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2014年高考数学(理)二轮复习简易通 三轮考前体系通关 Word版训练3-d2


[大题押题练

B 组]

(建议用时:80 分钟) π 1.如图,在△ABC 中,B=3,BC=2,点 D 在边 AB 上,AD=DC,DE⊥AC,E 为垂足. 3 (1)若△BCD 的面积为 3 ,求 CD 的长; 6 (2)若 ED= 2 ,求角 A 的大小. 解 1 3 (1)由已知得 S△BCD=2BC· BD· sin B= 3

,又 BC

3 2 1 =2,sin B= 2 ,∴BD=3,cos B=2. 在△BCD 中,由余弦定理,得 2 1 28 2 7 ?2? CD2=BC2+BD2-2BC· BD· cos B=22+?3?2-2×2×3×2= 9 .∴CD= 3 . ? ? DE 6 (2)∵CD=AD=sin A=2sin A,在△BCD 中,由正弦定理,得 BC = sin ∠BDC

CD 2 6 2 π ,又∠ BDC = 2 A ,得 = ,解得 cos A = ,所以 A = sin B sin 2A 2sin Asin B 2 4. 2.为贯彻“激情工作,快乐生活”的理念,某单位在工作之余举行趣味知识有 奖竞赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性,初赛采用选手 选一题答一题的方式进行,每位选手最多有 5 次选题答题的机会,选手累计 答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 2 3 题者则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为3. (1)求选手甲答题次数不超过 4 次可进入决赛的概率; (2)设选手甲在初赛中答题的个数为 X,试写出 X 的分布列,并求 X 的数学期 望. 解 8 ?2? (1)选手甲答 3 道题进入决赛的概率为?3?3=27; ? ?

选手甲答 4 道题进入决赛的概率为

8 2?2?2 1 2 ?3? ··= . C3 ? ? 3 3 27 8 8 16 ∴选手甲答题次数不超过 4 次可进入决赛的概率 P=27+27=27. ?2? ?1? 1 (2)依题意,X 的可能取值为 3,4,5,则有 P(X=3)=?3?3+?3?3=3;P(X=4)= ? ? ? ?
2?2?2 1 2 1?1?2 2 1 10 ?3? ··+C3 ?3? ··= ; C3 ? ? 33 ? ? 3 3 27

?2?2 ?1?2 8 ? ?= ; P(X=5)=C2 4?3? · ? ? ?3? 27 因此,分布列是: X P 3 1 3 4 10 27 5 8 27

1 10 8 107 ∴E(X)=3×3+4×27+5×27= 27 . 3.已知数列{an}的通项公式为 an=3n-1,在等差数列{bn}中,bn>0(n∈N*),且 b1+b2+b3=15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)∵an=3n-1(n∈N*),∴a1=1,a2=3,a3=9,在等差数列{bn}中,∵

b1+b2+b3=15,∴b2=5,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列. 设等差数列{bn}的公差为 d. ∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得 d=-10 或 d=2, ∵bn>0(n∈N*),∴舍去 d=-10,取 d=2, ∴b1=3,∴bn=2n+1. (2)由(1)知,Tn=3×1+5×3+7×32+?+(2n-1)· 3n-2+(2n+1)· 3n-1,① 3Tn=3×3+5×32+7×33+?+(2n-1)· 3n-1+(2n+1)· 3n,② ①-②得:-2Tn=3×1+2×3+2×32+?+2×3n-1-(2n+1)· 3n=3+2(3+ 3 +3 +?+3 -2n· 3n . ∴Tn=n· 3n.
2 3 n-1

3-3n )-(2n+1)· 3 =3+2× -(2n+1)· 3n=3n-(2n+1)· 3n= 1-3
n

4.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60° , O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 PB 上任意一点. (1)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (2)若 PD∥平面 EAC,并且二面角 B-AE-C 的大 小为 45° ,求 PD∶AD 的值. (1)证明 因为 PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AC,又 ABCD 是菱形,∴BD⊥AC,

又 BD∩PD=D,故 AC⊥平面 PBD,又 AC?平面 EAC. 所以平面 EAC⊥平面 PBD. (2)解 连接 OE,因为 PD∥平面 EAC,所以 PD

∥OE,所以 OE⊥平面 ABCD,又 O 是 BD 的中 点, 故此时 E 为 PB 的中点, 以点 O 为坐标原点, 射线 OA,OB,OE 所在直线分别为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系 O-xyz. 设 OB=m, OE=h, 则 OA= 3m, A( 3m,0,0), → =(- 3m, → =(0, B(0, m,0), E(0,0, h),AB m,0), BE -m, h), 向量 n1=(0,1,0) 为平面 AEC 的一个法向量,设平面 ABE 的一个法向量 n2=(x,y,z) → =0,且 n · → 则 n2· AB 2 BE=0, 即- 3mx+my=0 且-my+hz=0. 3m ? 3m? ?, 取 x=1,则 y= 3,z= h ,则 n2=?1, 3, h ? ? |n1· n2| ∴cos 45° =|cos 〈n1,n2〉|=|n ||n |=
1 2

