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第27届北京市高中力学竞赛决赛


第 27 届北京市高中力学竞赛决赛试题

一、填空题(6 小题、每小题 8 分,共 48 分) 1. 如图 1 所示,铁球上对称固定两根同样的细线 A、B,A 的一端固定于桌面,缓慢竖直提 ,理由是 起 B 线的另一端,则先断开的细线是 B 。快速竖直提起 B 线的另一端,当 A, A B 线都绷直的瞬间,则先断的细线是 ,理由是 图1 。 2. 运动员推出铅

球,不计空气阻力,当铅球运动速度为 vm/s,方向与水平成 θ =30 °时,铅球 kg,理由是 动能的变化率为 k= - 6.0J/s,则铅球的质量 m= 。 3. 水平地面上放置一箱子,甲同学以水平拉力 F 拉箱子匀速前进,速度为 v,如果把箱子和 地面看成一个系统,则人对系统作用力的合力为 ,理由是 。 ,理由是 。 人对系统做功的总功率为 4. 如图 2 所示,系住球 m 的细线长 L,线的另一端固定于 O 点。把球拉至细线水平时释放, 线竖直时距右端竖直墙的距离为 L/2,球将与墙发生完全弹性碰撞,墙壁是光滑的,则碰撞后球 。 距 O 点竖直方向的最近距离为
m L A B v

(景山学校杯)

图3 C 图2 5. 如图 3 所示,长为 L 的轻杆两端连接完全相同的小球 A 和 B,小球位于光滑水平桌面上。 另一个完全相同的小球 C,沿桌面以垂直于杆的速度 v 与球 B 发生完全弹性正碰,则碰后瞬间三 v = v = 球的速度是 v = , , 。 理由是 。 6. 一只质量为 m 的大鸟在高空飞翔,两翅翼展开的总长度为 L,总面积为 S,大鸟保持水平 飞行状态,空气密度为 ρ ,为估算大鸟翅翼扑动的频率 f(单位时间内扑动的次数) ,我们建立的 方程是 ,解得 f= 。
A B C

二、计算题(共 102 分) 7. (16 分)二百多年前,法国科学家拉普拉斯预言:有一种天体,由于引力作用很强,其 上的物体(包括光线)都不能离开;我们看不到这样的天体。现在把这样的天体命名为“黑洞” 。 地球半径 R = 6.4 ×10 km ,设想地球质量不变,在引力作用下塌缩成一小球,引力将增加很大。 试根据万有引力定律和你具有的知识,按经典力学规律,估算物体脱离地球的速度是第二宇宙速 度 2 倍时,地球的半径 r ?(提示:物体的引力势能公式 E = ?G Mm ,M 是天体质量,r 是物 r 体到天体中心的距离)
3 s

P

(16 分)质量为 m 的汽车在水平路面上行驶,前后轮相距 L,与地面的摩擦因素为 ?。 汽车质心离地面高度为 h,与前轮轴水平距离为 l( l ≠ L / 2 ) 。求当汽车加速度 a 为何值时前后 车轮对地面的压力相等。
8.
C

.(20 分)如图 4 所示,由一光滑细管构成一半径为 R 的圆环,放在水平光滑桌面上。管 内 A 、A 处有两个质量为 m 的小球,圆形管道的质量是 γm,开始时管道静止,两小球向右以等 大的速度开始运动,细管上 P 、P 处有两个缺口(φ 已知),小球自小孔中穿出后,将在平面上 某处相遇,求: (1)相遇时两球与管道中心 O 的距离 l; (2)从小球穿出缺口直到小球相遇的过程中,管道在平面上移动的路程 s。 A v
9
1 2 1 2 1

R

P1 φ P2



A2

v

图4

(25 分)一块质量为 M 的物体静止在光滑水平面上,物体内有一如图 5 所示的光滑管 道,l、α 已知,有一质量为 m 的滑块从左端口滑下,求 m 自滑下到返回左端口的总时间。(可 取 α=60°) m
10. l

α l

α

图5

(25 分)如图 6 所示,一块长为 L = 1.00m 的光滑平板 PQ 固定在轻质弹簧上端,弹簧 的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间(图中未画出竖直导轨) , 从而只能竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期 T = 2.00s 。一小球 B 放在光滑 的水平台面上,台面的右侧边缘正好在平板 P 端的正上方,到 P 端的距离为 h = 9.80m 。平板静 止在其平衡位置。小球 B 与平板 PQ 的质量相等。现给小球一水平向右的速度 v ,使它从水平台 面抛出。已知小球 B 与平板发生弹性碰撞,碰撞时间极短,且碰撞过程中重力可以忽略不计。要 使小球与平板 PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞, v 的值应在什么范围内?(取 g=9.8m/s 。 π? 当 a ≠ 0 , b ≠ 0 时, ax = b cos ? ? π x ? ? 是超越方程,一般没有解析解,只有数值解,数值解 2? ? 与 a、b 的关系如下表所示)
11.
0 2 0
2

a b 4.2 4.41 5

B

v0

4.8 0.766 0.7739 0.7934

4.90 0.7926 0.771 0.7903

6 0.7273 0.7361 0.7579 P h Q

图6

第 27 届北京市高中力学竞赛决赛试题 届北京市高中力学竞赛决赛试题参考答案

一、填空题 1. B;B 线受力是铁球重力与 A 线张力之和。 A;A 线绷紧时铁球有向上速度,铁球的惯性使 A 线形变大。
2. m = 3. 0 4.

