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高一必修1(b版)第一章集合学案


2014-2015 必修 1 第一章学案

第一章集合§1.1 集合与集合的表示方法 §1.1.1 集合的概念 一 学习重点: 1、集合的含义,集合元素的性质 2、常用数集及其记法 3、 “属于”关系的意义 4、集合的分类 二 学习难点:集合元素的性质 三 学习过程: 1 复习回顾: (1)数集如何分类的? (2)圆是怎样定义的? 2 学习要点: (1)集合:某些 中的每个 (2)符号表示:集合通常用 (3)元素与集合的关系:

的对象集在一起就形成一个集合,简称 叫做这个集合的元素。 表示,元素用 表示。 集合 A ,记作:

。集合

如果 a 是集合 A 的元素,就说 a

如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 集合 A ,记作: (4)元素的性质: ; ; (5)常用数集符号: 非负整数集(或自然数集) ;正整数集: ;整数集: ; 有理数集: ;实数集: 。 (6)集合的分类: 3 典型例题: 例 1:下面的各组对象能组成集合的是: (1)正三角形的全体 (2)血压很高的人 (3)鲜艳的颜色 (4)某校 2008 级高一新生 (5)所有数学难题 (6)所有不大于 3,不小于 0 的整数 (7)充分接近 100 的全体实数 例 2:用“=” 、 “?” 、 “?” 、 “? ” 、 “ ? ”填空 (1)3.14 (5) ? Q; (2) 3 3.14; (6)0 Z; (3)0 N; (7)0

N* ; (4) 3

R;

?;

1

2014-2015 必修 1 第一章学案

巩固练习: 1、下列各组对象不能形成一个集合的是( ) A、大于 2 的所有整数 B、所有无理数 C、正实数 D、 《数学第一册》中的所有难题 2、已知集合 M 是由 1,2,3 构成的,则下列表示方法正确的是( ) A、 2 ? M B、 1? M C、 1 ? M D、 1 ? M 或 1? M 3、给出下列关系: (1) 的个数是(
2

1 ?R; (2) 2 ? Q ; (3) ?3 ? N ; (4) ? 3 ? Q 其中正确 2
B、2 C、3 D、4 。

)A、1

4、数集 {1, x , ? x} 中的 x 不能取哪些数 5、已知 m ? N 且 (8 ? m) ? N ,则 m 的可能值为

6、判断对错: (1) m ? N , n ? N 且 m ? n ,则 m ? n 的最小值是 2 ( (2) a ? Z , b ? Z 则 a ? b ? Z ( ) (3) “个子较高的人”不能构成集合 ( ) (4)若 a ? N ,则 a ? 1
2







7、设 A 表示集合 {2,3, a ? 2a ? 3} ,B 表示集合 {a ? 3, 2} ,若已知 5 ? A ,且 5 ? B ,求
2

实数 a 的值。

2

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§1.1.2 集合的表示方法 一 学习重点:集合的两种表示方法 二 学习难点:选择适当的方法表示一个集合. 三 学习过程: 1 复习回顾: (1)元素与集合的关系: 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 集合 A ,记作: 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 集合 A ,记作: (2)元素的性质: ; ; (3)常用数集符号: 非负整数集(或自然数集) ;正整数集: ; 整数集: ;有理数集: ;实数集: 。 (4)集合的分类: 2 学习要点:集合的表示: (1) 叫做列举法;例如: (2) 叫做集合 A 的一个特 征性质,集合 A 可表示为 叫做特征性质描述法,简称描 述法.例如: 3 典型例题: 例 1 用列举法表示下列集合: (1)

A ? {x ? N | 0 ? x ? 5}

(2)

B ? {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0}

例 2 用描述法表示下列集合: (1) {?1,1} (2)大于 3 的全体偶数(3)在平面 ? 内,线段 AB 的垂直平分线

例 3 用适当的方法表示以下集合: ⑴平方后与原数相等的数的集合; ⑵设 a , b 为非零实数,

a a

?

b b

可能表示的数的取值集合; ⑷坐标轴上的点组成的集合;

⑶不等式 2 x ? 6 的解集;

⑸第二象限内的点组成的集合; ⑹方程组 ?

