当前位置:首页 >> 高中教育 >>

对数的运算


金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

对数的运算

1

金太阳新课标资源网 复习上节内容

wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

定义: 一般地,如果 的b次幂等于N, 就是

a(a > 0,

a ≠ 1)
,那么数 b叫做

a =N
b

以a为底 N的对数,记作 log a N = b a叫做对数的底数,N叫做真数。

log a N=b ↓↓ ↓↓ ↓ ↓ 底数
b =N a
指数 幂

底数 真数 对数
2

金太阳新课标资源网 复习上节内容

wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

例如:

4 2 = 16
10 2 = 100

? ? ? ?

log 4 16 = 2
log10 100 = 2
1 log 4 2 = 2

4 =2
10 ?2 = 0.01

1 2

log10 0.01 = ?2

a b =N log a N=b ↓↓ ↓ ↓↓ ↓ 底数 指数 对数
幂 底数 真数

3

金太阳新课标资源网 复习上节内容

wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

有关性质: ⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵ log a 1 = 0, log a a = 1 ⑶对数恒等式

a

log a N

=N

4

金太阳新课标资源网 复习上节内容

wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

⑷常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。 ⑸自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。 为了简便,N的自然对数 log e N 简记作lnN。 (6)底数a的取值范围: (0,1) ∪ (1,+∞ ) 真数N的取值范围 : (0,+∞ )
5

金太阳新课标资源网 新授内容: 新授内容:

wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ≠ 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) = log a M + log a N (1) M log a = log a M ? log a N ( 2) N log a M n = nlog a M(n ∈ R) (3)
为了证明以上公式,请同学们 回顾一下指数运算法则 : a m ? a n = a m + n ( m, n ∈ R )

(a m ) n = a mn (m, n ∈ R ) (ab) n = a n ? b n (n ∈ R )
6

证明:①设 log a M = p,

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

log a N = q,

由对数的定义可以得:M
p q

a ? a = a p + q ? log a MN = p + q ∴MN=
即证得

= a , N = aq
p

log a (MN) = log a M + log a N (1)

a b =N log a N=b ↓↓ ↓ ↓↓ ↓ 底数 指数 对数
幂 底数 真数

7

证明:②设 log a M = p,
p

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

log a N = q,

由对数的定义可以得:M

= a , N = aq
p

M ∴ = N
即证得

a p ?q M =a ? log a = p?q q N a
M log a = log a M ? log a N (2) N

a b =N log a N=b ↓↓ ↓ ↓↓ ↓ 底数 指数 对数
幂 底数 真数

8

证明:③设 log a M = p,

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

由对数的定义可以得:M ∴

=a ,
p
n

M =a
n

np

? log a M = np

即证得

log a M = nlog a M(n ∈ R) (3)
n

a b =N log a N=b ↓↓ ↓ ↓↓ ↓ 底数 指数 对数
幂 底数 真数

9

老师都说好! 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数 式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形; 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。

log a (MN) = log a M + log a N (1) M log a = log a M ? log a N ( 2) N n log a M = nlog a M(n ∈ R) ( 3)
①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”…… ②有时逆向运用公式 ③真数的取值范围必须是 (0,+∞ ) ④对公式容易错误记忆,要特别注意:
log a ( MN ) ≠ log a M ? log a N , log a ( M ± N ) ≠ log a M ± log a N
10

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

其他重要公式1:

log a m
证明:设

n N = log a N m
n

log a m N n = p,

由对数的定义可以得: ∴

N = (a ) ,
n m p
m p n

N =a
n

mp

?N =a
n

即证得

m ? log a N = p n

log a m

n N = log a N m
11

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

其他重要公式2:

log c N log a N = log c a
证明:设

(a, c ∈ (0,1) ∪ (1,+∞), N > 0)

log a N = p

由对数的定义可以得:
p

N =a ,
p

? log c N = log c a , ? log c N = p log c a,
log c N ? p= 即证得 log c a

这个公式叫做换底公式

log c N log a N = log c a
12

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

其他重要公式3:

1 log a b = log b a

a, b ∈ (0,1) ∪ (1,+∞)

log c N 证明:由换底公式 log a N = log c a log b b 取以b为底的对数得: log a b = log b a 1 ∵ log b b = 1, ? log a b = log a b
还可以变形,得

log a b ? log b a = 1
13

金太阳新课标资源网 讲解范例

wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

例1 计算 (1) log 2 (25 × 4 7 ) 解 : log (25 × 4 7 ) = log 25 + log 2 4 7 2 2

= log 2 25 + log 2 214
=5+14=19 (2) log 9 27

log 9 27 = log 32 33 解 : 3 = log 3 3 2 3 = 2

14

金太阳新课标资源网 讲解范例

wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

(3) log 2 3 ? log 3 7 ? log 7 8 解 :

log 2 3 ? log 3 7 ? log 7 8

lg 3 lg 7 lg 8 = ? ? lg 2 lg 3 lg 7

lg 23 = lg 2 3 lg 2 = lg 2
=3
15

金太阳新课标资源网 讲解范例

wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

例2 用

log a x, log a y, log a z 表示下列各式:
x2 y
3

xy (1)log a ; (2) log a z xy 解(1) log a = log a ( xy ) ? log a z z = log a x + log a y ? log a z

z

解(2) log a

x2 y
3

z

= log a ( x 2 y ) ? log a z
1 2

1 2

1 3 1 3

= log a x 2 + log a y ? log a z

1 1 = 2 log a x + log a y ? log a z 2 3
16

7 例3计算: (1)lg 14 ? 2 lg + lg 7 ? lg 18 3
解法一: 解法二:

