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辽宁省实验中学2013届高三上学期第二次考试文科数学试卷


辽宁省实验中学 2013 届高三上学期第二次考试文科 数学试卷
考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22—24 题为 选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题纸上,在本试卷上答题 无效。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) a?i ?R 1.已知 a∈R,i 为虚数单位,若 z ? ,则 a 等于 3 ?i ( ) A. ? 3 B. 3 C. ? 1 D. ?
3 3

? ? 1 ?1? x ? ? ? 2. 设集合 M ? ? x | ? ? ? 1? ,N ? x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0 , N ∩ R M ) 则 (? = ( ? ?2? ? ? ?

?

?



A. (1, +∞) B. -∞, ( -1) C.[-1,1] D. (1,3) 3.设 p:x<-1 或 x>1,q:x<-2 或 x>1,则┐p 是┐q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分 也不必要条件 4.已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2 ,则前三项的和 S 3 的取值范围是( ) A . ?? ?,?2? ? ?6,??? D. ?? ?,?2?
1 2 2 3

B . ?6,???

C . ?? ?,0? ? ?6,??? )

5.右图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是( A. B. C.
3 4

D.

4 5

开始

6. 已知平面向量 a , 的夹角为 60°, ? ( 3,1) , b a

i=1,m=0,n=0

| b |? 1 ,则 | a ? 2b | =(
A.2 B. 7

) C. 2 7 D. 2 3
i<4 是



7. 在 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 中 , 对 任 意

输出 n i=i+1,m=m+1

m, n ? N * 都有 am?n ? am ? an 成立,若 a6 ? 64 ,则 a9 ? (

n ? n? 1 m?i
结束

第 1 页 共 14 页

A.

256

B.510

C.512

D. 1024

8. 在△ABC 中,已知 AB=4,cosB=
3 6 8 10 8

7 34 ,AC 边上的中线 BD= ,则 sinA=( 8 2



A.

B.

C.

6 6

D.

10 6

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c ,当 x∈(0,1)时取得极大值, 3 2 b?2 当 x∈(1,2)时取得极小值,则 的取值范围是( ) a ?1 1 1 1 1 1 1 A. (? , ) B. (? , ) C. ( ,1) D. ( ,1) 2 2 2 4 2 4 10.在△ABC 中,P 是 BC 边中点,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若

9、在 R 上的可导函数 f ( x) ?

) c AC ? a PA ? bPB ? 0 ,则△ABC 的形状是( A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 是等边三角形

D.等腰三角形但不

11. f (x) 是定义在 R 上的增函数, 设 且对于任意的 x 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 0 恒

? f (m 2 ? 6m ? 23) ? f (n 2 ? 8n) ? 0 成立。 如果实数 m、 满足不等式组 ? n , 那么 m 2 ? n 2 ?m ? 3
的取值范围是( A. (3,7) ) B. (9,25) C. (13,49) D. (9,49)

12、函数 f (x) 的定义域为 D,若存在闭区间[a,b]?D,使得函数 f (x) 满足:①
f (x) 在[a,b]内是单调函数;② f (x) 在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间

[a,b]为 y= f (x) 的“倍值区间” 。下列函数中存在“倍值区间”的有( ① f ( x) ? x 2 ( x ? 0) ; ③ f ( x) ?
2



② f ( x) ? e x ( x ? R) ;

4x 1 ( x ? 0) ; ④ f ( x) ? log a (a x ? )( a ? 0, a ? 1) 8 x ?1 A.①②③④ B.①③④ C.①②④

D.①③

第 2 页 共 14 页

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡 中的横线上) 。

?? x 2 ? 4 x ? 10, ( x ? 2) 13.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f (6 ? a 2 ) ? f (5a) ,则实数 a 的 ?log3 ( x ? 1) ? 6, ( x ? 2)
取值范围是 14. 已知 S n ,Tn 分别是等差数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和, 且

S n 2n ? 1 ? , (n ? N * ) , Tn 4n ? 2



a10 a11 ? ? b3 ? b18 b6 ? b15

1 ? cos 2? 1 ? 1 , tan( ? ? ? ) ? ,则 tan(2? ? ? ) ? sin ? ? cos ? 3 16.已知 x,y,z∈R,有下列不等式: x? y ? xy ; ① x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 ? 2( x ? y ? z) ; ② 2

15.已知

③ | x ? y |?| x ? 2 | ? | y ? 2 | ; 其中一定成立的不等式的序号是

④ x 2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17. (本小题满分 12 分) x x x 已知向量 a ? (1, cos ) 与 b ? ( 3 sin ? cos , y ) 共线,且有函数 y ? f (x) 。 2 2 2 2? ? 2 x) 的值; (I)若 f ( x) ? 1 求 cos( 2 (II) 在△ABC 中, A, C 的对边分别是 a, c, 角 B, b, 且满足 2a cos C ? c ? 2b , 求函数 f (B ) 的取值范围

