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高一数学期末专题复习专题六 圆与方程


专题六 圆与方程
一、圆的方程

班别:___________ 姓名:___________ 学号:____________

知识点:1、圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,其中圆心(a, b),半径为 r 2、 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,其中圆心 (?

D E D 2 ? E 2 ? 4F ,? ) , 半径 2 2 2

?( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 点( x0 , y 0 )在圆外 ? 3、点与圆位置关系: ?( x0 ? a) 2 ? ( y 0 ? b) 2 ? r 2 点( x0 , y 0 )在圆上 ? 2 2 2 ?( x0 ? a) ? ( y0 ? b) ? r 点( x0 , y 0 )在圆内
技巧总结:1、求圆方程,关键找出圆心与半径 2、用待定系数法求圆方程时,设一般方程比设标准方程好;用几何性质求圆方程则相反。

?D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0, 是圆 ? 2 2 3、圆的一般方程中, ?D ? E ? 4 F ? 0, 是点(圆心) ?D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0, 没意义 ?
4、圆上各弦的垂直平分线交点为圆心,此性质常用。 二、点的轨迹方程 知识点 1、求什么点的轨迹方程,就设什么点为(x, y) 。然后列出表示变量 x,y 关系的方程。

关点,相关点再代入已 知方程 ?1)代入法:所求点代入相 ? 条件译为代数关系式 2、 常用求轨迹方程方法:?2)直接法:直接把题意 ?3)定义法:找出题意隐 含的曲线定义,根据定 义列方程 ?
三、直线与圆,圆与圆方程 知识点:1、代数法判线圆位置关系,将直线方程与圆的方程联立成方程组,利用消元法消去 x 或 y 后,得到关于一元二次方程,由于解的个数为交点个数,故可用较判别式Δ 与 0 的大小 关系判断线圆位置关系 若Δ <0 则直线与圆相离 ; 若Δ =0 则直线与圆相切 ; 若Δ >0 则直线与圆相交 2 、 几 何 法 判 线 圆 位 置 关 系 , 圆 心 (a,b) 到 直 线 Ax+By+C=0 的 距 离 为 为 d, 半 径 为 r,( d ?

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

),

则 d>r,相离; d=r,相切;

d<r,相切;

3、圆与圆位置关系:设圆心距为 d, 两圆半径分别为 R,r(R≠r) d>R+r,外离; d=R+r;外切; |R-r|<d<R+r,相交; d=|R-r|,内切; (R=r 时,没有内切与内含,只有重合) 4、已知两圆方程: ?

d<|R-r|,内含;

? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 (1) ? , 当(1)-(2)时: ? x 2 ? y 2 ? D2 x ? E 2 y ? F2 ? 0 (2) ?

①若两圆相交,则方程相减所得为两圆公共弦直线方程;②若两圆相切,则方程相减所得为 两圆公切线直线方程;③若两圆相离,则方程相减所得为两圆圆心连线的中垂线直线方程; 技巧总结:1、线圆相离问题中,一般转为求线圆距离最短最长问题 2、线圆相切问题中,点在圆外时,过点作圆的切线有两条;点在圆上时,过点作圆的切线

只有 1 条;注意讨论切线方程斜率不存在情况,注意圆心切点的连线垂直于切线。 3、线圆相交问题中,作圆心到弦的垂线,构造直角三角形解题.注意讨论弦斜率不存在情况 4、线圆关系问题,直线方程一般设为点斜式,并利用关系式求出斜率 k

练习题(一) :基础题型 1.圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 的圆心到直线 x ? y ? 1 的距离为 A.2 B.

