拟)已知 sin(? ?

?

1 cos 2? 的值. ) ? ,求 3 3 1 ? cos 2? ? sin 2?

?
6

) ? cos ? ?

4 3 ? , 则 sin(? ? ) 的值为( 5 3

)

A.

4 5

B.

3 3 3 C. D. 2 5 5

(2)若 ? ? ? ?

3? , 则 (1 ? tan ? )(1 ? tan ? ) 的值是________. 4

考向四角的变换

sin ? ? cos ? ? 3, tan(? ? ? ) ? 2, 则 tan(? ? 2? ) ? _______. sin ? ? cos ? ? 4 ? (2)(2012·江苏高考)设 ? 为锐角,若 cos(? ? ) ? , 则 sin(2? ? ) ? ________. 6 5 12
[例 5](1)(2012·温州模拟)若 练习:

2 ? 1 ? ) , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) ? ( 5 4 4 4 13 13 3 1 A. B. C. D. 18 22 22 6 ? ? 1 ? 2 2.已知 0 < ? < < ? < ? , 且 cos(? ? ) ? ? ,sin( ? ? ) ? , 求 cos(? ? ? ) 的值. 2 2 9 2 5
1.设 tan(? ? ? ) ? 考向五 三角函数的综合应用 【例 4】? (2010·北京)已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin x .
2

(1)求 f ( ) 的值;(2)求 f ( x) 的最大值和最小值.

?

3

【训练 4】 已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (1)求 f ( x) 的最小正周期;(2)求 f ( x) 在区间 [? 作业: 1.(2012·南昌二模)已知 cos( x ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 6 2

?
6

)??

3 ? , 则 cos x ? cos( x ? ) 的值是( 3 3

)

A. ?

2 3 3

B. ?

2 3 C. ?1 D. ?1 3

2. (2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知 ? 满足 sin ? ? A.

1 ? ? , 那么 sin( ? ? )sin( ? ? ) ? ( 2 4 4

)

1 4

B. ?

1 1 C. 4 2

D. ?

1 2
5 3 ,sin(? ? ? ) ? , 则 cos ? ? ( 5 5
)

3. (2012·东北三校联考)设 ? , ? 都是锐角,且 cos ? ?

A.

2 5 2 5 2 5 2 5 5 5 B. C. 或 D. 或 25 5 25 5 5 25 3 , 则 cos 2? ? ( 3
)

4.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

A. ?

5 5 5 5 B. ? C. D. 3 9 9 3

5.已知 sin(? ?

?
3

) ? sin ? ? ?

4 3 ? , ? < ? < 0 ,求 cos? 的值. 5 2

6.求值:①

sin 70 ? sin 80 cos150 2 cos100 ? sin 200 0 0 0 ;② ;③ cos 20 cos 40 cos80 . cos 70 ? sin 80 sin150 sin 700

? ? 4 < ? < ? , cos( ? ? ) ? . 2 4 5 ? (1)求 sin 2? 的值;(2)求 cos(? ? ) 的值. 4 4 5 8.已知 ? , ? 都是锐角,且 cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ? , 求 cos ? 的值. 5 13 x x 9.(2012·衡阳模拟) 函数 f ( x) ? cos( ? ) ? sin( ? ? ), x ? R . 2 2
7.已知: 0 < ? < (1)求 f ( x) 的最小正周期;(2)若 f (? ) ?

2 10 ? ? , ? ? (0, ), 求 tan(? ? ) 的值. 5 2 4
2

10.(2012·北京西城区期末)已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? sin x cos x, x ? [ (1)求 f ( x) 的零点;(2)求 f ( x) 的最大值和最小值.

?
2

,? ] .

? ? 3 3? 5 ), ? ? (0, ),cos( ? ?) ? ,sin( ? ?) ? , 求 sin(? ? ? ) 的值. 4 4 4 4 5 4 13 ? 1 12.已知 tan( ? ? ) ? 2, tan ? ? . 4 2 sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ? ①求 tan 2? 的值;②求 的值. 2sin ? sin ? ? cos(? ? ? )
11.已知 ? ? (

? 3?
,


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