18.(本小题满分 12 分)
第 3 页 共 14 页

某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系, 他们分别到气象 局与医院抄录 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与患感冒而就诊的人数,得 到如下图资料: 1 月 10 2 月 10 3 月 10 4 月 10 5 月 10 6 月 10 日 期 日 日 日 日 日 日 昼 夜 温 差 10 11 13 12 8 6 x(°C) 就 诊 人 数 22 25 29 26 16 12 y(个) 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求 线性回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (Ⅰ)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率 (Ⅱ)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x

? 的线性回归方程 y ? bx ? a
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理 想? 参 考 公 式 : 线 性 回 归 方 程 的 系 数 公 式 为

b?

? x y ? nx y ? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 n i i

n

n

?x
i ?1

?

i ?1

i

i

2

i

? nx

2

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? bx

2

19. (本小题满分 12 分)
第 4 页 共 14 页

已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3 , an?1 ? 4an ? 3an?1 (n ? N *且n ? 2) (1)证明数列 ?an?1 ? an ?是等比数列,并求出数列 ?an ? 的通项公式; ( 2 ) 设 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 对 一 切 n ? N * , 都 有

b b1 b ? 2 ? ? ? n ? 2n ? 1 成立,求 S n 。 a1 2a2 nan

20. (本小题满分 12 分) 1 1 设函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx (a, b, c ? R, a ? 0) 的图像在点 ( x, f ( x)) 处的切 3 2 1 线的斜率为 k (x) ,且函数 g ( x) ? k ( x) ? x 为偶函数。若函数 k (x) 满足下列条件: 2

第 5 页 共 14 页

k (?1) ? 0 ;②对一切实数 x,不等式 k ( x) ?

1 2 1 x ? 恒成立。 2 2

(1)求函数 k (x) 的表达式; (2)求证:
1 1 1 2n ? ??? ? (n ? N * ) 。 k (1) k (2) k ( n) n ? 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? a) 2 , a 是大于零的常数。 (Ⅰ)当 a=1 时,求 f (x) 的极值; (Ⅱ)若函数 f (x) 在区间[1,2]上单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:曲线 y ? f (x) 上存在一点 P,使得 y ? f (x) 上总有两点 M,N,且

第 6 页 共 14 页

MP ? NP 成立。

请考生从第(22) (23) (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 、 、 第一题记分。做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 略 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等 ? 的单位长度。已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 ? ? 。 6 (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 ? ? 2 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。 24.略

第 7 页 共 14 页

辽宁省实验中学 2013 届高三上学期第二次考试 数学(文科)试卷参考答案 一、选择题:BCAAC DCBDA CB 二、填空题 41 13、 ?- 6,1? 14、 15、1 16、①③④ . 78 三、解答题 17、(本小题满分 12 分) ? ? x x x y ? cos ( 3 sin ? cos ) 解: (Ⅰ)∵ a 与 b 共线 ∴ 2 2 2 3 1 ? 1 ??????????3 ? sin x ? (1 ? cos x) ? sin(x ? ) ? 2 2 6 2 分 ? 1 ? 1 ∴ f ( x) ? sin( x ? ) ? ? 1 ,即 sin( x ? ) ? 6 2 6 2 2? ? ? ? 1 cos( ? 2 x) ? cos 2( ? x) ? 2 cos 2 ( ? x) ? 1 ? 2 sin 2 ( x ? ) ? 1 ? ? ??6 3 3 3 6 2 分 (Ⅱ)已知 2a cos C ? c ? 2b 由正弦定理得: 2 sin A cosC ? sin C ? 2 sin B ? 2 sin( A ? C )

2 sin A cosC ? sin C ? 2 sin A cosC ? 2 cos A sin C 1 cos A ? ∴ , ∴ 在 2
第 8 页 共 14 页

?A

B 中C



A?

?
3

.

???????????8 分

f ( B ) ? sin( B ?

?
6

)?

∵∠ A ?

?
3

1 2

∴0 ? B ?

2? ? ? 5? , ? B? ? 3 6 6 6

?????????????

10 分 1 ? 3 ∴ ? sin( B ? ) ? 1 , 1 ? f ( B) ? 2 6 2 ∴ 函 数
f (B )













3 (1, ] . ????????????12 分 2 18、(本小题满分 12 分) 解: (1)设抽到相邻两个月的数据为事件 A,? 从 6 组数据中选取 2 组数据共有 15 种情况,每种情况是等可能出现的,其中抽到相邻两个月的数据的情况有 5

种,

? P( A) ?