(景山学校杯)

12 gv

π ? ; k = mgv cos ? ? +θ ? ?2 ?

;人对地作用向后的力 ? F ;Fv;人对地面不做功。
3 L 8

; ; ;轻杆两端不能受到垂直杆的力。 (说明:反证法,如果轻杆受这样的力,则造成 杆的平动加速度无限大,或转动加速度无限大。 )
5. 0 v 0 6. mg = ρ S v
2

; v = π fL ; f = π1L

mg ρS

( 说明 :动量定理 F ?t = ?mv = ρ S ?tv·v ,

F = ρ Sv

2

,v = 1 ω L = π fL ) 2

二、计算题 计算题 7. 解:设无限远处的引力势能 E = 0 。地球未塌缩时,设物体 m 脱离地球的速度,即第二 Mm 宇宙速度是 v。则物体 m 在地球表面的引力势能 E = ?G Mm ,势能增量 ?E = G 。 (G 为 R R 引力常量,M 为地球质量。 ) Mm 物体要脱离地球到无限远处,其动能 E 至少应等于△E ,因此: 1 mv = G (1) 2 R
p∞ p p

2

k

p

同理,地球塌缩后,物体 m 在地球表面的引力势能 E
k

p

= ?G

Mm rs

,无势能增量 ?E
2

p

=G

Mm rs



物体要脱离地球到无限远处,其动能 E 至少应等于△E ,因此: 1 m ( 2v ) 2
p

=G

Mm rs

(2)

6.4 ×10 联立(1) 、 (2)得 r = R = 4 4
s

6

= 1.6 × 106



8.

(1) f + f = ma (2) N l ? N (L ?l) ?( f + f )h = 0 (3) 将(1)代入(2)得: N l ? N ( L ? l ) ? ma h = 0 (4) l ? L) 当 N = N 时, (4)式变为 2 Nl ? NL ? ma h = 0 ,得: a = N ( 2 。 mh
N1 + N 2 ? mg = 0
1 2

解:假设汽车刹车,车受力如图所示,则有:
C

1

2

1

2

1

2

C

1

2

C

C

与(1)联立得:

? L? g ?l ? ? 2? aC = ? h
C



讨论:当 l> L 时, a >0 ,即与假设方向相同,汽车减速运动。 2 当 l< L 时, a <0 ,即与假设方向相反,汽车加速运动。 2
C

aC

C mg f2 N2 L

l h f1

N1

9.

R 解: (1)取管道为参考系,两小球自小孔穿出后将沿切线方向运动,因此 l = sin 。小 ?
1 2 1 2

球从 A 、A 处到 P 、P 处的过程中水平动量守恒:
2mv0 = γ mu + 2m ( v cos ? + u )
1 机械能守恒: 1 ( 2m ) v = γ mu 2 2 解得:小球相对于环的速度:
2 0 2

1 1 2 2 + 2m ( v cos ? + u ) + 2m ( v sin ? ) 2 2

v=

γ γ + 2sin 2 ?

·v0

环的速度:

u=

2

(

γ + 2sin 2 ? ? γ cos ?

小球从穿出小孔到相遇的时间: 管道在平面上移动的路程:
s = ut = 2 R
10. a1

( γ + 2 ) γ + 2sin 2 ?

) ·v

0

cot ? R t=R = v v0

γ + 2sin 2 ? ·cot ? γ

2 1 + sin 2 ? ? cot ?

γ

γ +2

cot ?

解:取物体为参考系,滑块受三个力:mg、F 、和 ma ,设滑块相对于 M 的加速度是
N N

mg sin α + ma cos α = ma ,则对 m: ? ? F + ma sin α = mg cos α
M

r

?

N

M

对 M: F

N

sin α = MaM

由 α = 60° ,可解得 a 所以 t =
1

r

=

2 3 ( M + m) g 4M + 3m

2l = ar

( 4 M + 3m ) l 3 ( M + m) g

下到底端时,滑块因转弯和物体发生一个比较猛烈的作用,此过程中水平动量守恒,设转弯 结束后滑块和物体的速度分别为 v 和 v’,那么:
?mv = Mv ' ? ? 1 1 2 mgl sin α = mv 2 + M ( v ' ) ? ? 2 2

可求出,v 和 v’,相对速度 v 水平段的时间 t
2

r

= v+v' =

3 ( M + m ) gl M

=

l = vr

Ml 3 ( M + m) g =4

一个来回的总时间 t = 4t + 2t
1

2

( 4M + 3m ) l + 2 3 ( M + m) g
0

Ml 3 ( M + m) g g = 0.71m / s 2h

11.

L 答案:u 的取值范围是: 0.46m / s = t + <u < t
0 1 2


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