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高中数学-离散型随机变量的分布列


广东北江中学 2013 届高三理科数学补充讲义

教师版第五单元第 4 讲 一.基本理论

离散型随机变量的分布列(6 课时)

(一)基本概念 (1) 随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量来表示, 随机 变量常用希腊字母 ? ,? 等表示. (2) 离散型随机变量: 如果对于随机变

量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离 散型随机变量.例如,射击命中环数 ? 是一个离散型随机变量. (3) 连续型随机变量 如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量. (二)离散型随机变量的分布列 1.设离散型随机变量 ? 可能取的值为 x1 , x2 ,? xn ,? , ? 取每一个值 xi (i ? 1,2,3,4?) 的概率

P(? ? xi ) ? pi ,则称下表

?
P

x1

x2

? ?

xn

? ?

p1

p2

pi

为随机变量 ? 的概率分布,简称为 ? 的分布列. 分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式; (B)一组等式 (C)压缩为一个帶 i 的形式. 2.由概率的性质知,任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质: (A) pi ? 0, i ? 1,2,3?, 3. 求分布列三种方法 (1)由统计数据得到离散型随机变量分布列; (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列; (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列. (B) p1 ? p2 ? ? ? 1

4..离散型随机变量的期望与方差 一般地,若离散型随机变量 ? 的概率分布列为

?
P

x1 p1

x2
p2

? ?

xn pi

? ?

则称 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ? ? 为 ? 的数学期望或平均数.或均值.

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D? ? ( x1 ? E? ) 2 p1 ? ( x2 ? E? ) 2 p2 ? ?? ( xn ? E? ) 2 pn ? ? 为 ? 的 均 方 差 . 简 称 方
差. D? 叫标准差. 性质: (1) D? ? E(? 2 ) ? ( E? ) 2 (三)几种常见的随机变量的分布 1.两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X P 1 p 0 q (2) E (a? ? b) ? aE? ? b (3) D(a? ? b) ? a 2 D?

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布. 2.二项分布 在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在 n 次独立重复试验中这个事件发生 的次数 ? 是一个随机变量.若在一次试验中某事件发生的概率是 P,则在 n 次独立重复试验中
k 这个事件恰好发生 k 次的概率是 P(? ? k ) ? Cn p k q n?k , q ? 1 ? p, k ? 0,1,2?, n,

得到随机变量 ? 的概率分布如下

?
P

0
0 Cn p 0 qn

1
1 Cn p1q n?1

? ?

k
k Cn p k qn?k

? ?

n
n Cn pn q0

k 称随机变量 ? 服从二项分布,记作 ? ~B(n,p),并记 Cn p k qn?k =b(k;n,p)

3. 超几何分布 一般地,在含有 M 件次品中的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 ? X ? k? 发 生的概率为 P( x ? k ) ?
k n CM CN?kM ? , k ? 0,1,2,3,?, m, n CN

其中 m ? min ?M , n?, n ? N , M ? N , n, M , N ? N ? 称分布列

X
P

0
0 n CM C N? 0M ? n CN

1
1 n CM C N?1M ? n CN

? ?

m
m n C M C N? m ?M n CN

4. 几何分布
(1)若 ? ~ g (k , p) ,则 E?

?

1 p

(2) 若 ? ~ g (k , p) ,则 D?

?

1? p p2

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二.题型分析
题型 1.由统计数据求离散型随机变量的分布列 题 1. (2011· 北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数

分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数 y 的分布列; (2)每植一棵树可获 10 元,求这两名同学获得钱数的数学期望. [审题视点] 本题解题的关键是求出 Y 的取值及取每一个值的概率,注意用分布 列的性质进行检验. 解 (1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是 4×4=16,这两名 同学植树总棵数 Y 的取值分别为 17,18,19,20,21, 2 1 P(Y=17)=16=8 2 1 P(Y=21)=16=8 则随机变量 Y 的分布列是: 4 1 P(Y=18)=16=4 4 1 P(Y=19)=16=4 4 1 P(Y=20)=16=4

Y P

17 1 8

18 1 4

19 1 4

20 1 4

21 1 8

17 18 19 20 21 (2)由(1)知 E(Y)= 8 + 4 + 4 + 4 + 8 =19, 设这名同学获得钱数为 X 元,则 X=10Y, 则 E(X)=10E(Y)=190.
题 2. 【2012 高考真题广东理 17】 (本小题满分 13 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 4 所 示 , 其 中 成 绩 分 组 区 间 是 : [40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]. (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的 人数记为 ? ,求 ? 得数学期望.
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【答案】 本题是在概率与统计的交汇处命题, 考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型 随机变量的分布列及期望,考查学生应用数学知识解决实际问题的能力,难度中等。 【解析】

题型 2 由古典概型求离散型随机变量的分布列 题 3. (2012 年韶关二模)有一个 3× 5 的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长 4× 方体锯成 60 个 1× 1 的小正方体,从这些小正方体中随机地任取 1 个,设小正方体涂上颜 1× 色的面数为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望. ( 1 ) 60 个 1× 1 1× 的 小 正 方 体 中 , 没 有 涂 上 颜 色 的 有 … (3 分) 6 个 ,

P (? ? 0) ?

