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等差数列第2课时


第2课时 等差数列习题课

【题型探究】
类型一 等差数列前n项和的性质

【典例】1.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和
Sn 2n Tn,且 ? 则 a 5 =( , Tn 3n ? 1 b5
2 A. 3 9 B. 14 20 C. 31

)
7 D. 9<

br />
S8 S4 1 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 ? , 那么 S16 S8 3

的值为(
1 A. 8 1 B. 3

)
1 C. 9 3 D. 10

3.(2015·唐山高二检测)设等差数列{an}的前n项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( A.3 B.4 C.5 ) D.6

a5 【解题探究】1.典例1中, 如何转化为 Sn 的形式? b5 Tn 9 ? a1 ? a 9 ? S9 2 提示: a 5 ? 2a 5 ? a1 ? a 9 ? ? . b5 2b5 b1 ? b9 9 ? b1 ? b9 ? T9 2

2.典例2中,S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12是否成等差数 列?

提示:S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.

3.典例3中,联系题目条件,可以考虑应用等差数列前n
项和的哪个性质?
Sn 提示:应用数列 { } 是等差数列. n

【解析】1.选B.由题意得
9 ? a1 ? a 9 ? a 5 2a 5 a1 ? a 9 S9 2?9 9 2 ? ? ? ? ? ? . b5 2b5 b1 ? b9 9 ? b1 ? b9 ? T9 3 ? 9 ? 1 14 2

S4 1 2.选D.由 ? , 可设S4=t,S8=3t,t≠0, S8 3

所以S8-S4=3t-t=2t,

因为等差数列{an}的前n项和为Sn,
所以S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列, 所以S12-S8=3t,S16-S12=4t,

所以S12=6t,S16=10t.
S8 3t 3 ? ? . 所以 S16 10t 10

3.选C.因为数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,
所以数列 {Sn } 也为等差数列.
n 所以 Sm?1 + Sm?1 = 2Sm ,即 ?2 + 3 =0, m ?1 m ?1 m m ?1 m ?1

解得m=5,经检验为原方程的解.

【延伸探究】若典例1条件不变,试计算 a 7 .
13 ? a1 ? a13 ? S13 2 ?13 13 2 【解析】 a 7 ? 2a 7 ? a1 ? a13 ? ? ? ? . b7 2b7 b1 ? b13 13 ? b1 ? b13 ? T13 3 ?13 ? 1 20 2
b7

【方法技巧】与等差数列前n项和Sn有关的性质 (1)数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是公差为n2d的等差数列.

(2)数列 {Sn } 为等差数列.
n

(3)等差数列{an}前n项和公式为 Sn ? n ? a1 ? a n ? , 由等差数
2

列的性质可得:
2m(a1 ? a 2m ) S2m ? ? m ? a m ? a m?1 ?, 2 (2m ? 1)(a1 ? a 2m?1 ) S2m?1 ? ? (2m ? 1)a m?1. 2

(4)若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,
a n S2n-1 则 ? . bn T2n-1

【变式训练】1.等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=-6,
S18-S15=18,则S18等于 ( A.36 B.18 C.72 ) D.9

【解题指南】根据S3,S6-S3,S9-S6,?,S18-S15成等差数列
计算.

【解析】选A.由S3,S6-S3,S9-S6,?,S18-S15成等差数列,
可知 S18=S3+S6-S3+S9-S6+…+S18-S15
6 ? (-6 ? 18) ? ? 36. 2

2.(2015·温州高一检测)等差数列{an}的通项公式是 an=1-2n,前n项和为Sn,则数列 {Sn } 的公差是
n

,

前11项和为

.

【解析】因为 Sn ? n(a1 ? a n ) ? n(?1 ? 1 ? 2n) ? ?n 2,
Sn ?n 2 所以 ? ? ?n, n n 所以数列 {Sn } 是首项为-1,公差为-1的等差数列,其前 n ?11? (1 ? 11) 11项和为-(1+2+3+…+11)= =-66. 2
2 2

答案:-1 -66

【补偿训练】一个等差数列的前10项之和为100,前100 项之和为10,求前110项之和. 【解析】方法一:设该等差数列的公差为d, 由于Sn= na1 ?
n(n- 1) 所以 d, 2

Sn d ? a1 ? (n- 1), n 2

所以数列{Sn } 是等差数列,其公差为 d .
n

2 S d S 10 100 99 所以 (100-10) ? 100 - 10 ? - ?- , 2 100 10 100 10 10 d 11 所以 ? - . 2 100 所以 S110 ? S100 ? 10 ? d ? 10 ? 10 ? (- 11 ) ? -, 1 110 100 2 100 100

所以S110=-110.

