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步步高 2014届高三数学(理)二轮专题突破课件 专题五 第2讲《椭圆、双曲线、抛物线》


专题五 第2讲

第2讲
【高考考情解读】

椭圆、双曲线、抛物线

高考对本节知识的考查主要有以下两种形式:
本 性质(特别是离心率),以及圆锥曲线之间的关系,突出考查基 讲 栏 础知识、基本技能,属于基础题. 目 开 关 2.以解答题的形式考查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及标

/>1.以选择、填空的形式考查,主要考查圆锥曲线的标准方程、

准方程的求解,直线与圆锥曲线的位置关系,常常在知识的 交汇点处命题,有时以探究的形式出现,有时以证明题的形 式出现.该部分题目多数为综合性问题,考查学生分析问题、 解决问题的能力,综合运用知识的能力等,属于中、高档题, 一般难度较大.

主干知识梳理

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圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
本 讲 栏 目 开 关

名称 定义

椭圆 |PF1|+|PF2|= 2a(2a>|F1F2|) x2 y2 + =1 a2 b2 (a>b>0)

双曲线 ||PF1|-|PF2||= 2a(2a<|F1F2|) x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

抛物线 |PF|=|PM|点F 不在直线l上, PM⊥l于M y2=2px (p>0)

标准方程

主干知识梳理

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图形 范围 几 何 性 质 轴 顶点 对称性 焦点 |x|≤a,|y|≤b (± a,0),(0,± b) |x|≥a (± a,0) x≥ 0 (0,0) 关于x轴对称 p ( ,0) 2

本 讲 栏 目 开 关

关于x轴,y轴和原点对称 (± c,0) 长轴长2a,短轴 实轴长2a, 长2b 虚轴长2b

主干知识梳理

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几 离心率
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c e=a=

b2 c 1- 2 e=a= a (e>1)

b2 1+ 2 a

e=1 p x=- 2

何 性 质 准线 渐近线

(0<e<1)

b y=± ax

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考点一
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例1

圆锥曲线的定义与标准方程 x2 y2 y2 (1)设椭圆 + m =1和双曲线 -x2=1的公共焦点分别 2 3

为F1、F2,P为这两条曲线的一个交点,则|PF1|· |PF2|的值 等于________. (2)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、 B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=________.

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解析

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(1)焦点坐标为(0,± 2),由此得m-2=4,故m=6.
6 ,||PF1|-

根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2 |PF2||=2 3,

1 2 1 2 本 讲 2 栏 (2)方法一 抛物线C:y =8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x 目 开 +2)(k>0)恒过定点P(-2,0). 关

两式平方相减得4|PF ||PF |=4×3,所以|PF |· |PF |=3.

如图,过A、B分别作AM⊥l于点M, BN⊥l于点N.

由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|, 点B为AP的中点.

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1 连接OB,则|OB|= |AF|, 2 ∴|OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 1, 故点B的坐标为(1,2 2). 2 2-0 2 2 = . 本 ∴k= 3 1-?-2? 讲
栏 目 开 关

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方法二

如图,由图可知,|BB′|=|BF|,|AA′|=|AF|,

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|BC| |BB′| 1 又|AF|=2|BF|,∴ = = , |AC| |AA′| 2 即B是AC的中点.
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? ?2xB=xA-2, ∴? ? ?2yB=yA
2 ? ?yA=8xA, 与? 2 ? ?yB=8xB,

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联立可得A(4,4 2),B(1,2 2). 4 2-2 2 2 2 ∴kAB= = 3 . 4-1

答案 (1)3

2 2 (2) 3

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(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理
本 讲 栏 目 开 关

解细节部分:比如椭圆的定义中要求|PF1|+|PF2|>|F1F2|,双 曲线的定义中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|,抛物线上的点到焦 点的距离与到准线的距离相等的转化. (2)注意数形结合,提倡画出合理草图.

