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§2.1.2-1指数函数及其性质(一)


§2.1.2-1指数函数及其性质(一)

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.1.2-1指数函数及其性质(一)

教学目标:
1.理解指数函数的概念,并能正确作出其图象,掌握 指数函数的性质. 2.培养学生实际应用函数的能力

教学重、难点:
1.指数函数的图象、性质.

2.指数函数的图象性质与底数a的关系.

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2

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一、复习引入: 引例1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂 成4个,……. 1个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细 胞个数 y 与 x 的函数关系是什么?

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3

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引例1

细胞分裂过程

细胞个数 2=21 4=22 8=23

第一次 第二次 第三次

表达式
………… ……

y?2

x

第x次

2

x

细胞个数y关于分裂次数x的表达为:y=2x
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一、复习引入:

引例2 .比较下列指数的异同, 能不能把它们看成函数值?
①、

2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ;
1 3

1 3

1 2

0

1

2

2

y?2
2

x

?1? ②、 ? ? ?2?

?1? ,? ? ?2?

1 2

?1? ,? ? ? 2?

0

?1? ,? ? ? 2?

1

?1? ?1? y ??1? ,? ? ,? ? ; ? ? ? 2? ? 2? ?2?
2

x

函数值??什 么函数?
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一、复习引入:

引例3 、认真观察并回答下列问题:
(1).一张白纸对折一次得两层,对折两次得4层,对折3 次得8层,问若对折 x 次所得层数为y,则y与x 的函数 关系是: x

y ? 2 ,( x ? N )
1 4

1 (2).一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 2 米,再从中

间剪一次剩下

米,若这条绳子剪x次剩下y米,

则y与x的函数关系是:
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?1? y ? ? ? ,( x ? N ) ?2?
6

x

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二、新 课
前面我们从两列指数和三个实例抽象得到两个函数:

1.指数函数的定义: 函数y = ax(a?0,且a ?1)叫做指数函数, 其中x是自变量 .函数的定义域是R . 思考:为何规定a?0,且a?1?
? ?

?1? y ? 2 与y ? ? ? ?2?
x

x

这两个函数有 何特点?

0
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1

a
7

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探究 1:为何规定a?0,且a?1?
? ?

0

1

a

当a?0时,a x有些会没有意义,如(-2) , 0 意义;

1 2

?

1 2

等都没有

而当a=1时,函数值y恒等于1,没有研究的必要.

▲关于指数函数的定义域:
回顾上一节的内容,我们发现指数 a 中p可以 是有理数也可以是无理数,所以指数函数的定义域是R.
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p

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探究 2:函数

y ? 2 ? 3是指数函数吗?
x

指数函数的解析式

y?a

x

中,a 的系数是1.

x

有些函数貌似指数函数,实际上却不是.

如:y ? a x ? k (a ? 0且a ? 1, k ? Z )
有些函数看起来不像指数函数,实际上却是.

如:y ? a (a ? 0且a ? 1)
1 x 1 1 因为它可以转化为: y ? ( ) ( ? 0且 ? 1) a a a
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?x

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2.指数函数的图象和性质: 在同一坐标系中分别作出函数的图象.

?1? (1) y ? 2 与y ? ? ? ? 2?
x x

x

?1? (2) y ? 10 与y ? ? ? ? 10 ?

x

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指数函数的图象和性质:
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:

y?2
列表如下:
x … …
x

x

?1? y?? ? ?2?
-2 0.25 4 -1 0.5 2

x

-3 0.13 8

-0.5 0.71 1.4

0 1 1

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

2 4 0.25

3 8

… …

2

x

?1? ? ? ?2?



0.13 …

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y

1 x y?( ) 2

y=2x

4 3 2 1

-3

-2

-1
-1

0

1

2

3

x

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指数函数的图象和性质:
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像: x

y ? 10

x

?1? y ?? ? ? 10 ?

列表如下:
x … …
x

-1.5 0.03 31.62

-1 0.1 10

-0.5 0.32 3.16

-0.25 0.56 1.78

0 1 1

0.25 1.78 0.56

0.5 3.16 0.32

1 10 0.1

1.5 31.62 0.03

… … …

10 x
?1? ? ? ? 10 ?



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a>1 图 象
y y=1 0 a>1 图 y=ax (a>1) (0,1) x 0<a<1 a>1

0<a<1
y
(0,1) 0 x 0<a<1

y=ax (0<a<1) y=1

1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近. 2.图象过定点(0,1) 3.自左向右图 象逐渐上升 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 3.自左向右图 象逐渐下降 4.图象分布在左 上和右下两个 区域内
质 性

1.定义域为R,值域为(0,+?). 2.当x=0时,y=1 3.在R上是增 函数 3.在R上是减 函数


特 征

4.当x>0时,y>1; 4.当x>0时, 当x<0时,0<y<1. 0<y<1;当x<0 时, y>1.

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三、讲解范例: 例1.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1 年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩 留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年, 剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字) 分析:通过恰当假设,将剩留量y表示成经过年数x 的函数,并可列表、描点、作图,进而求得所求

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解:设这种物质量初的质量是1,经过x年,剩留量是: y经过1年,剩留量y=1×(84%)1=0.841;

经过2年,剩留量y=1×(84%)2=0.842;
一般地,经过x年,剩留量y=0.84 x

……

根据这个函数关系式可以列表如下:
x y 0 1 1 0.84 2 0.71 3 0.59 4 0.50 5 0.42 6 0.35

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1 0.5

y

0 1

2

3

4

5

x

用描点法画出指数函数y=0.84x的图象从图上看出 y=0.5只需x≈4.