2 2

C.1

D. 2

2.若圆 C 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 关于原点对称,则圆 C 的方程是 A. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 B. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1

3.若直线 x ? y ? a ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? a 相切,则 a 为 ? A.0 或 2 ? B. 2 ?C.2 ?D.无解

4.两圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 9 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 6x ? ?12y ? 19 ? 0 的位置关系是 A.外切? 5. 求直线 B.内切? C.相交? D.外离 )

3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角的度数为(
B. 45 ?
2 2

A. 30 ?

C. 60 ?

D. 90 ? ( )

6.过点 M(3,2)作圆 O:x +y +4x-2y+4=0 的切线方程是 A、y=2 C、12x-5y-26=0

B、5x-12y+9=0 D、y=2 或 5x-12y+9=0 ) D、 x ? 3 y ? 2 ? 0

7.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( A、 x ? 3 y ? 2 ? 0 B、 x ? 3 y ? 4 ? 0

C、 x ? 3 y ? 4 ? 0

8. 圆 x 2 ? y 2 ? 2kx ? 2 y ? 2 ? 0(k ? 0)与两坐标轴无公共点, 那么实数k 的取值范围 A、 0 ? k ?

2

B、 1 ? k ?
2

2
2

C、 0 ? k ? 1

D、 k ?

2

9.设直线 l 过点 (?1,2) ,且与圆 x ? y ? 4 截得弦长为 2 3 ,则 l 方程是 10.若方程 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? a ? 0 表示的曲线是一个圆,则 a 的取值范围是
2 2

11.若经过点 P(-1,0)的直线与圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,则此直线在 y 轴上
2 2

的截距是

.
2 2

12.设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x ? y ? 2x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则弦 AB 的垂直平分

线方程是

.

13.若圆经过点 A(2,0), B(4,0), C (0,2) ,求这个圆的方程

14.已知点 P(5,-3) ,点 Q 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上运动,线段 PQ 的中点为 M,求点 M 的轨迹 方程

15.已知圆 C 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相外切,并且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3,? 3) , 求圆 C 的方程

练习题(二) :强化题型 1、以两点 A(-3,-1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是( A、 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 100
2 2 2 2



B、 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 100 D、 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

C、 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25
2 2 2 2

2、.圆 x ? y ? 4 截直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 所得的弦长是

( )

A.2 B.1 C. 3 D. 2 3 2 2 2 3、方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是 ( ) A、a<-2
2 2

B、2

2 <a<0 3
2

C、-2<a<0

D、-2<a<

2 3
)

4、若两圆 x +y =m 和 x +y +6x-8y-11=0 有公共点,则实数 m 的取值范围是( A、 (-∞,1) B、 (121,+∞) C、 [1,121] D、 (1,121)

5、腰三角形 ABC ,若一腰的两个端点坐标分别是 A?4,2? , B?? 2,0? , A 顶点,则另一

腰的一个端点 C 的轨迹方程是 ( A、 x ? y ? 8x ? 4 y ? 0
2 2

) D. x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 20 ? 0( x ? ?2, x ? 10) ( )

B、 x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 20 ? 0

C. x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 20 ? 0( x ? ?2, x ? 10)
2 2

6、圆 x +y +2x+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点共有

A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 2 2 2 2 7、已知动点 P(x,y)落在圆 x +y +4x-2y-4=0 上,则 x +y 的最大值是( A、9
2



B、14
2

C、14- 6 5

D、14+ 6 5

8、圆(x-1) +(y-3) =1 关于 2x+y+5=0 对称的圆方程是( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A. (x+7) +(y+1) =1 B. (x+7) +(y+2) =1 C. (x+6) +(y+1) =1 D. (x+6) +(y+2) =1 9、圆 x2+y2-2x+10y-24=0 与圆 x2+y2+2x+2y-8=0 的交点为 A、B,则线段 AB 的直 线的方程是 10、在空间坐标系中,z 轴上与点 A(-4,1,7)和点 B(3,5,-2)等距离的点 C 的坐标 为
y 11、若实数 x,y 满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3, 则 的最大值是 x
2 2



12.圆(x-4) +(y-1) =5 内一点 P(3,0) ,则过 P 点的最短弦的弦长为 _____,最短弦所在 直线方程为___________________. 2 2 13、已知圆 x +y -4x-4y+4=0,该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是 ___________,距 离最远的点的坐标是________________ 14、已知一圆与直线 3x+4y-2=0 相切于点 P(2,-1) ,且截 x 轴的正半轴所得的弦的长为 8, 求此圆的标准方程.