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x2 y2 (1)(2012· 山东)已知椭圆C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心 a b 3 率为 .双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这 2
本 讲 栏 目 开 关

四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为 x2 y2 A. + =1 8 2 x2 y2 C. + =1 16 4 x2 y2 B. + =1 12 6 x2 y2 D. + =1 20 5 ( )

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(2)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线

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交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|= 2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 ( A.y2=9x
本 讲 栏 目 开 关

)

B.y2=6x D.y2= 3x

C.y2=3x

a2-b2 3 c 3 解析 (1)∵椭圆的离心率为 2 ,∴a= a = 2 ,

∴a=2b.∴椭圆方程为x2+4y2=4b2. ∵双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x± y=0,
∴渐近线x± y=0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为 ?2 5 2 5 ? ? ? b , b ? 5 ?, 5 ? ?

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∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 2 5 2 5 b× b=4,∴b2=5,∴a2=4b2=20. 5 5 x2 y2 ∴椭圆C的方程为20+ 5 =1.
本 (2)如图,分别过A,B作AA1⊥l于A1, 讲 栏 BB1⊥l于B1, 目 开 由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|, 关

∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|, ∴∠BCB1=30° ,∴∠AFx=60° . 连接A1F,则△AA1F为等边三角形, 过F作FF1⊥AA1于F1,则F1为AA1的中点,

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1 1 3 设l交x轴于N,则|NF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即p= , 2 2 2
2 ∴ 抛物线方程为 y =3x,故选C. 本

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答案 (1)D

(2)C

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考点二 例2
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圆锥曲线的几何性质

x2 y2 (1)(2013· 辽宁)已知椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左焦点为 a b

F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB| 4 =10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则C的离心率为 ( ) 5 3 5 4 6 A. B. C. D. 5 7 5 7 x2 y2 (2)已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、 a b F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离 心率e的最大值为________.

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解析 (1)在△ABF中,由余弦定理得

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|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|· |BF|cos∠ABF, ∴|AF|2=100+64-128=36,∴|AF|=6,
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从而|AB|2=|AF|2+|BF|2,则AF⊥BF. 1 ∴c=|OF|= |AB|=5, 2 利用椭圆的对称性,设F′为右焦点, 则|BF′|=|AF|=6, ∴2a=|BF|+|BF′|=14,a=7. c 5 因此椭圆的离心率e= = . a 7

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(2)设∠F1PF2=θ,
8 ? ? ?|PF1|=3a, ?|PF1|-|PF2|=2a, 由? 得? ? ?|PF1|=4|PF2| ?|PF2|=2a, 3 ? 本 2 2 讲 17 a - 9 c 17 9 2 栏 由余弦定理得cos θ= 8a2 = 8 -8e . 目
开 关

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17 9 2 ∵θ∈(0,180° ],∴cos θ∈[-1,1),-1≤ 8 -8e <1, 5 又e>1,∴1<e≤3. 5 答案 (1)B (2)3

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解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关 键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,
本 讲 栏 目 开 关

c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程或 不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的 范围等.

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(1)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个

→ =2 FD → ,则 C 的 端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且BF
离心率为________. 2 x2 y2 a (2)过双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左焦点 F 作圆 x2+y2= 的 a b 4 本 讲 栏 切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 E 为 PF
目 开 关

的中点,则双曲线的离心率为________.
解析 (1)设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,如图,

B(0,b),F(c,0),D(xD,yD), → → 则BF=(c,-b), FD=(xD-c,yD),
∵BF=2FD,





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? ?c=2?xD-c?, ∴? ? ?-b=2yD,

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3c ? ?xD= 2 , ∴? ?yD=-b. 2 ? 又∵点 D 在椭圆 C 上,
?3c? ? ?2 ?2? ? b? ?- ?2 ? 2?



a2



b2

1 3 =1,即 e = .∴e= . 3 3
2

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(2)设c= a2+b2,双曲线的右焦点为F′.
则|PF|-|PF′|=2a,|FF′|=2c. ∵E为PF的中点,O为FF′的中点,
本 讲 栏 目 开 关

