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第四届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答


2001 年第 10 期               数学通讯

43

第四届北京高中数学知识应用竞赛 决赛试题及参考解答
( 竞赛日 :2001 年 3 月 18 日)

中图分类号 : G642. 0      文献标识码 :A      文章编号 :0488 - 7395 ( 2001) 10 - 00

43 - 03

1 . ( 满分 20 分 ) 汽车在行驶中 , 由于惯性的作用 , 刹 车后还要继续向前滑行一段距离才能停住 . 我们称 这段距离为 “刹车距离” . 刹车距离是分析事故的一 个重要的因素 . 在一个限速为 40 千米/ 时的路段上 , 先后有 A , B 两辆汽车发生交通事故 . 事故后 , 交通 警察现场测得 A 车的刹车距离超过 12 米 , 不足 15 米 , B 车的刹车距离超过 11 米 , 不足 12 米 . 又知 A , B 两种车型的刹车距离 S ( 米) 与车速 x ( 千米/ 时) 之 间有如下关系 : S A = 0 . 1 x A + 0 . 01 x 2A , S B = 0 . 05 x B + 0 . 005 x 2 B . 如果仅仅考虑汽车的车速因素 , 哪辆车 应负责任 ? 解法 1   由题意得这两辆汽车的刹车距离分别 满足如下的关系式 : 12 < 0 . 1 x A + 0 . 01 x 2 A < 15 , 11 < 0 . 05 x B + 0 . 005 x 2 B < 12 分别求解这两个不等式 , 得 30 < x A < - 5 + 1525 < 35 .
( 10 分)

203 20 = 15 ×( ) 3 = 35 . 56 ( g) . 15 153 ( 20 分) 合理的答案应该是 35g . 3 . ( 满分 20 分 ) 受日月的引力 , 海水会发生涨落 , 这 种现象叫做潮汐 . 在通常的情况下 , 船在涨潮时驶进 航道 , 靠近船坞 ; 卸货后落潮时返回海洋 . 下面是某 港口在某季节每天的时间与水深关系表 :
w 20 = w 15
时刻 水深 ( 米) 0∶ 00 5. 0 1∶ 00 6. 2 2∶ 00 7. 1 3∶ 00 7. 5 4∶ 00 7. 3 5∶ 00 6. 5 6∶ 00 5. 3 7∶ 00 4. 1 时刻 水深 ( 米) 8∶ 00 3. 1 9∶ 00 2. 5 10∶ 00 2. 7 11∶ 00 3. 5 12∶ 00 4. 4 13∶ 00 5. 6 14∶ 00 6. 7 15∶ 00 7. 2 时刻 水深 ( 米) 16∶ 00 7. 4 17∶ 00 6. 9 18∶ 00 5. 9 19∶ 00 4. 4 20∶ 00 3. 3 21∶ 00 2. 5 22∶ 00 2. 7 23∶ 00 3. 8

1) 请在下面的坐标纸上 , 根据表中的数据 , 用

42 < - 5 + 2225 < x B < - 5 + 2425 < 45 . ( 20 分) 可见 , A 车无责任 , B 车应付责任 . 解法 2  如果 x A = x B = 40km/ h , 则可以算得 S A = 20m , S B = 10m. 由于 A 车实际刹车距离没有超

连续曲线描出时间与水深关系的函数图象 :
2) 一条货船的吃水深度 ( 船底与水面的距离 )

为 4 米 , 安全条例规定至少要有 1 . 5 米的安全间隙
(船底与洋底的距离 ) , 问该船何时能进入港口 ? 在

过它按限速行驶时的刹车距离 S A = 20m ; 而 B 车实 际刹车距离超过了它按限速行驶时的刹车距离 S B = 10m. 可见 , A 车无责任 , B 车应付责任 . ( 2 . 满分 20 分) 北京电视台每星期六晚播出 《东芝动 物乐园》 , 在这个节目中曾经有这样一个抢答题 : 小 蜥蜴体长 15cm , 体重 15g , 问 : 当小蜥蜴长到体长为 20cm 时 , 它的体重大约是多少 ( 选择答案 : 20g , 25g , 35g , 40g) ? 尝试用数学分析出合理的解答 . 解  假设小蜥蜴从 15cm 长到 20cm , 体形是相 似的 . 这时蜥蜴的体重正比于它的体积 , 而体积与体 ( 10 分) 长的立方成正比 . 记体长为 l 的蜥蜴的体重为 w 1 , 因此有