15、已知曲线 C:x +y -4mx+2my+20m-20=0 (1)求证不论 m 取何实数,曲线 C 恒过一定点; (2)证明当 m≠2 时,曲线 C 是一个圆,且 圆心在一条定直线上; (3)若曲线 C 与 y 轴相切,求 m 的值.

2

2

圆与圆方程答案: (一)DACA CDDB 9、3x+4y-5=0 及 x=-1

10.a<4

11.1

12.3x-2y-3=0

13、解:设所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 则有 ?16 ? 4 D ? F ? 0 ? ? E ? ?6

?4 ? 2 D ? F ? 0 ? ?2 E ? F ? 4 ? 0 ?

?D ? ?6 ? ?F ? 8 ?

所以圆的方程是 x 2 ? y 2 ? 6x ? 6 y ? 8 ? 0 .

14、解:设 M( x, y ) ,Q( x0 , y0 )



?

? x? 5?2x0 ? ∵M 为 PQ 的中点,∴ y ? ?3? y0 ? 2

x0 ?2 x?5 y0 ?2 y ?3
2 2

代入 x 2 ? y 2 ? 4 得 ?2x ? 5? ? ?2 y ? 3? ? 4

5? ? 3? ? 即 ?x ? ? ?? y ? ? ?1 2? ? 2? ?
15、设圆 C 的圆心为 ( a, b) ,

2

2

这就是点 M 的轨迹方程.

?b ? 3 ? 3 ? ? a ?3 ?a ? 0 ? ?a ? 4或? ? ?b ? 0 b ? ?4 3 ? r ? 2或r ? 6 . a ? 3b ? ? ? (a ? 1) 2 ? b 2 ? 1 ? ? 2 ?
所以圆 C 的方程为 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4或x 2 ? ( y ? 4 3) 2 ? 36.

(二)CADC BCDA 9.x-2y+4=0 10. (0,0,

14 ) 9

11.

3

12. 2 3 , x+y-3=0

13. (2 ? 2,2 ? 2 ), (2 ? 2,2 ? 2 ) 14.解: 设所求圆圆心为 Q (a,b) 则直线 PQ 与直线 3x+4y-2=0 垂直, , 即 且圆半径 r=|PQ|= (a ? 2) 2 ? (b ? 1) 2 ? b 2 ? 4 2 ,(2) 由(1)(2)两式,解得 a=5 或 a= 、 (x-5) +(y-3) =25. 15.解: (1)曲线 C 的方程可化为:(x +y -20)+m(-4x+2y+20)=0,由 ? x ?
2 2 2 2

b ?1 3 ? (? ) ? ?1 ,(1) a?2 4

11 (舍),当 a=5 时,b=3,r=5, 故所求圆的方程为 5

?x ? 4 , ? y 2 ? 20 ? 0 ?? ?? 4 x ? 2 y ? 20 ? 0 ? y ? ?2
2

∴不论 m 取何值时,x=4, y=-2 总适合曲线 C 的方程,即曲线 C 恒过定点(4, -2). (2)D=-4m, E=2m, F=20m-20, D +E -4F=16m +4m -80m+80=20(m-2)
2 2 2 2 2 2 2 2

∵m≠2, ∴(m-2) >0, ∴D +E -4F>0, ?∴曲线 C 是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则 由?
? x ? 2m 消去 m 得 x+2y=0, 即圆心在直线 x+2y=0 上. ? y ? ?m

(3)若曲线 C 与 y 轴相切,则 m≠2,曲线 C 为圆,其半径 r= 20(m ? 2) 2 ,
5? 5 . 2

又圆心为(2m, -m),则 20(m ? 2) 2 =|2m|, ?m ?


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