?x ? y ? 5 的解集。 ?x ? y ? 1
3

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巩固练习: 1.下列集合中,不同于另外三个集合的是( A. x x ? 1

?

?
? ?

2 B. y ( y ? 1) ? 0

?

?

) D. ? 1?

C. ?x ? 1?

2.集合 M= ? y ? Z y ? A.2 B.4

? 8 , x ? Z ? 的元素个数是( x?3 ?

)

? (填”是”,”否”)表示同一集合. 4.用列举法表示 A= ?y y ? x ? 1, x ? 2, x ? Z ?= . , 则集合 ?x x ? 4 x ? a ? 0?中所有元素之和为 5.设 ? 5 ? ?x x ? ax ? 5 ? 0? . , B= ?x ( x ? 1) ? p ( x ? 1) ? q ? x ? 3?,当 A= ?2?时, 6.已知 A= ?x x ? px ? q ? x?
2 3.集合 A= m m ? 1 ? 5 ,B= y y ? x ? 2 x ? 5 ,则 A,B 2

?

? ?

C.6

D.8

2

2

2

2

求集合 B

4

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§1.2.1 集合之间的关系 一 学习重点: 1、子集、真子集、集合相等的含义 2、用维恩图解释集合关系 二 学习难点:子集、真子集、集合相等的含义 三 学习过程: 1 复习回顾:集合的表示: (1) 叫做列举法;例如: (2) 叫做集合 A 的一个特 征性质,集合 A 可表示为 叫做特征性质描述法,简称描 述法.例如: 2 学习要点: (1)子集:对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 的 元素都是集合 B 的元素, 我们就说集合 A 是集合 B 的 ,记作 或 读作 或 。 性质: ; ; 。 (2)真子集:对于两个集合 A 与 B ,如果 A 是 B 的 ,并且 B 中 ,我们就说集合 A 是集合 B 的真子集。 性质: (1)空集是 集合的真子集; (2)若 A B , B C , 。 (3)集合相等:对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 的 元素都是集合 B 的 B。 元素,同时集合 B 的 元素都是集合 A 的元素,我们就说 A B ,同时 B A ,那么 A ? B 。 即:若 A 用维恩图表示下列关系: A ? B, A ? B ,A B

(4)易混符号: ①“ ? ”与“ ? ” : ;②{0}与Φ : (5)子集的个数: 空集的所有子集的个数是 个;集合{a}的所有子集的个数是 个 集合{a,b}的所有子集的个数是 个;集合{a,b,c}的所有子集个数是 结论: 含 n 个元素的集合 ?a1 , a2 ?, an ? 的所有子集的个数是 , 所有真子集的个数是 ,非空子集数为 (6)集合关系与“推出”符号: ,非空真子集数为 。

设 A ? ?x | p( x)? , B ? {x | q( x)} 若 A ? B 则 。

,反之亦成立;

A?B则
3 典型例题:

例 1 写出 A ? ?1,2,3? 的所有子集和真子集。
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例 2 判定下列集合的关系: (1) A={x|x是12的约数},B={x|x是 36 的约数} ; (2) A ? {x | x ? 3}, B ? {x | x ? 5} (3)A={x|x是矩形},B={x|x是有一个角为直角的平行四边形}

巩固练习: 1.集合 A ? {x x ? 2k, k ? Z} , B ? {x x ? 4k ? 2, k ? Z} ,则有 ( A. A ? B B. A B C. B A D.以上都不是 B,则 a 的取值范围是( ) )

2.设 A ? {x 1 ? x ? 2} , B ? {x x ? a} ,若 A

A. a ? 2 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 2 2 3.已知集合 A={1,1+x,1+2x},B={1,y,y },且 A=B,则实数 x=____,y=_____. 4.已知 {a, b} ? A ? {a, b, c, d, e} ,则满足条件的集合 A 的个数为___________. 5.设集合 A={x|x2+4x=0,x ? R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a ? R,x ? R},若 B ? A,求实数 a 的值.

