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椭圆知识点


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椭圆知识点 知识要点小结:
知识点一: 椭圆的定义
平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) ,这个动点 P 的 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

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注意:若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ; 若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹无图形.

知识点二: 椭圆的标准方程
1.当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程:

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ; 2 a b

2.当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程:

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ; 2 a b

注意: 1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的 标准方程; 2.在椭圆的两种标准方程中,都有 (a ? b ? 0) 和 c 2 ? a 2 ? b 2 ; 3.椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在 x 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (c,0) , (?c,0) ; 当焦点在 y 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (0, c) , (0,?c)

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知识点三: 椭圆的简单几何性质
椭圆:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的简单几何性质 a2 b2

(1)对称性: 对于椭圆标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) : a2 b2

说明:把 x 换成 ? x 、或把 y 换成 ? y 、或把 x 、 y 同时换成 ? x 、 ? y 、原方程都不变,所以椭圆

x2 y2 ? ? 1 是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对 a2 b2
称中心称为椭圆的中心。

(2)范围: 椭圆上所有的点都位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足 x ? a ,

y ?b。
(3)顶点:

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 a2 b2

A1 (?a,0) , A2 (a,0) , B1 (0,?b) , B2 (0, b)
③线段 A1 A2 , B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2 圆的长半轴长和短半轴长。

? 2a , B1 B2 ? 2b 。 a 和 b 分别叫做椭

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(4)离心率: ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ?

2c c ? 。 2a a

②因为 (a ? c ? 0) , 所以 e 的取值范围是 (0 ? e ? 1) 。 则 c 就越接近 a , 从而 b ? e 越接近 1,

a2 ? c2

越小,因此椭圆越扁;反之, e 越接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆就越接近于圆。
2 2 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。

注意:

x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 的图像中线段的几何特征(如下图): a b

(1) ( PF1 (2) ( BF1 (3) A1 F1

? PF2 ? BF2

? 2a ) ;

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

? e ; ( PM1 ? PM 2 ?

2a 2 ); c

? a ) ; ( OF1 ? OF2

? c) ; A1 B ? A2 B ? a 2 ? b 2 ;

? A2 F2 ? a ? c ; A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c ; a ? c ? PF1 ? a ? c ;

知识点四:椭圆

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的区别和联系 与 a2 b2 a2 b2

标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0)

图形

性质

焦点

F1 (?c,0) , F2 (c,0)

F1 (0,?c) , F2 (0, c)

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焦距 范围 对称性 顶点 轴长

F1 F2 ? 2c x ? a, y ? b
关于 x 轴、 y 轴和原点对称

F1 F2 ? 2c x ?b, y ? a

(? a,0) , (0,?b)
长轴长= 2 a ,短轴长= 2b

(0,? a) , (?b,0)

离心率

e?

c (0 ? e ? 1) a

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

焦半径

PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0

PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0

注意:椭圆

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都 , a2 b2 a2 b2

有 (a ? b ? 0) 和 e ?

c (0 ? e ? 1) , a 2 ? b 2 ? c 2 ; a

不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。

规律方法: 1.如何确定椭圆的标准方程?
任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴, 椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件 a , b ;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的 形式确定标准方程的类型。

2.椭圆标准方程中的三个量 a, b, c 的几何意义
椭圆标准方程中, a, b, c 三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示 椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为: (a ? b ? 0) , (a ? c ? 0) , 且 (a ? b ? c ) 。
2 2 2

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可借助右图理解记忆: 显然: a, b, c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中 a 是斜边,b、c 为两条直角边。

3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看 x , y 2 的分母的大小,哪 个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。 4.方程 Ax2 ? By2 ? C( A, B, C均不为零) 是表示椭圆的条件 方程 Ax ? By ? C 可化为
2 2
2

x 2 By 2 Ax 2 By 2 ? ? 1 ,所以只有 A、B、C 同号,且 A ? B ? ? 1 ,即 C C C C A B

时,方程表示椭圆。

C C ? 时,椭圆的焦点在 x 轴上; A B C C 当 ? 时,椭圆的焦点在 y 轴上。 A B


5.求椭圆标准方程的常用方法:
①待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确 定方程中的参数 a, b, c 的值。其主要步骤是“先定型,再定量”; ②定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。

6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点,则 c 相同。与椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 可 设 为 a2 b2

x2 y2 ? 2 ? 1 (m ? ?b 2 ) ,此类问题常用待定系数法求解。 2 a ?m b ?m

7.判断曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称的依据: ① 若把曲线方程中的 x 换成 ? x ,方程不变,则曲线关于 y 轴对称;
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② 若把曲线方程中的 y 换成 ? y ,方程不变,则曲线关于 x 轴对称; ③ 若把曲线方程中的 x 、 y 同时换成 ? x 、 ? y ,方程不变,则曲线关于原点对称。 8.如何求解与焦点三角形△PF1F2(P 为椭圆上的点)有关的计算问题? 思路分析:与焦点三角形△PF1F2 有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或 1 勾股定理) 、 三角形面积公式 S ?PF1F2 ? PF1 ? PF2 ? sin ?F1 PF2 相结合的方法进行计算解题。 2 将 有 关 线 段 PF PF2 、 F1 F2 , 有 关 角 ?F1 PF2 ( ?F1 PF2 ? ?F1 BF2 ) 结 合 起 来 , 建 立 1、

PF1 ? PF2 、 PF1 ? PF2 之间的关系.
9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系? 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。 离心率 e ?

c (0 ? e ? 1) , 因为 c 2 ? a 2 ? b 2 , a

a ? c ? 0 ,用 a、 b 表示为 e ? 1 ? ( ) 2 (0 ? e ? 1) 。

b a

b b 显然:当 越小时, e(0 ? e ? 1) 越大,椭圆形状越扁;当 越大, e(0 ? e ? 1) 越小,椭圆 a a 形状越趋近于圆。

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