方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100 成等差数列,设其公差为D,前10项和10S10+ 10 ? 9×D=
2

S100=10?D=-22,所以S110-S100=S10+(11-1)D=100+10× (-22)=-120. 所以S110=-120+S100=-110.

类型二

奇数项和、偶数项和问题

发展要求

【典例】等差数列{an}的前12项和为354,前12项中奇 数项与偶数项的和之比为27∶32,求这个数列的通项公 式.

【解题探究】典例中前12项中奇数项能构成等差数列 吗?偶数项呢?偶数项的和与奇数项的和的差有何特点? 提示:前12项中奇数项、偶数项分别构成以a1,a2为首 项,2d为公差的新的等差数列.S偶-S奇=6d.

【解析】方法一:设{an}的首项为a1,公差为d,
S奇=6a1+ 6 ? 5 ×2d=6a1+30d,
2

S偶=6(a1+d)+

6?5 ×2d=6a1+36d, 2

? 6a1 ? 30d 27 ? , ?d ? 5, ? 所以 ? 6a1 ? 36d 32 解得 ? ?a1 ? 2. ?(6a ? 30d) ? (6a ? 36d) ? 354. 1 ? 1

所以an=2+(n-1)×5=5n-3.

方法二:S偶-S奇=(a2+a4+…+a12)-(a1+a3+…+a11) =(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a12-a11)=6d,
? S奇 27 ?S偶 ? 192, ? S ? 32 , 因为 ? 偶 所以 ? ?S奇 ? 162. ?S ? S ? 354, 偶 ? 奇

所以S偶-S奇=192-162=6d.所以d=5. 因为S12=12a1+ 12 ?11×5,
2

所以a1=2.所以an=5n-3.

方法三:设{an}的首项为a1,公差为d,则
6(a 2 ? a12) 6(a1 ? a11) S偶 ? ,S奇 ? , 2 2 S 所以 偶 ? a 2 ? a12 ? a 7 ? 32 . ① S奇 a1 ? a11 a 6 27 因为S12= 12(a1 ? a12) =6(a6+a7)=354,② 2 a 6 ? 27, 解得 ? ? ?a 7 ? 32.

所以d=5.所以an=a6+(n-6)×5=27+5n-30=5n-3.

【延伸探究】 1.(变换条件)典例中,“354”改为“222”,“27∶32”

改为“17∶20”,其他条件不变,结果又如何?

【解析】S偶-S奇=(a2+a4+?+a12)-(a1+a3+?+a11) =(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a12-a11)=6d,
? S奇 17 ?S偶 ? 120, ? S ? 20 , 因为 ? 偶 所以 ? ?S奇 ? 102. ?S ? S ? 222. 偶 ? 奇

所以S偶-S奇=120-102=6d.所以d=3. 因为222=12a1+ 12 ?11 ×3,
2

所以a1=2.所以an=3n-1.

2.(变换条件、改变问法)典例中项数改为2n+1(n∈N*) 项,且奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和 项数.

【解析】项数为2n+1(n∈N*),则奇数项有n+1项,偶数 项有n项,中间项为an+1,则
2 ? a 2 ? a 2n ??n a1 ? a 2n ?1 ? ( ? n ? 1) ? S奇= =? n ? 1? a n ?1=44, S偶= =na n ?1 ? 33,

2 所以 n ? 1= 4 . 所以n=3,an+1=11. n 3

所以数列的中间项为11,项数为7.

【方法技巧】奇数项和与偶数项和的性质 (1)若等差数列的项数为2n,则

S2n=n(an+an+1),
a n ?1 S偶-S奇=nd, ? . S奇 an S偶

(2)若等差数列的项数为2n+1,则 S2n+1=(2n+1)an+1,

S偶-S奇=-an+1, S偶 ? n .
S奇 n ?1

【补偿训练】在等差数列{an}中前m项(m为奇数且m>1) 和为77,其中偶数项和为33且a1-am=18,求这个数列的 通项公式.