3 3m 1+3+ h2

2=

2 h 6 2 ,解得m= 2 ,故

PD∶AD=2h∶2m=h∶m= 6∶2. x2 y2 1 x y 5.设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率 e=2,右焦点到直线a+b=1 的距离 d 21 = 7 ,O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,证明,点

O 到直线 AB 的距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值. 解 1 c 1 (1)由 e=2得a=2,即 a=2c,∴b= 3c.

x y 21 x y 由右焦点到直线a+b=1 的距离为 d= 7 ,a+b=1 化为一般式:bx+ay- ab=0 得 |bc-ab| 21 2 2= 7 ,解得 a=2,b= 3. a +b

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),当直线 AB 斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y= x2 y2 kx+m.与椭圆 4 + 3 =1 联立消去 y,得(4k2+3)x2+8kmx+(4m2-12)=0.由根 4m2-12 8km 与系数的关系得 x1+x2=- ,x x = . 3+4k2 1 2 3+4k2 ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(k2+1)x1x2+ km(x1+x2)+m2=0, 4m2-12 8k2m2 ∴(k +1) - +m2=0. 3+4k2 3+4k2
2

整理得 7m2=12(k2+1),所以 O 到直线 AB 的距离 d= (为定值).

|m| = k2+1

12 2 21 7= 7

2 21 当直线 AB 斜率不存在时,可求出直线 AB 方程为 x=± 7 ,则点 O 到直线 2 21 AB 的距离为 7 (定值) ∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2≥2OA· OB,当且仅当 OA=OB 时取“=”, 由直角三角形面积公式得: d· AB=OA· OB. AB2 AB2 ∵OA· OB≤ 2 ,∴d· AB≤ 2 . 4 21 4 21 ∴AB≥2d= 7 ,故当 OA=OB 时,弦 AB 的长度取得最小值 7 . 6.已知函数 f(x)=ex-kx2,x∈R.

1 (1)若 k=2,求证:当 x∈(0,+∞)时,f(x)>1; (2)若 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,试求 k 的取值范围; ?2 ?? 2 ?? 2 ? ?2 ? (3)求证:?14+1??24+1??34+1???n4+1?<e4(n∈N*). ? ?? ?? ? ? ? (1)证明 1 f(x)=ex-2x2,则 h(x)=f′(x)=ex-x,

∴h′(x)=ex-1>0(x>0), ∴h(x)=f′(x)在(0, +∞)上单调递增, ∴f′(x)>f′(0) 1 =1>0.∴f(x)=ex-2x2 在(0,+∞)上单调递增,故 f(x)>f(0)=1. (2)解 f′(x)=ex-2kx,求使 f′(x)>0(x>0)恒成立的 k 的取值范围.

若 k≤0,显然 f′(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,当 k>0 时,记 φ(x) 1 =ex-2kx, 则 φ′(x)=ex-2k, 当 0<k<2时, ∵ex>e0=1, 而 2k<1, ∴φ′(x)>0, 则 φ(x)在(0,+∞)上单调递增,于是 f′(x)=φ(x)>φ(0)=1>0,∴f(x)在(0,+ 1 ∞)单调递增;当 k≥2时,φ(x)=ex-2kx 在(0,ln 2k)上单调递减,在(ln 2k, +∞)上单调递增,于是 f′(x)=φ(x)=φ(ln 2k)=eln 2k-2kln 2k,由 eln 2k-2kln 1 e 2k≥0 得 2k-2kln 2k≥0,则2≤k≤2. e? ? 综上,k 的取值范围是?-∞,2?. ? ? (3)证明 1 由(1)知,对于 x∈(0,+∞),有 f(x)=ex-2x2>1,∴e2x>2x2+1,则

ln (2x2+1)<2x, ?2 ? 2 从而有 ln ?n4+1?<n2(n∈N*), ? ? 2 2 ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? 2 2 于是 ln ?14+1?+ln ?24+1?+ln ?34+1?+?+ln ?n4+1?< 2+ 2+?+ 2< 2 n 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 + 1 1 1? 2 2 2 2 ? + +?+ =2+?1-2+n-1-n?=4-n<4,故 1×2 2×3 ?n-1?×n ? ?

?2 ? ?2 ? ?2 ? ?14+1?· ?24+1?· ?n4+1?<e4(n∈N*). ?· ? ?? ? ? ?


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