港口能呆多久 ?
3) 若某船的吃水深度为 4 米 , 安全间隙为 1 . 5

米 ,该船在 2 ∶ 00 开始卸货 , 吃水深度以每小时 0 . 3 米的速度减少 , 那么该船在什么时间必须停止卸货 , 将船驶向较深的水域 ? 解  1) 描点作图 . 设 x 表示时间 , y 表示水深 .
( 5 分)

收稿日期 :2001 - 03 - 20

图1  第 3 题图

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数 学 通 讯               2001 年第 10 期 第一次用现金购物 70000 元 , 获得奖励券 70000 × 20 % = 14000 ( 元) ; 第二 次 用 奖 励 券 购 物 14000 元 , 获 得 奖 励 券
14000 × 20 % = 2800 ( 元) ;

   2) 由题目条件 , 水深至少为 5 . 5 米时才能保证 货船驶入港口的安全 . 为此在上图中做一条 y = 5 . 5 的水平直线 a. 图象在 a 上方时 , 其对应的 x 范围为 货船驶入港口的安全时间段 , 从图中可以看出 , 这个 时间段约为 0∶ 30 到 5 ∶ 40 分 , 或 13 ∶ 00 到 18 ∶ 20 ( 有
10 分钟左右的偏差可以算对) , 在港口停留的时间大

第三次用奖励券购物 2800 元 , 获得奖励券 2800 × 20 % = 560 ( 元) ; 第四次用奖励券购物 500 元 , 获得奖励券 500 ×
20 % = 100 ( 元) ;
( 由于 560 不是 100 的整数倍 , 故取 500 元购物

约为 5 小时 .

( 15 分)

也可以用线性插值方法 , 在已知点中 , 若相邻两 点在直线 a 的异侧 , 设加在它们中间且过直线 a 的 点与它们共线 . 于是
5. 5 - 5 利用 点 ( 0 , 5 ) 和 ( 1 , 6 . 2 ) , 得 x 1 = = 6. 2 - 5 0 . 417 , 对应的时间为 0 ∶ 25 ; 利用点 ( 5 , 6 . 5 ) 和 ( 6 , 5 . 3) , 得 x 2 = 5 . 83 , 对应的时间为 5 ∶ 50 . 由此得到第

换取奖励券为最佳策略) 第五次用奖励券购物 100 元 , 获得奖励卷 100 ×
20 % = 20 ( 元) ;

第六次用奖励券购物 80 元 ( 60 + 20) , 获得奖励 券 0 元. 至此 ,现金及奖励券全部用完 ,共计购物 (记作 a)
a = 70000 + 14000 + 2800 + 500 + 100 + 80 =

一个满足条件的时间段约为 0∶ 25 — 5∶ 50 . 同理 , 利 用 点 ( 12 , 4 . 4 ) 和 ( 13 , 5 . 6 ) , 得 x 3 =
12 . 92 , 对应的时间为 12∶ 55 ; 利用点 ( 18 , 5 . 9 ) 和 ( 19 , 4 . 4) , 得 x 4 = 18 . 27 , 对应的时间为 18 ∶ 16 . 由此得到

87480 ( 元) . 70000 而 = 80 . 018 % , 近似于八折 . 87480 下面证明 amax = a.

( 8 分) ( 12 分)

第二个满足条件的时间段约为 12∶ 55 — 18∶ 16 .
3) 2∶ 00 时水深为 7 . 1 米 , 船需要的安全水深随

着卸货时间的变化公式为 :
y = 5 . 5 - 0 . 3 ( x - 2) ;

设分 k 次将 70000 元花掉 , 第 i 次购物获得的 奖励券为 x i 元 , 剩下的钱为 yi 元 ( 不包括第 i 次获 得的奖励券) . 则 0 ≤yi ≤x i - 1 + y i - 1 , 并可依次得
x 1 = ( 70000 - y 1 ) 20 % ≤ 14000 ; x 1 + x 2 = ( 70000 - y 1 ) 20 % + [ ( 70000 - y 1 ) 20 % + y 1 - y 2 ]20 %