【解析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则数列的 前m项为a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,?,a1+(m-1)d. 前m项(m为奇数)和为77,其中偶数项之和为33,所以奇数 项之和为44, S奇=a1+(a1+2d)+(a1+4d)+…+[a1+(m-1)d] (共 m-1 ? 1项),
2

S偶=(a1+d)+(a1+3d)+(a1+5d)+…+[a1+(m-2)d]
m-1 所以S奇-S偶=a1+ d=11,① 2 m- 1 (共 项), 2

因为a1-am=a1-[a1+(m-1)d]=18,
所以(m-1)d=-18,②

联立①②解得a1=20,所以am=2,
因为Sm= m (a1+am)=77,所以m=7.
2

代入(m-1)d=-18,解得d=-3. 通项公式an=20-3(n-1)=23-3n.

【延伸探究】

1.(变换条件)本题中“77”改为“93 1 ”,“33”改为
2

“42

1 ”,“a1-am=18”改为“a1=1”,其他条件不变, 2

结果如何?

【解析】设m=2n+1, 由题意得S2n+1=(2n+1)an+1=93 1 ,
1 S奇=S2n+1-S偶=93 1 -42 =51, 2 2 2

S奇-S偶=an+1=8

1 所以 S2n?1 ? 2n ? 1 ? 2 ? 11, 所以n=5. 1 S奇 ? S偶 8 2 93

1 , 2

又因为a1=1,a1+nd=8 1 ,
3 1 所以1+5d=8 ,解得d= , 2 2 3 3n-1 所以an=1+(n-1)× ? . 2 2 2

2.(变换条件、改变问法)将本题中“奇数且m>1”改为

“偶数且m≥18”,“77”改为“162”“33”改为
“72”,“a1-am=18”改为“各项为整数”,求首项a1.

【解析】设m=2n,则n≥9. S奇=a1+a3+…+a2n-1

=na1+ n(n-1) ×2d=na1+n(n-1)d=162-72=90,
2

S偶=a2+a4+a6+…+a2n =na2+ n(n-1) ×2d=na1+n2d=72,
2

所以S偶-S奇=nd=-18,所以d=- 18 ,
n

因为等差数列{an}各项均为整数,
所以d=18 (n≥9)为整数, n

所以n=9,18, 当n=9时,d=-2, 所以9a1+92×(-2)=72,a1=26,

当n=18时,d=-1,
所以18a1+182×(-1)=72,a1=22.

类型三

数列求和

角度1:裂项相消法求和
【典例】(2015·江苏高考)数列{an}满足a1=1,且an+1an=n+1(n∈N*),则数列 { 1 } 的前10项和为
an

.

【解题探究】典例中,用什么方法求数列{an}的通项公
1 式?用什么方法计算数列 { } 的前10项和? an

提示:利用累加法求出数列{an}的通项公式;利用裂项 相消法计算 { 1 } 的前10项和.
an

【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=
n ? n ? 1? 2 ,

1 2 , 所以 ? 所以{ 1 } 的前10项和为 a n n ? n ? 1? an 2 2 2 2 ? ? ? ??? ? 1? ?1 ? 1? 2 ? ? 2 ? 1? 3 ? ? 3 ? 1? 10 ? ?10 ? 1?

1 1 1 1 1 1 1 20 ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ) ? . 2 2 3 3 4 10 11 11 答案:20 11

【延伸探究】若把典例中“an+1-an=n+1”改为 “an= n ? 1 ? n ”,其他条件不变,结果又如何? 【解析】因为 1 ?
an an 1 ? n ?1 - n, n ?1 ? n

所以{ 1 } 的前10项和为

2- 1 ? 3- 2 ? 4- 3 ? ??? ? 11- 10 ? 11 - 1.

角度2:并项转化求和 【典例】数列{an}的通项an= n 2 (cos 2 n? ? sin 2 n? ), 其前n项
3 3

和为Sn,则S30的值为________.

【解题探究】典例中的数列{an}的通项公式可转化为
何种形式?根据数列{an}中项的变化规律,用什么方法 求和?
2n? 提示: a n ? n 2 cos . 3

数列 {cos 2n?} 中重复出现- 1 ,- 1 ,1三项.
3
2 2

据此特点,可将各项重新搭配并项求和.

【解析】由题意得 a n ? n 2cos 2n? ,
3

所以S30=- 1 [(12+22-2×32)+(42+52-62×2)+…+(282+
2

292-302×2)]

=- 1 [(12-32)+(42-62)+…+(282-302)+(22-32)+(52-62)
2

+…+(292-302)] =- 1 [-2(4+10+16+…+58)-(5+11+17+…+59)]
2

1 4 ? 58 5 ? 59 ? ? (?2 ? ?10 ? ?10) ? 470. 2 2 2

答案:470

角度3:求数列{|an|}的前n项和

发展要求

【典例】已知数列{an}的通项公式an=-2n+11. (1)如果{an}的前n项和为Sn,求Sn的最大值. (2)如果bn=|an| (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.