5 1 ? ?????4 分 15 3 18 ? ,由 a ? 7 ? y ? bx ,求得 a ? ? 30 7

? (2)由数据求得 x ? 11, y ? 24 ,由公式求得 b ?

?y
? ? 18 x ? 30 y 7 7





x



线













??????????9 分
150 150 4 , ? 22 ? ? 2 , 7 7 7

(3)当 x ? 10 时, y ? 当 x ? 6 时, ? y

78 78 6 所以该小组所得线性回归方程是理想的。 ??? , ? 12 ? ? 2 , 7 7 7

12 分 19、(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 an?1 ? 4an ? 3an?1 可得 an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ) 所以数列 {an?1 ? an } 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列 ????????3 分 故有 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
? 2(1 ? 3n ?1 ) ? 1 ? 3n ?1 1? 3

????????6

分 (Ⅱ) 由

b b1 b2 ? ? ? ? n ? 2n ? 1 可知 a1 2a2 nan b1 ? 3 , b1 ? 3 , S1 ? 3 a1
第 9 页 共 14 页

当 n ? 1 时,

当 n ? 2 时,

bn ? 2n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2 , bn ? 2n ? 3n?1 ????????8 分 nan

S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 32 ? ?2 ? n ? 3n?1
? 2(1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ?n ? 3n?1 ) ? 1
设 x ? 1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ? ? n ? 3n?1
3 x ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 ? n ? 3n

2x ? n ? 3n ? (3n?1 ? 3n?2 ? ?30 )
? n ? 3n ? 3n ? 1 2

1 3 S n ? (n ? ) ? 3 n ? 2 2 综 1 3 S n ? (n ? ) ? 3 n ? , n ? N ? 2 2 分 20、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得: k ( x) ? f ?( x) ? ax2 ? bx ? c .

上 ???????12

1 1 由 g ( x) ? k ( x) ? x 为偶函数,得 g ( x) ? ax 2 ? bx ? c ? x 为偶函数, 2 2

显然有
b? 1 . 2

???????2 分
1 . 2

又 k (?1) ? 0 ,所以 a ? b ? c ? 0 ,即 a ? c ? 又因为 k ( x) ?

1 2 1 x ? 对一切实数 x 恒成立, 2 2

1 1 1 即对一切实数 x ,不等式 (a ? ) x 2 ? x ? c ? ? 0 恒成立. 2 2 2

显然,当 a ? 当a ?

1 时,不符合题意. 2

1 时,应满足 2

第 10 页 共 14 页

1 ? a ? ? 0, ? ? 2 ? ?? ? 1 ? 4( a ? 1 )(c ? 1 ) ? 0. ? ? 4 2 2

注意到 a ? c ? 所以
k ( x) ? 1 2 1 1 x ? x? . 4 2 4

1 1 ,解得 a ? c ? . 2 4

????????6 分
n 2 ? 2n ? 1 (n ? 1) 2 1 4 ? ? ,所以 . 4 4 k (n) (n ? 1) 2

(Ⅱ)证明:因为 k (n) ? 要证不等式 即证 因为 所以

1 1 1 2n ? ??? ? 成立, k (1) k (2) k ( n) n ? 2

1 1 1 n ? 2 ??? ? . 2 2 2 3 (n ? 1) 2n ? 4 1 1 1 1 ? ? ? , 2 (n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? ? ? ? ? ? ?? ? 2 2 2 3 (n ? 1) 2 3 3 4 n ?1 n ? 2
? 1 1 n ? ? . 2 n ? 2 2n ? 4

所 立.



1 ? k(

?

1

1 n ? k ?

)

? 成

1 k (

????????12 分
2

21、(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ? x ? ? x ? x ? a ? ? x 3 ? 2ax 2 ? a 2 x

f ? ? x ? ? 3x2 ? 4ax ? a2 ,当 a ? 1 , f ? ? x ? ? 3x2 ? 4x ?1 ? ?3x ?1?? x ?1?
1 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 1 , 3
1 1 f ( x) 在区间 (?? , ) 单调递增, ( ,1) 单调递减, (1, ? ?) 单调递增, 3 3 1 1 4 于是当 x ? 时, 有极大值 f ( ) ? ; x ? 1 时有极小值 f (1) ? 0 . 当 ------------3 3 3 27



第 11 页 共 14 页

(Ⅱ) f ? ? x ? ? 3x2 ? 4ax ? a2 ,若函数 f ( x) 在区间 ?1, 2? 上为单调递增, 则 f ? ? x ? ? 3x2 ? 4ax ? a2 ? 0 在 x ??1, 2? 上恒成立, 当0 ?
2a 3 ? 1 ,即 a ? 时,由 f ? ?1? ? 3 ? 4a ? a2 ? 0 得 0 ? a ? 1 ; 3 2

2a 3 2a a2 ? ? ? ? ? ? 0 ,无解; ? 2 ,即 ? a ? 3 时, f ? ? 当1 ? 3 2 3 ? 3 ?



