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2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题


2013 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题
一、填空题(每小题 8 分,满分 64 分) 1、已知 sin ? ? cos ? ,cos ? ? sin 2? ,则 sin 2 ? ? cos 2 ? ? _______. 2、不等式 x 6 ? ( x ? 2) ? ( x ? 2)3 ? x 2 的解集为_________.

3、已知

/>
(

表示不超 过 x 的最大整数),设方程
2

1 ? 2012 x ? { x} 的两 2013

个不同实数解为 x1 , x2 ,则 2013 ? ( x1 ? x2 ) ? __________. 4、在平面直角坐标系中,设点 A( x, y )( x, y ? N ) ,一只虫子从原点 O 出发,沿 x 轴
*

正方向或 y 轴正方向爬行(该虫子只能在整点处改变爬行方向),到达终点 A 的不同路线 数目记为 f ( x, y ) . 则 f (n, 2) ? _______. 5、将一只小球放入一个长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点 P 到 这三个面的距离分别为 4、5、5,则这只小球的半径为___________.

6、将

2013 n ?1 表示成两个 (n ? N * ) 型分数的乘积的不同方法数是________.(其中 2012 n

ab 与 ba 是同一种表示方法)
7、设 E 为正方形 ABCD 边 AB 的中点,分别在边 AD、BC 上任取两点 P、Q,则∠PEQ 为锐角的概率为__________. 8、已知实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根,则使得
2

(a ? b)2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? ra 2
成立的正实数 r 的最大值为____________. 二、解答题(第一道小题满分 16 分,后两道小题每题满分 20 分) 9 、 已 知 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , a1 ? 1, a2 ? 3 , 且 对 任 意 n ? N * , 都 有
2 an ?1 ? an an ? 2 ? 2 .问:是否存在常数 ? ,使得 an ? an ? 2 ? ? an ?1 对任意 n ? N * 都成立?

10、已知两点 C (?

x2 6 6 ,0), D( ,0) ,设 A,B,M 是椭圆 ? y 2 ? 1 上三点,满足 4 2 2

???? ? 3 ??? ? 4 ??? ? OM ? OA ? OB ,点 N 为线段 AB 的中点,求 | NC | ? | ND | 的值. 5 5

11、 已知 m ? n(m, n ? N ) , 两个有限正整数集合 A, B 满足: | A |?| B |? n,| A ? B |? m
*

? ( 这 里 用 | X | 表 示 集 合 X 的 元 素 个 数 ) . 平 面 向 量 集 {uk , k? A

?

B }满 足

?u
i? A

?
i

?

?u
j?B

?
j

? 1 . 证明:

k ? A? B

?

? | uk |2 ?

2 . m?n


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