【解题探究】典例中(1)如何求Sn的最大值? (2)Tn与Sn有什么关系? 提示:(1)利用二次函数求最值的方法求Sn的最大值. (2)当n≤5时,Tn=Sn; 当n≥6时,Tn=S5-(Sn-S5).

【解析】(1)因为Sn= n (9+11-2n)=10n-n2
2

=-(n-5)2+25, 所以当n=5时,Sn最大,最大值为25.

(2)bn= |a n |? ? ?

11-2n,n ? 5,

11,n ? 6, ?2n-

当n≤5时,Tn=Sn=10n-n2;
当n≥6时,Tn=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn =25×2-(10n-n2)=n2-10n+50,
?-n 2 ? 10n(n ? 5), 所以 Tn ? ? 2 n 10n ? 50(n ? 6). ? -

【方法技巧】 1.裂项相消法求数列的和 裂项相消法求数列的和,主要适用于数列的通项公式是 分式.常见的裂项有: (1)若{an}是等差数列,则
1 1 1 1 ? ( ? ). a n a n ?2 2d a n a n ?2 1 1 1 1 ? ( ? ), a n a n ?1 d a n a n ?1

1 1 1 1 ? ( ? ). ? 2? n ?n ? k? k n n ? k 1 1 1 ? ( ? ). ? 3? 2 ? 4n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 2n ? 1 2n ? 1 n ?1 ? n 1 1 ? ? . n ?1 n n n ?1 n ?1 1 1 1 5 ? [ ? ]. ? ? 2 2 2 2 4 n ? n ? 2? n ? n ? 2? 1 1

? 4?

1 1 1 ? 1? ( ? ). ?6? 2 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

? 2n ?

2

2.并项转化法求数列的和 (1)适用形式: ①适用于形如an=(-1)nf(n)的摆动数列. ②项成周期变化的数列.

(2)求和方法:

①形如an=(-1)nf(n)的数列用并项法把相邻项的一正
一负两项并作一项,从而使通项降次,得以转化为等差 数列求解. ②针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某 种特殊的性质,因此在求数列的和时,可将这些项放在

一起先求和,然后再求原数列的前n项和.

3.(发展要求)数列{|an|}的前n项和的四种类型及其求 解策略 (1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列

{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.
(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限 项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数 列{an}分成两段处理.

(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限 项为负数,从某项开始其余都为非负数,同样可以把数 列分成两段处理. (4)等差数列{an}的各项均为负数,则{|an|}的前n项和 为{an}前n项和的相反数.

【变式训练】1.(发展要求)(2015·四平高一检测)在
等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列的前10项和 S10=36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18

的值是
A.24

(

)
B.48 C.60 D.84

【解析】选C.由a1>0,a10·a11<0可知d<0,a10>0,a11<0,
所以T18=a1+…+a10-a11-…-a18 =S10-(S18-S10)=60.

2.计算:1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2. 【解析】原式 =(1-22)+(32-42)+…+[(2n-1)2-(2n)2] =(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+…+(2n-1-2n)(2n-1+2n) =-3-7-…-(4n-1)
[-3-(4n- 1)] =n =-2n2-n. 2

3.在等差数列{an}中,a1=3,d=2,Sn是其前n项和,
1 1 1 求 S ? ? ? ??? ? . S1 S2 Sn

【解析】因为Sn= 3n ? n ? n ? 1? ?2 ? n ? n ? 2 ?,
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), Sn n ? n ? 2 ? 2 n n ? 2 所以 S ? 1 ? 1 ? ??? ? 1 ? 1 [(1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ??? S1 S2 Sn 2 3 2 4 3 5 1 1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? )?( ? )] n?2 n n ?1 n ?1 n n?2 1 1 1 1 3 2n ? 3 ? (1 ? ? ? )? ? . 2 2 n ?1 n ? 2 4 2 ? n ? 1?? n ? 2 ?

2

【拓展类型】等差数列综合应用 【典例】1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*), 且an=2n+λ ,当且仅当n≥7时数列{Sn}递增,则实数λ 的取值范围是 A.(-16,-14] C.[-16,-14) ( ) B.(-16,-14) D.[-16,-14]

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=5,S9=99.
(1)求an及Sn.
4 (2)若数列{bn}满足bn= 2 ,n∈N*, a n ?1

证明数列{bn}的前n项和Tn满足Tn<1.