2a ? 2 ,即 a ? 3 时,由 f ? ? 2? ? 12 ? 8a ? a2 ? 0 得 a ? 6 . 3

综 上 , 当 函 数 f ( x) 在 区 间 ?1 , ? 上 为 单 调 递 增 时 , 0 ? a ? 1 或 2
a ? 6.

------7 分
2

(Ⅲ) f ? x ? ? x ? x ? a ? ? x 3 ? 2ax 2 ? a 2 x , f ? ? x ? ? 3x2 ? 4ax ? a2 , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ?
a , x2 ? a , 3

a a f ? x ? 在区间 (??, ) , ( , a ) , (a, ??) 上分别单调递增,单调递减,单调递 3 3
增, 于是当 x ?
a a 4a 3 时,有极大值 f ( ) ? ; 3 3 27

当 x ? a 时,有极小值 f ? a ? ? 0 .
a 4 3 2a 2 a ) , B(a, 0) , AB 的中点 P ( , a 3 ) , 记 A( , 3 27 3 27 ???? ??? ? 4 4 3 a ? y) , 设 M ( x , y ) 是图象任意一点,由 MP ? PN ,得 N ( a ? x , 3 27 4 4 4 4 因为 f ( a ? x) ? ( a ? x)3 ? 2a( a ? x) 2 ? a 2 ( a ? x) 3 3 3 3 4 3 4 3 ? a ? x3 ? 2ax 2 ? a 2 x ? a ?y, 27 27 ???? ??? ? 由此可知点 N 在曲线 y ? f ( x) 上,即满足 MP ? PN 的点 N 在曲线 C 上.

所以曲线 y ? f ( x) 上存在一点 P (
M, N

2a 2 3 , a ) ,使得曲线 y ? f ( x) 上总有两点 3 27





MP ? PN



立 . -----------------------12 分 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.
第 12 页 共 14 页

22、 (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 证明: (Ⅰ)连结 AD 因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°,又 EF⊥AB,∠EFA=90° 则 A、D、E、F 四点共圆(4 分)∴∠DEA=∠DFA (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BD?BE=BA?BF 又△ABC∽△AEF∴ 即:AB?AF=AE?AC
AB AC ? AE AF
E D

………… 5 分

(8 分)
F A O B

∴ BE?BD-AE?AC =BA?BF-AB?AF=AB(BF-AF)=AB2 …… 10 分 23、 (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

C

? 3 t, ?x ? 1 ? ? 2 (t是参数) ? ? y ? 1 ? 1 t; ? 2 解: (I)直线的参数方程是 ? .……………………… 3 分
(II)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 , t2 ,则点 A,B 的坐
A(1 ? 3 1 3 1 t1 ,1 ? t1 ), B(1 ? t 2 ,1 ? t 2 ) 2 2 2 2 .

标分别为 5分

……………………………

2 2 圆 ? ? 2 化为直角坐标系的方程 x ? y ? 4 . 2 2 直线 l 的参数方程代入圆的方程 x ? y ? 4

…………………………… 7 分 整理得到

t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0



因为 t1 和 t 2 是方程①的解, 从而 t1 ? t2 ? ?2 ……………………………10

所以|PA|· |PB|= t1 ? t2 =|-2|=2. 分 24、 (本小题满分 12 分)选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)证法 1:?
? ? a ? 0, b ? 0,? a 2 b2 a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ? ? ( a ? b) ? b a ab

a3 ? a 2b ? (ab 2 ? b3 ) a 2 (a ? b) ? b 2 (a ? b) (a ? b)2 (a ? b) ? ? ab ab ab

( a ? b) 2 ( a ? b ) a 2 b2 ,当且仅当 a ? b 时等号成立. ? ? ? a ? b ab b a
第 13 页 共 14 页

a 2 b2 a 3 b3 2 2 ? ? 证法 2: a ? 0, b ? 0 , (a ? b)( ? ) ? a ? b ? ? ? a 2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b) 2 b a b a ? a 2 b2 ? ? a?b, 当且仅当 a ? b 时等号成立. b a

……………………………

5分 (Ⅱ)? 0 ? x ? 1,?1 ? x ? 0 ,由(Ⅰ)的结论 函数 y ? 成立,
1 (1 ? x) 2 x2 ? ? (1 ? x) ? x ? 1 ,当且仅当 1 ? x ? x 即 x ? 时等号 2 x 1? x

?





y?

(1 ? x)2 x2 ? (0 ? x ? 1) x 1? x











1. …………………………… 10 分

第 14 页 共 14 页


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