答:约经过4年,剩留量是原来的一半.
评述:指数函数图象的应用;数形结合思想的体现.
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§2.1.2-1指数函数及其性质(一)

例2.比较下列各组数的大小:
2.5 3

?3? ?4? ①、 1.7 ,1.7 ②、 ? ? , ? ? ?4? ?3? 1 1 ③、 3 和a 2,(a ? 0, a ? 1) a 1.70.3 , 0.93.1 ④、
解:① 函数y ? 1.7 在(??, ??)是增函数, 又? 2.5 ? 3,
x

1 6

?

1 5

?1.72.5 ? 1.73
?4? ②、 ? ? ?3?
? 1 5

?3? ?? ? ?4?

1 5

?3? ?4? ?? ? ? ? ? ?4? ?3?
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1 6

?

1 5

1 1 ?3? 函数y ? ? ? 在R是减函数, ? ? , 又 6 5 ?4?

x

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§2.1.2-1指数函数及其性质(一)

③、

a 和a ,(a ? 0, a ? 1)
x

1 3

1 2

④、

1.7 , 0.9

0.3

3.1

x 解: ③、 a ? 1 ? 当 时,y ? a 是R上的增函数, a

1 3
1 3

?a
3.1

1 2
1 2

当0 ? a ? 1时,y ? a 是R上的减函数, ? a a
④、 1.7 ?
0.3

? 1而0.9 ? 1,
3.1

?1.7

0.3

? 0.9

小结比较指数大小的方法: ①、构造函数法:要点是利用函数的单调性,数 的特征是同底不同指(包括可以化为同底的), 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②、搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数的特 征是不同底不同指。
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§2.1.2-1指数函数及其性质(一)

例3.求下列函数的定义域:
①、 ③、

y?2

x ?1
2

②、

f ( x) ? 1 ? a x
① ② ③

,(a ? 0, a ? 1)

?1? y ?? ? ?3?

3? x

解:

x?R

由 3 ? x ? 0,得 x ? 3

由 1-a ? 0,得 a ? 1 x 0 即 a ?a
x x
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当 a ? 1时,x ? 0;当 0 ? a ? 1时,x ? 0
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§2.1.2-1指数函数及其性质(一)

4、练习: (1).比较大小:
①、1.01 与 1.01
2.7 3.5

?2? 设y1 ? ? ? (2)、 ?3?

3 x ?1

有(1) y1 ? y2; (2) y1 ? y2; (3) y1 ? y2
?5? ② 0.8 ? 1而 ? 3 ? ? ?
?2 ? 1 2 ? 1 2

? 2? ,y2 ? ? ? ? 3?

?5? ②、 0.8 与 ? ? ?3? ?2 x
?2

?

1 2

,确定x为何指时,

解:(1)① ? y ? 1.01x 是R上的增函数, 1.012.7 ? 1.013.5 ?
?5? ? 1, ? 0.8 ? ? ? ? 3? x 1 y= ? 2 ? 是R上的减函数, (2) 由3x ? 1 ? ?2 x得 x ? ? , ? ? ?3? 5 1 1
?2

① x ? ? 时,y1 ? y2; ② x ? ? 时,y1 ? y2; 5 5
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?2? (2)、设y1 ? ? ? ?3?

3 x ?1

有(1) y1 ? y2; (2) y1 ? y2; (3) y1 ? y2

? 2? ,y2 ? ? ? ? 3?

?2 x

,确定x为何指时,

1 ③ x ? ? 时,y1 ? y2; 5 变式训练:

2 题(2)中,若把 改为a可不可以?若把条件和结论 3 互换可不可以?

1、设y1 ? a3 x?1,y2 ? a ?2 x,试确定x为何值时,有 (1) y1 ? y2; (2) y1 ? y2; (3) y1 ? y2

?2? 2、解不等式: ? ? ?3?
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3 x ?1

? 2? ?? ? ? 3?

?2 x

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§2.1.2-1指数函数及其性质(一)

三、小结
1、指数函数概念;

函数y = ax(a?0,且a ?1)叫做指数函数,其 中x是自变量 .函数的定义域是R .
2、指数比较大小的方法;
①、构造函数法:要点是利用函数的单调性,数的 特征是同底不同指(包括可以化为同底的),若底 数是参变量要注意分类讨论。 ②、搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数的特 征是不同底不同指。
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§2.1.2-1指数函数及其性质(一)

3、指数函数的性质: (1)定义域: (2)函数的特殊值: (3)函数的单调性: 值 域:

◆方法指导:
利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象 的方法,记忆指数函数性质时可以联想它的图像;
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§2.1.2-1指数函数及其性质(一)
a>1 图 象
y y=1 0 a>1 图 y=ax (a>1) (0,1) x 0<a<1 a>1

0<a<1
y
(0,1) 0 x 0<a<1

y=ax (0<a<1) y=1

1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近. 2.图象过定点(0,1) 3.自左向右图 象逐渐上升 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 3.自左向右图 象逐渐下降 4.图象分布在左 上和右下两个 区域内
质 性

1.定义域为R,值域为(0,+?). 2.当x=0时,y=1 3.在R上是增 函数 3.在R上是减 函数


特 征

4.当x>0时,y>1; 4.当x>0时, 当x<0时,0<y<1. 0<y<1;当x<0 时, y>1.

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§2.1.2-1指数函数及其性质(一)

课堂练习 <<教材>> P.58 书面作业 <<教材>> P.59 习题2.1 A组7.8 练习2.3

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