【解析】1.选B.因为an=2n+λ,所以a1=2+λ, 所以Sn=
n ? a1 ? a n ? 2 n(2 ? ? ? 2n ? ?) =n2+(λ+1)n. ? 2

由二次函数的性质和n∈N*可知: 6.5<- ? ? 1 <7.5即可满足题意,
2

解不等式可得-16<λ<-14.

2.(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a2=5,S9=99.
?a1 ? d ? 5, 所以 ? 解得 ? 9 ? 2a1 ? 8d ? ? 99, ? 2 ?

?a1 ? 3, ? ?d ? 2.

所以an=3+2(n-1)=2n+1,
Sn ? n ? 3 ? 2n ? 1? 2 ? n 2 ? 2n.

4 4 1 1 ? - , (2)因为 b n ? 2 ? an - 1 4n ? n ? 1? n n ? 1 所以 Tn ? 1- 1 ? 1 -1 ? ??? ? 1 - 1 ? 1- 1 2 2 3 n n ?1 n ?1 因为n∈N*,所以 1 >0,所以1- 1 <1, n ?1 n ?1

所以Tn<1.

【方法技巧】解答等差数列综合问题的策略

(1)灵活应用等差数列的定义构成新的等差数列.
(2)以“基本量法”为根本,重视公差和首项的计算. (3)树立“目标意识”,既要充分合理地运用条件,又要

时刻注意解题的目标.
(4)重视方程、分类讨论等思想在解决数列综合问题中 的应用.

【补偿训练】等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4-a2=8,

a3+a5=26,记Tn= Sn ,如果存在正整数M,使得对一切正 2
n

整数n,Tn≤M都成立,则M的最小值是

.

【解析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 因为a4-a2=8,所以d=4. 又因为a3+a5=26,即2a1+6d=26,所以a1=1. 所以Sn=n+
n ? n ? 1? 2
Sn 1 = =2<2. 2 n n n

×4=2n2-n,则T

因为对一切正整数Tn≤M恒成立,所以M≥2.
所以M的最小值为2. 答案:2

规范解答 裂项求和问题 【典例】(14分)(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前 n项和.已知an>0, a n 2 ? 2a n ? 4Sn ? 3. (1)求{an}的通项公式. (2)设bn=
1 ,求数列{bn}的前n项和. a n a n ?1

【审题指导】(1)首先根据an+1=Sn+1-Sn及an2+2an=4Sn+3, 确定{an}的递推公式,然后确定{an}的通项公式. (2)由于数列{bn}的通项公式是分式形式,可考虑利用 裂项法求和.

【规范解答】(1)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12 +2an+1 =4Sn+1+3,…………………………………………2分 可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1,…………………3分 即2(an+1+an)=an+12-an2 =(an+1+an)(an+1-an), ………………………………………………………4分

由于an>0,可得an+1-an=2,…………………5分 又a12+2a1=4a1+3, 解得a1=-1(舍去),a1=3. …………………………………………………6分 所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式 为an=2n+1.……………………………………7分

(2)由an=2n+1可知
1 1 bn ? ? a n a n ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 1 1 1 ? ( ? ) 2 2n ? 1 2n ? 3

……………………………………???9分

设数列{bn}的前n项和为Tn, 则Tn=b1+b2+…+bn= 1 [( 1-1 ) ? ( 1 - 1 ) ? ??? ? ( 1 - 1 )]
2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3

………………………………………………………12分
1 1 1 ? ( - ) 2 3 2n ? 3 n ? . 3 ? 2n ? 3?

………………………………………?????…14分

【题后悟道】 1.重视数列通项公式的变形 数列求和的关键是将数列通项公式变形到恰当的形 式,并选择合适的方法进行求和.如本例,注意到 bn= 1 ( 1 - 1 ) 就可以用裂项相消法求和.
2 2n ? 1 2n ? 3

2.认真分析有关项的抵消规律

裂项相消法的基本思想是将数列的每一项拆成两项(裂
成两项),并使它们在相加时除了首尾的各一项或少数 几项外,其余项都前后抵消,进而可求出数列的前n项和.

如本例中, 1-1 ? 1 - 1 ? ??? ? 1 - 1
3 5 5 7 2n ? 1

1 1 ? - . 2n ? 3 3 2n ? 3


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