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∴OE∥PF′,且|PF′|=2|OE|. a ∵OE⊥PF,|OE|= , 2 ∴|PF|=|PF′|+2a=3a. ∴PF⊥PF′,|PF′|=a, c 10 2 2 2 2 2 2 ∵|PF| +|PF′| =|FF′| , ∴9a +a =4c ,∴ = a 2 . 10 ∴双曲线的离心率为 2 . 3 10 答案 (1) (2) 3 2

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考点三

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直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 例3 已知椭圆C: 2+ 2=1(a>b>0)的 a b 2 离心率e= ,点F为椭圆的右焦点, 2 本 讲 点A、B分别为椭圆的左、右顶点, 栏 → → 目 点 M 为椭圆的上顶点,且满足 MF · FB= 2-1. 开


(1)求椭圆C的方程; (2)是否存在直线l,当直线l交椭圆于P、Q两点时,使点F 恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存 在,请说明理由.

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(1)根据题意得,F(c,0)(c>0),A(-a,0),B(a,0),M(0,b),

→ → ∴MF=(c,-b),FB=(a-c,0), → → ∴MF· FB=ac-c2= 2-1.
c 2 2 2 本 又 e = = , ∴ a = 2 c , ∴ 2 c - c = 2-1, 讲 a 2 栏 目 ∴c2=1,a2=2,b2=1, 开 2 x 关 ∴椭圆C的方程为 +y2=1. 2 (2)假设存在满足条件的直线l. ∵kMF=-1,且MF⊥l,∴kl=1. 设直线l的方程为y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),

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y=x+m, ? ? 2 由?x 2 + y =1 ? ?2

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消去 y 得 3x2+4mx+2m2-2=0,
本 讲 栏 目 开 关

则有 Δ=16m2-12(2m2-2)>0,即 m2<3, 2m2-2 4m 又 x1+x2=- ,x1x2= , 3 3 ∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2
2 2m2-2 4m2 m -2 2 = - +m = . 3 3 3

又F为△MPQ的垂心,连接PF,则PF⊥MQ, → → ∴PF· MQ=0,

热点分类突破 → =(1-x ,-y ),MQ → =(x ,y -1), 又PF 1 1 2 2
→ → ∴PF· MQ=x2+y1-x1x2-y1y2 =x2+x1+m-x1x2-y1y2
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2m2-2 m2-2 4 =- m+m- - 3 3 3 m 4 1 2 =-m - 3 +3=-3(3m2+m-4) 1 =-3(3m+4)(m-1)=0, 4 ∴m=-3或 m=1(舍去), 4 经检验m=-3符合条件, ∴存在满足条件的直线l,其方程为3x-3y-4=0.

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(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或 “点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条
本 讲 栏 目 开 关

件Δ≥0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相 交. (2)涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不 求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、 设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆 锥曲线的定义求解.

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x2 (2013· 北京)已知A,B,C是椭圆W: +y2=1上的 4 三个点,O是坐标原点. (1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形
本 讲 栏 目 开 关

的面积; (2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱 形,并说明理由. x2 2 解 (1)由椭圆W: 4 +y =1,知B(2,0) ∴线段OB的垂直平分线x=1.
在菱形OABC中,AC⊥OB, x2 2 3 将x=1代入 4 +y =1,得y=± 2 .

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∴|AC|=|y2-y1|= 3.

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1 1 因此菱形的面积S=2|OB|· |AC|=2×2× 3= 3. (2)假设四边形OABC为菱形.
本 讲 栏 目 开 关

因点B不是W的顶点,且直线AC不过原点, 所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0).
2 2 ? ?x +4y =4, 由? ? ?y=kx+m

消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设A(x1,y1),C(x2,y2),则

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x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m =- =k· + m= 2, 2. 2 2 2 1+4k 1+4k
? 4km m ? ? ∴线段AC中点M?-1+4k2,1+4k2? ?, ? ?

本 1 讲 栏 ∵M为AC和OB交点,∴kOB=-4k. 目 ? 1? 1 开 ? ? -4k =- ≠-1, 关 又k· 4
? ?

∴AC与OB不垂直. 故OABC不是菱形,这与假设矛盾.
综上,四边形OABC不是菱形.