6 1 ? 60 10

(2)由(1)可知

P (? ? 0) ?
分布列

1 11 2 2 P (? ? 1) ? P(? ? 2) ? P (? ? 3) ? 10 ; 30 ; 5; 15

… (7 分)

?

0

1

2

3

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p

1 10

11 30

2 5

2 15
… (10 分) …(12 分)

E ? =0×

1 11 2 2 47 +1× +2× +3× = 10 5 15 30 30

题 4. 【2012 高考真题浙江理 19】已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白 球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球, 记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X). 【答案】本题主要考察分布列,数学期望等知识点。 (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P ( X ? 3) ? P( X ? 5) ?
3 C5 5 ? ; 3 C9 42

P( X ? 4) ?

1 C52 C4 20 ? ; 3 42 C9 3 C4 2 ? . 3 C9 42

1 2 C5 C4 15 ? ; 3 42 C9

P ( X ? 6) ?

故,所求 X 的分布列为 X 3
5 42

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

P

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为: E(X)= ? i ? P( X ? i) ? 3 ?
i?4 6

5 10 5 1 91 ? 4 ? ? 5? ? 6? ? ? . 42 21 14 21 21

题型 3. 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列 题 5. 【2012 高考真题重庆理 17】 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一票.约定甲先投中者获胜,一直到有人获胜或每人 都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 各次投篮互不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望 【答案】

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且 3 2

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题 6. 【2012 高考真题全国卷理 19】 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连 续发球 2 次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发 球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先 发球. (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ) 【答案】 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 的期望.

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题型 4. 两点分布 题 7. 某公司有 5 万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利 12%;一旦失败, 一年后将丧失全部资金的 50%.下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果:

投资成功 192 次

投资失败 8次

则该公司一年后估计可获收益的期望是________. 解析 设该公司一年后估计可获得的钱数为 X 元,则随机变量 X 的取值分别为 50 000×12% =6 000(元),-50 000×50%=-25 000(元).由已知条件随机变量 X 的概率分布列是

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X P

6 000 24 25

-25 000 1 25

24 1 因此 E(X)=6 000× +(-25 000)× =4 760 25 25 答案 4 760 题型 4.二项分布 题 8. (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研理科) 在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂,准备进行某种实验,过圆锥高的中点有一 个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区,其中小锥体叫第一实验区, 圆台体叫第二实验区, 且两个实验区是互通的。 假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的, 且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。 (1)求蜜蜂落入第二实 验区的概率; (2)若其中有 10 只蜜蜂被染上了红色,求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率; (3)记 X 为落入第一实验区的蜜蜂数,求随机变量 X 的数学期望 EX 。 解: (1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件 A , “蜜蜂落入第二实验区”为事件 B .?1 分 依题意,

1 1 1 ? ? S圆锥底面 ? h圆锥 1 2 ?????3 分 P ? A? ? ?3 4 ? 1 V圆椎体 8 ?S h 3 圆锥底面 圆锥 7 7 ∴ P( B) ? 1 ? P ? A ? ? ∴ 蜜蜂落入第二实验区的概率为 。 ?????4 分 8 8 (2)记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件 C ,则 ??????5 分 V小椎体

7 ?1? 70 70 P(C ) ? C ? ? ? ? ? 10 ? 30 8 ?8? 8 2
1 10

9



恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率

70 . 2 30

???????8 分

(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的,且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影 响的,所以变量 X 满足二项分布,即 X ~ ? 40, ? ∴随机变量 X 的数学期望 EX =40×

? ?

1? 8?

?????????10 分

1 =5 8

?????????12 分

题 9. (2012 年茂名二模)在我市“城乡清洁工程”建设活动中,社会各界掀起净化美化环 境的热潮.某单位计划在小区内种植 A, B, C , D 四棵风景树,受本地地理环境的影响, A, B
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两棵树的成活的概率均为

1 ,另外两棵树 C , D 为进口树种,其成活概率都为 a(0 ? a ? 1) , 2

设 ? 表示最终成活的树的数量. (1)若出现 A, B 有且只有一颗成活的概率与 C , D 都成活的概率相等,求 a 的值; (2)求 ? 的分布列(用 a 表示) ; (3)若出现恰好两棵树成活的的概率最大,试求 a 的取值范围.

解: (1)由题意,得 2 ? ? (1 ? ) ? a 2 ,∴ a ? (2) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.