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§1.2.2集合的运算(一) 一 学习重点: 1、交集、并集的概念 2、求交、并集的简单运算 3、维恩图表示 二 学习难点: 求交集、并集的简单运算 三 学习过程: 1 复习回顾: (1)子集:如果集合 A 的 元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 是集 合B 的 ,记作 读作 。 性质: ; ; 。 (2)真子集:如果 A 是 B 的子集并且 B 中 ,则称 A 是 B 的真子 集。 性质: (1)空集是 集合的真子集; (2)若 A B , B C , 。 B ,同时 B A ,那么 A ? B 。 (3)集合相等:若 A (4)子集的个数: 含 n 个 元 素 的 集 合 ?a1 , a2 ?, an ? 的 所 有 子 集 的 个 数 是 , 所有真子集的个数是 ,非空子集数为 (5)集合关系与“推出”符号: ,非空真子集数为 。

设 A ? ?x | p( x)? , B ? {x | q( x)} 若 A ? B 则

,反之亦成立;

A?B则 。 2 学习要点: (1)交集定义:由所有属于集合 A 属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的 交集。即: A ? B ? 。 (2)并集定义:由所有属于集合 A 属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的 并集。即: A ? B ? 。 (3)性质: A ? A ? , A ?? ? , A? B ? ;

A? A ? , A ?? ? , A? B ? 若 A? B 则 A? B ? ; A? B ? (4)韦恩图表示: A B : : A B:
3 典型例题: 例 1 设 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x 1 ? x ? 3 ,求 A∪B;A ? B。

; 。

?

?

?

?

例2设A?

?? x, y ? y ? ?4 x ? 6? ,

B ? ?? x, y ? y ? 5 x ? 3? ,求 A ? B。

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例 3 已知 A 是奇数集, B 是偶数集, Z 为整数集, 求 A ? B,A ? Z,B ? Z,A ? B,A ? Z,B ? Z。

2 例 4 设集合 A ? ?4, 2m ? 1, m , B ? ?9, m ? 5,1 ? m? ,又 A ? B={9},求 A

?

?

B

巩固练习: 1.满足条件 M

{1}={1,2,3}的集合 M 的个数(

) )

A.1 B.2 C.3 D.4 2.设集合 A={x︱x ? 1},B={x︱x>p},要使 A ? B ? ? ,则 p 应满足( A.P>1 B.P ? 1 C.P<1 D.P ? 1 3.设 A={x︱-2<x<-1},B={x︱-3<x<3}, A B= 4.设 A={x︱ x ? 2 ? 0 ,x ? R},B={x︱5-2x>0, x ? N},则 A
2

A

B=

B=_________。

5.已知方程 x ? bx ? c ? 0 有两个不等的实根 x1 , x2 ,设 C={ x1 , x2 },
2

A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},若 A

C= ? , C

B=C,试求 b、c 的值。

2 2 6.已知 A= ?3, a , a ?1 , B ? a ? 3, 2a ? 1, a ? 1 ,若 A

?

?

?

?

B ? ??3? ,求 A B

8

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§1.2.3 集合的运算(二) 一 学习重点:全集、补集的概念,简单运算及维恩图表示 二 学习难点: 求补集的简单运算 三 学习过程: 1 复习回顾: (1)子集:如果集合 A 的 元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 是集 合B 的 ,记作 读作 。 性质: ; ; 。 A B B (2)真子集:如果 是 的子集并且 中 ,则称 A 是 B 的真子 集。 性质: (1)空集是 集合的真子集; (2)若 A B , B C , 。 B ,同时 B A ,那么 A ? B 。 (3)集合相等:若 A (4)子集的个数: 含 n 个 元 素 的 集 合 ?a1 , a2 ?, an ? 的 所 有 子 集 的 个 数 是 , 所有真子集的个数是 ,非空子集数为 (5) 集合关系与“推出”符号: ,非空真子集数为 。

设 A ? ?x | p( x)? , B ? {x | q( x)} 若 A ? B 则

,反之亦成立;

A?B则

。 ,

2 学习要点: (1)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的 个集合就可以看作一个全集,全集通常用 表示。 (2)补集:设 S 是一个集合, A 是 S 的子集,由 S 中所有 组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集,即: C S A ? (3)性质: CU ? CU A? ? ; CUU ? ; A ? ?CU A? ?