其中 2 < x < 5 . 83 , 此处利用了插值的结果 . 在上面 的函数图象中画出该图象 , 看出与原图象的交点大 约在 7∶ 00 左右 ( 有 10 分钟左右上下偏差可以算正 确) , 故知在 7 ∶ 00 以前该货船一定要离开码头驶到 较深的安全水域 .
( 20 分)

注 :此处也可利用 ( 6 , 5 . 3 ) , ( 7 , 4 . 1 ) 做线性插 值 , 得 y = - 1 . 2 x + 12 . 5 与 y = 5 . 5 - 0 . 3 ( x - 2) , 联 立可求得 x = 7 . 1 , 即 7∶ 06 ; 若利用 ( 7 , 4 . 1) , ( 8 , 3 . 1 ) 做线性插值 , 得 y = - x + 11 . 1 与 y = 5 . 5 - 0 . 3 ( x 2) 联立可求得 x = 7 , 即 7 ∶ 00 . 这些做法与看图得到

= 70000 ? 20 % + 70000 ( 20 %) 2 - ( 20 %) 2 y 1 - 20 %y2 ;
x 1 + x 2 + x 3 = 70000 ? 20 % + 70000 ( 20 %) 2 ( 20 %) 2 y 1 - 20 %y 2 + { [ ( 70000 - y1 ) 20 % + y 1 - y 2 ]

? 20 % + y 2 - y3 } 20 %
= 70000 ? 20 % + 70000 ( 20 %) 2 + 70000 ( 20 %) 3 ( 20 %) 3 y 1 - ( 20 %) 2 y2 - 20 %y 3 ;

的结果一致 .
4 . ( 满分 20 分) 2000 年末 , 某商家迎来店庆 , 为了吸

引顾客 , 采取 “满一百送二十 , 连环送” 的酬宾方式 , 即顾客在店内花钱满 100 元 ( 这 100 元可以是现金 , 也可以是奖励券 , 或二者合计 ) , 就送 20 元奖励券 ; 满 200 元 , 就送 40 元奖励券 , 满 300 元 , 就送 60 元奖 励券 , ……当 日 , 花 钱 最 多 的 一 顾 客 是 用 了 70000 元 , 如果按照酬宾方式 , 他最多能得到多少优惠呢 ? 相当于商家打了几折销售 ? 解  购物价值 = 所用人民币值 + 优惠值 , 将最 多购物价值记作 amax . 按下列方法购物

一般地 x 1 + x 2 + x 3 + …+ x k = 70000? 20 % + 70000
(20 %) 2 + … + 70000 ( 20 %) ( 20 %) 2 y k 1
k

- ( 20 %) k y 1 - … -

- 20 %y k ,

即 x 1 + x 2 + x 3 + … + x k < 70000 ? 20 % + 70000
( 20 %) 2 + …+ 70000 ( 20 %) k .

因为 lim [ 20 % + ( 20 %) 2 + …+ ( 20 %) k ] = 0 . 25 ,
k →∞

所以 x 1 + x 2 + x 3 + … + x k < 70000 [ 20 % + ( 20 %) 2
+ …+ ( 20 %) k ] < 17500 .

则总共购物价值为 70000 + x 1 + x 2 + x 3 + …+ x k <
70000 + 17500 = 87500. 即 amax = 87480 元 . 接近八

2001 年第 10 期               数学通讯

45

折.

( 20 分)

≥ 4 , n ∈N , m ∈N ) 个展区抽象成一个 n × m “格 阵” , 它有 n + m + 2 条边 ( 对应待监视的走廊 ) , 且用 字母标记如下 :
A 0  A 1   A 2   A 3   A 4     A m 1

5 . ( 满分 20 分) 某城市准备举行书画展览 , 为了保证

展品安全 , 展览的保卫部门准备安排保安员值班 . 情 况如下 : ①展览大厅是长方形 , 内设均匀分布的 m ×n 个长方形展区 , 如图所示 ( 下图中是一个 3 ×4 个展 区的示意图) . 在展厅中 , 展览的书画被挂在每个展 区的外墙上 , 参观者在通道上浏览书画 .