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1.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用
本 讲 础. 栏 目 2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中 开 关 A、B是不等的常数,A>B>0时,表示焦点在y轴上的椭

定义解题,会效果明显,定义中的定值是标准方程的基

圆;B>A>0时,表示焦点在x轴上的椭圆;AB<0时表示双 曲线.

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3.求双曲线、椭圆的离心率的方法:方法一:直接求出 a,c, c 计算 e=a;方法二:根据已知条件确定 a,b,c 的等量关 c 系,然后把 b 用 a,c 代换,求a. 本
讲 栏 目 开 关

4.通径:过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦 2b2 称为通径,双曲线、椭圆的通径长为 a ,过椭圆焦点的弦 中通径最短;抛物线通径长是 2p,过抛物线焦点的弦中通 径最短. 椭圆上点到焦点的最长距离为 a+c,最短距离为 a-c.

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5.抛物线焦点弦性质: 已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F为抛物线的焦
本 讲 栏 目 开 关

点,A(x1,y1)、B(x2,y2). 2 p (1)y1y2=-p2,x1x2= ; 4 2p (2)|AB|=x1+x2+p= 2 (α为弦AB的倾斜角); sin α p2 (3)S△AOB= ; 2sin α 1 1 2 (4) + 为定值p; |FA| |FB| (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

押题精练

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x2 y2 1.已知点F是双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该 a b
本 讲 栏 目 开 关

双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A,B两点,△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是 A.(1,+∞) C.(1,1+ 2) B.(1,2) D.(2,1+ 2) ( )

押题精练
解析

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由 AB⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,

又△ABE 是锐角三角形, 所以∠AEB为锐角,即∠AEF<45° ,
2 b 本 于是|AF|<|EF|, <a+c, 讲 a

栏 目 开 关

于是c2-a2<a2+ac,即e2-e-2<0, 解得-1<e<2.又双曲线的离心率e>1, 从而1<e<2.
答案 B

押题精练

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2.过抛物线 y2=2px(p>0)的对称轴上一点 A(a,0)(a>0)的直线 与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向直线 l:x=-a 作垂线,垂足分别为 M1、N1. p (1)当 a= 时,求证:AM1⊥AN1; 2 (2)记△AMM1、△AM1N1、△ANN1 的面积分别为 S1、S2、
2 S3.是否存在 λ,使得对任意的 a>0,都有 S2 =λS1S3 成立?

本 讲 栏 目 开 关

若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由. p p (1)证明 当 a=2时,A(2,0)为该抛物线的
焦点,而 l:x=-a 为准线,

由抛物线的定义知|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|,

押题精练
则∠NN1A=∠NAN1,∠MM1A=∠MAM1.

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又∠NN1A=∠BAN1,∠MM1A=∠BAM1, 则∠BAN1+∠BAM1=∠NAN1+∠MAM1,
本 讲 栏 目 开 关

而∠BAN1+∠BAM1+∠NAN1+∠MAM1=180° , 则∠N1AM1=∠BAN1+∠BAM1=90° , 所以AM1⊥AN1.
(2)解 可设直线 MN 的方程为 x=my+a,
? ?x=my+a, 由? 2 ? ?y =2px

得y2-2pmy-2pa=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-2pa.

押题精练

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1 1 1 S1= (x1+a)|y1|,S2= (2a)|y1-y2|,S3= (x2+a)|y2|, 2 2 2 由已知S2 2=λS1S3恒成立,则 4a2(y1-y2)2=λ(x1+a)(x2+a)|y1y2|.
本 2 2 2 2 ( y - y ) = ( y + y ) - 4 y y = 4 p m +8pa, 1 2 1 2 1 2 讲 栏 目 (x1+a)(x2+a)=(my1+2a)(my2+2a) 开 关 =m2y y +2ma(y +y )+4a2 1 2 1 2

=m2(-2pa)+2ma×2pm+4a2=4a2+2pam2. 则得4a2(4p2m2+8pa)=2paλ(4a2+2pam2),解得λ=4, 即当λ=4时,对任意的a>0,都有S2 2=λS1S3成立.


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