A 元素
。 ;

; CU ? ?

A ? ?CU A? ?

(4)韦恩图表示 CU A : 3 典型例题: 例 1、若 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},求 CUA, A ? ?CU A? , A ? ?CU A?

2 例 2、集合 A ? x x ? 3x ? 4 ? 0

?

?

求 C U A, (1)全集 U=R, (2)全集 U ? x x ? 5

?

?

9

2014-2015 必修 1 第一章学案
2 2 例 3、设全集 S ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , A ? x | x ? px ? q ? 0 , 若 CS A ? ? ,求 p 、 q .

?

?

?

?

四巩固练习: 1.U={0,1,2,3,4} ,A={0,1,2,3} ,B={2,3,4} ,则(CUA)∪(CUB)=( ) A. {0} B. {0,1} C. {0,1,4} D. {0,1,2,3,4} 2.全集 U=R,M={x | x≥1},N={x | x>5 或 x<0},则(CUM)∩(CUN)=( ) A. {x | 0<x<1}B. {x | 0≤x≤1} C. {x | 0≤x<1} D. {x|0<x≤1} 3.已知全集 U={0,1,2},且 CUQ={2},则集合 Q 的真子集共有( ) A. 3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 4.全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5}, 则 CU(A B)= _____ . 5 .设全集 U 为 R ,A={x ︱ x2+px+12=0}, B={x︱x2-5x+q=0},若 (CUA)∩ B={2} ,A∩ (CUB)={4},则 A∪B=________________. 6.设全集 U={2,3,a2+2a-3} ,A={|2a-1|,2} ,CUA={5} ,求实数 a 的值.

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2014-2015 必修 1 第一章学案

第一章集合小结 一 学习重点:集合的基本概念、基本关系、基本运算 二 学习难点:集合的基本运算及应用 三 学习过程: 知识结构: 1.基本概念:

?集合与元素:某些   的  对象集在一起就形成一个集合,简称   。   ?  做这个集合的元素。 ?        其中每个     叫 ?                   ?元素性质: ?集合分类:                   ? ?集合表示:           ;思考: ?0? 与?; ?1,2? 与?2,1?、 ??1,2 ??、 ?? 2,1??的区别。 ?
2.基本关系:                         ?集合与元素: ?  性质          ?子集: 含义      ;图示      ; ? ? ?  性质            ?集合与集合 ?真子集:含义      ;图示      ; ? ?  性质          ?相等: 含义      ;图示      ; ? 3.基本运算:  性质                ?交集: 含义      ;图示       ; ?  性质                    ?并集: 含义      ;图示       ; ?补集: 含义      ;图示       ;  性质                ? 4.基本结论: (1)子集的个数: 含 n 个 元 素 的 集 合 ?a1 , a2 ?, an ? 的 所 有 子 集 的 个 数 是 所有真子集的个数是 ,非空子集数为 ,非空真子集数为 (2) A ? B ? ; A B,A,A ? B的关系 (3)空集是任何集合的子集,注意分类讨论! 5 典型例题: 例 1.已知数集 A 满足条件 a ≠1,若 a ? A ,则 。 。



(1) 已知 2 ? A ,求证:在 A 中必定还有两个元素 (2) 请你自己设计一个数属于 A ,再求出 A 中其他的所有元素 (3) 从上面两小题的解答过程中,你能否悟出什么“规律”?并证明。

1 ? A。 1? a

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2014-2015 必修 1 第一章学案

例 2.某班 50 个同学中有 32 人报名参加数学竞赛,有 25 人报名参加化学竞赛,有 3 人两 样竞赛都不参加,求: (1)数学竞赛和化学竞赛都参加的有多少人? (2)只参加一种竞赛的共有多少人?

例 3.集 A ?

? ?xx

2

? ax ? 1 ? 0, x ?R B , ? 1 ,2 , ? ?

?

