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高中数学课件 三角函数的诱导公式


1.3

三角函数的诱导公式 第一课时

问题提出

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t

1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样 定义的?

sin ? ? y
cos ? ? x

α 的终边

>y

P(x,y)

O

y tan ? ? ( x ? 0) x

x

2. 2kπ +α (k∈Z)与α 的三角函数 之间的关系是什么?
公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ?
cos(? ? 2k? ) ? cos ?

( k ? Z) tan(? ? 2k? ) ? tan ?

3.你能求sin750°和sin930°的值吗?

4.利用公式一,可将任意角的三角函数 值,转化为00~3600范围内的三角函数 值.其中锐角的三角函数可以查表计算, 而对于900~3600范围内的三角函数值, 如何转化为锐角的三角函数值,是我们 需要研究和解决的问题.

知识探究(一):π+α的诱导公式

思考1:210°角与30°角有何内在联系? 210°=180°+30° 思考2:若α 为锐角,则 (180°,270°)范围内的角可以怎样 表示? 180°+α

思考3:对于任意给定的一个角α ,角 π +α 的终边与角α 的终边有什么关系?
y α 的终边

o

x

π+α 的终边

思考4:设角α 的终边与单位圆交于点P (x,y),则角π +α 的终边与单位圆 的交点坐标如何?
y α 的终边 P(x,y) o

x Q(-x,-y) π+α 的终边

思考5:根据三角函数定义, sin(π+α) 、cos(π +α )、 tan(π +α )的值分别是什么?
y α 的终边

sin(π +α )=-y cos(π +α )=-x
y tan(π +α )= x x
Q(-x,-y) π+α 的终边

P(x,y)
o

思考6:对比sinα ,cosα ,tanα 的值, π +α 的三角函数与α 的三角函数有什 么关系?
sin( ? ? ? ) ? ? sin ?

公式二: cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan( ? ? ? ) ? tan ?

思考7:该公式有什么特点,如何记忆?

知识探究(二):-α ,π -α 的诱导公式:

思考1:对于任意给定的一个角α ,-α 的终边与α 的终边有什么关系?
y α 的终边

o

x

-α 的终边

思考2:设角α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),则-α 的终边与单位圆的交 点坐标如何?
y α 的终边

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边

x

思考3:根据三角函数定义,-α 的三角 函数与α 的三角函数有什么关系?
α 的终边 y

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边

x

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

公式三:

思考4:利用π -α =π +(-α ),结 合公式二、三,你能得到什么结论?
sin( ? ? ? ) ? sin ?

公式四: cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

思考5:如何根据三角函数定义推导公式 四?
α 的终边 y

π -α 的终边 P(-x,y)
x

P(x,y)
o

-α 的终边

思考6:公式三、四有什么特点,如何记 忆?
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ? sin( ? ? ? ) ? sin ?

公式三:

公式四: cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

思考7:公式一~四都叫做诱导公式,他 们分别反映了2kπ +α (k∈Z),π + α ,-α ,π-α的三角函数与α的三角 函数之间的关系,你能概括一下这四组 公式的共同特点和规律吗? 2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π -α 的三角函数值,等于α 的同名函数 值,再放上原函数的象限符号.

理论迁移

例1 求下列各三角函数的值:
(1)cos225
?

11? (2)sin 3
(4)cos(-2040 )
?

16? (3)sin() 3

例2 已知cos(π +x)= 1 3 各式的值:

,求下列

(1)cos(2π-x);(2)cos(π-x).
例3 化简:
cos(180 ? ? ) ? sin( ? ? 360 ) (1) sian(- ? -180? ) ? cos(-180? - ? ) ; ? ? cos190 ? sin (?210 ) (2 ) ? ? . cos(-350 ) ? tan585
? ?

小结作业 1.诱导公式都是恒等式,即在等式有意 义时恒成立. 2.以诱导公式一~四为基础,还可以 产生一些派生公式, 如sin(2π -α )=-sinα , sin(3π -α )=sinα 等.

3.利用诱导公式一~四,可以求任意 角的三角函数,其基本思路是:
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数

锐角的三角 函数

0~2π 的角 的三角函数

这是一种化归与转化的数学思想.

作业: P27练习:1,2,3,4.


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