 A m
B0 B1 B2 B3

 
Bn Bn
1

图4  第 5 题图 由于保安员监视范围是 “ T” 型区域 , 所以称保 安员的位置对应的 “格阵” 中的格点为 “ T” 形点 . 这样 ,我们把一个实际问题转化为一个数学模型 : 在 n ×m “格阵” 中至少取几个 “ T” 形点能够用这些 “ T” 图2  第 5 题图 ②保安员站在固定的位置上 , 不允许转身 , 只 能监视他的左右两侧和正前方 , 形如一个 “ T” 形的 区域 . ③不考虑保安员的轮岗 、 换班问题 . ④展品的安全意味着每一个展区的四面外墙 都在保安员的监视范围内 . 问题 :1) 对于如上图所示的展厅中 , 最少需要 几个保安员能使展品安全 ? 在图中标明保安员的位 置 ( 不要求证明) .
2) 假如展区有 n × m ( n ≥3 , m ≥4 , n ∈N , m

形区域覆盖 n ×m “格阵” 的全部 n + m + 2 条边. 首先 “ , T” 形点放在 n ×m “格阵” 的外边框的格 点上才能发挥最大作用 , 覆盖两条边 . 否则 , 如果在 中间某一格点处放一 “ T” 形点 P , 那么这一 “ T” 形点 只覆盖了过点 P 的一边与过点 P 的另一边的一部 分 , 而另一部分还需要另外的 “ T” 形点去覆盖 , 这样
P “ T” 形点相当于只覆盖了 一条边 .

此外 ,在 n ×m “格阵” 的边界格点上 , 当有了一个 “ T” 形点时 , 如果在此边界上再放入第二个 , 它所在的 边界已不需要它覆盖 ,那么这个 “ T” 形点相当于只覆盖 了一条边. 由于 n ×m “格阵” 只有 4 条边界 ,所以 “ T” 形 点多于 4 个时 ,其中 4 个覆盖两条边 , 其余的只相当于 覆盖一条边. 因为这 “其余的” 不是被放在中间的格点 上 ,就是被放在已有一个 “ T” 形点的边界上. n ×m “格 阵” 共有 m + n + 2 条边 ,所以至少需 “ T” 形点 ( m + n +
2) - 4 个 ,即 m + n - 2 个.
(17 分)

∈N ) 个展区 , 最少需要多少个保安员能使展品安 全 ? 请证明你的结论 . 解 :1) 对如图所示的 3 × 4 个展区 , 至少要 5 个 保安员才能保证展览的书画是安全的 . 示:
( 5 分)

保安员站位的方案有多种 , 其中一个如下图所

另外 , 也的确有如下的办法用 m + n - 2 个 “ T” 形点控制 n ×m “格阵” 的 m + n + 2 条边 . 在 ( B0 , A 1 ) , ( B1 , A 0 ) , ( B n , A m - 1 ) , ( B n - 1 ,
A m ) 处放 4 个 “ T” 形点 , 它们可以控制 8 条边 .

再在 ( B 2 , A 0 ) , ( B 3 , A 0 ) , ……, ( B n - 2 , A 0 ) 这 n
- 3 个位置上放 n - 3 个 “ T” 形点 , 它们可以覆盖不

同于前面的 n - 3 条横向边 . 再在 ( B n , A 2 ) , ( B n , A 3 ) , ……, ( B n , A m - 2 ) 这 图3  第 5 题图
2) 对 n ×m ( n ≥ 3, m ≥ 4 , n ∈N , m ∈N ) 个展
m - 3 个位置上放 m - 3 个 “ T” 形点 , 它们可以覆盖

不同于前面的 m - 3 条纵向边 . 总计覆盖了 8 + ( n - 3 ) + ( m - 3 ) 条不同的边 , 即 m + n + 2 条不同的边 , 也就是整个 n × m“格 阵” .
( 20 分)

区 , 至少要 m + n - 2 个保安员才能保证展览的书画 是安全的 .
( 14 分)

证明 :我们把模型进行抽象 , 把 n ×m ( n ≥ 3, m


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