且 A? B ? A, ,求实数 a 的范围。

巩固练习: 2 1.已知集合A={x|x +2ax+1=0}的真子集只有一个,则a值的集合是( ) A、(﹣1,1); B、(﹣∞,﹣1)∪[1,+∞]; C、{﹣1,1}; D、{0} 2. 设全集I={a,b,c,d,e},集合M={a,c,d},N={b,d,e},那么CI M∩CI N 是( )

3. 设集合 A ? {( x, y) | y ? ?4 x ? 6}, B ? {( x, y) | y ? 5x ? 3} ,则 A ? B = ( A.{1,2} B.{(1,2)} C.{x=1,y=2} 2 4.若集合 M={x| x +x-6=0},N={x| kx+1=0},且 N ? M,则 k 的可能值组成 的集合为 。 。 5. 给定集合 A、B,定义一种新运算: A ? B ? {x | x ? A或x ? B, 但x ? A ? B} . 已知 A ? {0,1, 2} , B ? {1, 2,3} ,用列举法写出 A ? B ?



D. (1,2)

2 2 2 6.设 A ? {x | x ? 4x ? 0}, B ? {x | x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,若 A ? B ? B ,求 a 范

围.

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2014-2015 必修 1 第一章学案

集合答案: §1.1.1 集合的概念 例 1、下面的各组对象能组成集合的是 (1) (4) (6) 例 2、 (1)3.14 ? Q; (2) 3 ? Z; (3)0 ? N ; ( 4) 3 ? R ; (5)? ? 3.14; (6)0 ? N;
*

(7)0 ? ? 巩固提高:1、D 2、C 3、C 4、 ,? 1 0 , 1 5、 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8

6、错、对、对、错 7、解:

5 ? a ,且 5 ? B ? ?

? a 2 ? 2a ? 3 ? 5 ?a ? 3 ? 5

即?

? a ? ?4或a ? 2 ?a ? 2

? a ? ?4

§1.1.2 集合的表示方法 巩固练习:1.C 2.D 3.是 4. ?0,2,5? 5.2 6. ? 1,5? 过程:? A ? ?2?, ? 方程 x ? px ? q ? x 有两个相等实根 x=2,由韦达定理得:
2

?? ( p ? 1) ? 2 ? 2 ? p ? ?3 2 1,5? . ,所以 ? ,所以 B ? x x ? 6 x ? 5 ? 0 ? ? ? ? q ? 2? 2 ?q?4
§1.2.1 集合之间的关系 1.C 2.A 3. ?

?

?

3 1 ,? 4 2

4. 8 个

5.解:因为 A={x|x2+4x=0}={-4,0}, 又因为 B ? A,所以 B=φ ,{-4},{0},{-4,0}四种情况: (1)当 B=φ 时, ? =4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得 a<-1; (2)当 B={-4}或{0}时,需 ? =0,解得 a=-1,验证知 B={0}满足条件; (3)当 B={-4,0}时,由根于系数的关系是

? ? 4 ? 0 ? a2 ? 1 , 解得=1; ? ? ? 4 ? 0 ? ?2(a ? 1)
综上可知所求实数 a 的值为 a=1 或 a ? -1. §1.2.2集合的运算(一) 巩固练习:1.B 2.B 3. {x︱-2<x<-1},{x︱-3<x<3} 4.{0,1} 5.解:由 A C= ? , C B=C 得: C={4,10},由根与系数关系得: b=-14,c=40

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2014-2015 必修 1 第一章学案

6. a ? ?1, A

B ? ??4, ?3,0,1,2?

§1.2.3 集合的运算(二) 巩固练习:1. C 2. C 3.A 4. {1,2,3,4} 5.{2,3,4} 6. 解:∵CUA={5} ∴5∈U,且 5 ? A ∴a2+2a-3=5,解得 a=2 或 a=-4 当 a=2 时,|2a-1|=3≠5 当 a=-4 时,|2a-1|=9≠5,此时 9 ? U, 综上可知,a=2. 集合单元小结 例1.(1) A ? ?2,?1, ? ; (2)略; (3)A 的元素一定有 3k ?k ? Z ? 个。 例2. (1)10 人; (2)37 人。 例3. ? 2 ? a ? 2 。 巩固练习:1.C 2.A 3.B 4. {0, ? 6. 解:∵ A ? B ? B

? ?

1? 2?

1 1 , } 5. {0,3} 2 3

∴ B ? A , a ? ?1或a ? 1

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