金太阳新课标资源网 讲解范例

wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

7 7 lg 14 ? 2 lg + lg 7 ? lg 18 lg 14 ? 2 lg + lg 7 ? lg 18 3 3 7 7 2 = lg 14 ? lg( ) + lg 7 ? lg 18 = lg(2 × 7) ? 2 lg 3 3 + lg 7 ? lg(2 × 32 ) 14 × 7 = lg 7 2 = lg 2 + lg 7 ? 2(lg 7 ? lg 3) ( ) × 18 3 + lg 7 ? (lg 2 + 2 lg 3) = lg 1 = 0 =0
17

金太阳新课标资源网 讲解范例

wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

lg 243 例3计算: (2) lg 9

lg 27 + lg 8 ? 3 lg 10 (3) lg 1.2

lg 243 lg 35 = 5 lg 3 = 5 解: (2) = 2 lg 3 2 lg 9 lg 32

lg 27 + lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 ) + lg 23 ? 3 lg(10) (3) = 3 × 22 lg 1.2 lg 10

1 3 2

1 2

3 (lg 3 + 2 lg 2 ? 1) =2 lg 3 + 2 lg 2 ? 1

3 = 2
18

练习

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

1.求下列各式的值: (1) log 2 6 ? log 2 3 (2) lg 5 + lg 2

6 = log 2 2 = 1 = log 2 3 = lg(5 × 2) = lg 10 = 1

1 (3) log 5 3 + log 5 3

1 = log 5 (3 × ) = log 5 1 = 0 3 5 = log 3 = log 3 3?1 = ?1 (4) log 3 5 ? log 3 15 15

19

练习

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

2. 用lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) (2)

lg(xyz )

=lgx+lgy+lgz; =lgx+2lgy-lgz;
1 lgz; =lgx+3lgy- 2

(3)

xy lg z 3 xy lg z

2

x (4) lg 2 y z

1 = lg x ? 2 lg y ? lg z 2
20

小结 : 积、商、幂的对数运算法则:

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

如果 a > 0,a ≠ 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) = log a M + log a N (1) M log a = log a M ? log a N ( 2) N log a M n = nlog a M(n ∈ R) (3)
其他重要公式:

log a m

log c N log a N = log c a
log a b ? log b a = 1

n N = log a N m
n

(a, c ∈ (0,1) ∪ (1,+∞), N > 0) a, b ∈ (0,1) ∪ (1,+∞)
21

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好!

课后作业: 课后作业

22


相关文章:
对数运算和对数函数
对数运算对数函数_数学_高中教育_教育专区。你的潜力,我们帮你发掘 你的潜力,我们帮你发掘 对数运算对数函数一、教学重难点 1、对数运算法则 2、对数函数的性...
对数与对数的运算练习题
对数与对数的运算练习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。对数与对数运算练习题一.选择题 1 - 1.2 3= 化为对数式为( 8 A.log12=-3 8 ) B.log1(-...
对数函数和对数运算
对数函数和对数运算开心一刻四十出头的莉莲心脏病突发,被送往医院急救。病情十分糟糕,莉莲感觉自 己几乎都已经死了。 抢救中,莉莲突然听见了上帝的声音:“不,你...
对数运算教案
对数运算教案_数学_高中教育_教育专区。对数对数运算(1)高一年级组 周晓光 1、教材的地位和作用 对数作为高一新教材的内容,被安排在第一册第二章函数中,共分...
高中数学对数与对数运算教案
高中数学对数对数运算教案_数学_高中教育_教育专区。自己制作的,希望大家多多提意见《对数对数运算》 教案 XX 大学数学与统计学院 XXX 一、教学目标 1、知识目...
对数运算技巧_
对数运算技巧__数学_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 对数运算技巧__数学_自然科学_专业资料。对数运算技巧,比较少见。...
对数运算习题精编
对数运算习题精编_高一数学_数学_高中教育_教育专区。对数及对数的运算习题精编一、利用对数的概念及定义(底数大于 0 且不等于 1,真数大于 0)解决问题 1、在 b...
对数与对数的运算习题(经典)
3 2.1 对数与对数的运算练习二 一、选择题 1、在 b ? log a ? 2 (5 ? a) 中,实数 a 的范围是( A、 a ? 5 或 a ? 2 C、 2 ? a ? 3 ...
对数的运算
对数的运算_数学_高中教育_教育专区。对数的运算 一、选择题 1.log242+log243+log244 等于( A.1 C.24 2lg(lga100) 2.化简: 的结果是( 2+lg(lga) 1...
对数运算基础练习题
对数运算基础练习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。适合对数运算最初接触者,内容简单,易上手!1、将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)5 =625 ...
更多相关标签:
对数的运算法则 | 换底公式 | 对数 | 对数运算法则 | 对数的运算练习题 | 对数的运算性质 | 对数函数 | 对数运算 |