1 2

1 2

2 . 2
??3 分

???2 分

1 1 0 0 p(? ? 0) ? C2 (1 ? ) 2 C2 (1 ? a) 2 ? (1 ? a) 2 ?? ????4 分 2 4 1 0 1 1 1 1 0 1 p(? ? 1) ? C2 (1 ? )C2 (1 ? a) 2 ? C2 (1 ? ) 2 C2 a(1 ? a) ? (1 ? a) ????5 分 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 0 2 p(? ? 2) ? C2 ( ) 2 C2 (1 ? a) 2 ? C2 (1 ? )C2 a(1 ? a) ? C2 (1 ? ) 2 C2 a 2 ? (1 ? 2a ? 2a 2 ) 2 2 2 2 4
????6 分

1 2 a 2 1 1 1 1 p(? ? 3) ? C2 ( ) 2 C2 a(1 ? a) ? C2 (1 ? )C2 a 2 ? 2 2 2 2
????7 分

????????????

a2 2 1 2 p(? ? 4) ? C2 ( )2 C2 a 2 ? 2 4
得 ? 的分布列为:

????????????????8 分

??????????9 分 1 2 3 4

?
p

0

1 (1 ? a ) 2 4

1 (1 ? a ) 2

1 (1 ? 2a ? 2a 2 ) 4

a 2
?????10 分

a2 4

(3)由 0 ? a ? 1 ,显然 ∴ p(? ? 2) ? p(? ? 1) ?

1 1 a2 a (1 ? a ) 2 ? (1 ? a ) , ? 4 2 2 4

1 1 1 (1 ? 2a ? 2a 2 ) ? (1 ? a) ? ? (2a 2 ? 4a ? 1) ? 0 4 2 4 1 a 1 p(? ? 2) ? p(? ? 3) ? (1 ? 2a ? 2a 2 ) ? ? ? (2a 2 ? 1) ? 0 ??12 分 4 2 4

?11 分

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由上述不等式解得 a 的取值范围是

2? 2 2 .????????13 分 ?a? 2 2

题型 5.超几何分布 题 10. 某校组织一次冬令营活动,有 8 名同学参加,其中有 5 名男同学,3 名女同学,为了 活动的需要, 要从这 8 名同学中随机抽取 3 名同学去执行一项特殊任务, 记其中有 X 名男 同学. (1)求 X 的概率分布; (2)求去执行任务的同学中有男有女的概率. 解 (1)X 的可能取值为 0,1,2,3. 根据公式 P(X=m)= 即 X 的概率分布为 X P 0
1 56
C m C n ??m M N M Cn M

算出其相应的概率,

1
15 56

2
15 28

3
5 28

(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为 P(X=1)+P(X=2)=
15 15 45 + = . 56 28 56

题型 6. 离散型随机变量的均值和方差 题 11. (2011·北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有 一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数 Y 的分 布列和数学期望. 1 2 2 2 2 (注:方差 s = [(x1- x ) +(x2- x ) +?+(xn- x ) ],其中 x 为 x1,x2,?,xn 的平均

n

数) 解 (1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 8+8+9+10 35 所以平均数为: x = = ; 4 4

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1 35 2 35 2 35 2 35 2 11 2 方差为:s = ×[(8- ) +(8- ) +(9- ) +(10- ) ]= . 4 4 4 4 4 16 (2)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数 是 9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的结果,这两 名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21.事件“Y=17”等价于“甲组选出的同 学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”,所以该事件有 2 种可能的结果,因此 P(Y=17) 2 1 1 1 1 1 = = .同理可得 P(Y=18)= ;P(Y=19)= ;P(Y=20)= ;P(Y=21)= .所以随机变量 16 8 4 4 4 8

Y 的分布列为: Y P
17 1 8 18 1 4 19 1 4 20 1 4 21 1 8 1 8

EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17×
1 1 1 1 +18× +19× +20× +21× =19. 4 4 4 8

题 12. (2011·福建)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,?,8, 其中 X≥5 为标准 A,X≥3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元 /件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合 相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:

X1 P

5 0.4

6

7

8 0.1

a

b

且 X1 的数学期望 E(X1)=6,求 a,b 的值; (2)为分析乙厂产品的等级系数 X2, 从该厂生产的产品中随机抽取 30 件, 相应的等级系数组 成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 4 3 4 3 8 5 5 7 5 3 4 3 4 4 7 6 3 8 5 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性? 说明理由. 注:(1)产品的“性价比”= 产品的等级系数的数学期望 ; 产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性. [审题视点] (1)利用分布列的性质 P1+P2+P3+P4=1 及 E(X1)=6 求 a,b 值.
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(2)先求 X2 的分布列,再求 E(X2),(3)利用提示信息判断. 解 (1)因为 E(X1)=6,所以 5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即 6a+7b=3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4+a+b+0.1=1,即 a+b=0.5.
? ?6a+7b=3.2, 由? ?a+b=0.5, ?

解得?

? ?a=0.3, ?b=0.2. ?

(2)由已知得,样本的频率分布表如下:

X2 f

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布列如 下:

X2 P
所以

3 0.3

4