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专题一 函数答案


专题一 函数、导数与不等式(参考答案) 1.1 基本初等函数
一.典型例题: 例 1:解: x ? 0 且

1? x ? 0 , ?1 ? x ? 1 且 x ? 0 ,即定义域为 (?1,0) (0,1) ; 1? x 1 1? x 1 1? x f (? x) ? ? log 2 ? ? ? log 2 ? ? f ( x) 为奇函数; ?x

1? x x 1? x 1 2 f ( x) ? ? log 2 (1 ? ) 在 (?1,0)和(0,1) 上为减函数。 1 x ?1 x

?2 x ? 1 ? 0 2 2 ? 例 2:解: (1) ? 2 x ? 1 ? 1 , x ? , 且x ? 1 ,即定义域为 ( ,1) (1, ??) ; 3 3 ?3 x ? 2 ? 0 ?
2 (2)令 u ? x ? 4x, x ?[0,5) ,则 ?4 ? u ? 5 , ( ) ? y ? ( ) ,
5

1 3

1 3

?4

1 1 ? y ? 81 ,即值域为 ( ,81] 。 243 243
二、课后作业 1. D

y ? x 2 ? x ,对应法则不同; y ?

x2 , ( x ? 0) x

y ? aloga x ? x,( x ? 0) ; y ? loga a x ? x( x ? R)
2. D 对于 y ?

ax ?1 a? x ? 1 a x ? 1 , f ( ? x ) ? ? ? ? f ( x) ,为奇函数; a x ?1 a? x ?1 1 ? a x

对于 y ?

x lg(1 ? x2 ) lg(1 ? x2 ) ,显然为奇函数; y ? 显然也为奇函数; ? x x ?3 ?3 x
1? x 1? x 1? x ? ? log a ? ? f ( x) ,为奇函数; , f (? x) ? log a 1? x 1? x 1? x
?x

对于 y ? log a
?x

3. D 由 y ? ?3 得 ? y ? 3 ,( x, y) ? (? x, ? y) ,即关于原点对称; 4. B

x ? x ? ( x ? x ) ? 2 ? 3, x ? x x ?x
3 2 ? 3 2 1 2 ? 1 2

?1

1 2

?

1 2 2

1 2

?

1 2

? 5

? ( x ? x )( x ? 1 ? x ?1 ) ? 2 5

5. D

2 log 1 (3x ? 2) ? 0 ? log 1 1, 0 ? 3x ? 2 ? 1, ? x ? 1 3 2 2

6. D

0.76 ? 0.70 =1, 60.7 ? 60 =1, log0.7 6 ? 0
当 a , b 范围一致时, loga b ? 0 ;当 a , b 范围不一致时, loga b ? 0 注意比较的方法,先和 0 比较,再和 1 比较

7. 8.

?2 , 原式 ? log2 5 ? 2 ? log2 5?1 ? log2 5 ? 2 ? log2 5 ? ?2

0 ,
?1

( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 0, x ? 2且y ? 1, log x ( y x ) ? log2 (12 ) ? 0

9.

3? x ? 3x ? 3? x ? 3? x ? 3, x ? ?1 , x 1? 3

10. 解: a x ? 6 ? 5, a? x ? 6 ? 5, a x ? a ?x ? 2 6

a2 x ? a?2 x ? (a x ? a? x )2 ? 2 ? 22 ,

a3 x ? a ?3 x (a x ? a ? x )(a 2 x ? 1 ? a ?2 x ) ? ? 23 a x ? a? x a x ? a? x

11. 解:令 f ( x ) ? 0 的两根为 ?、? ,且 ? ? ?、? ? 1,? ? ? ,于是

f ( x) ? a( x ? ? )( x ? ? ) ,? f (0) ? a?? , f (1) ? a(1 ? ? )(1 ? ? ) ,由f (0) f (1) ? 0 ,

, ?? (1 ? ? ) ? ?? ? ? ? ?(? ? ) ? 得 a ?? (1 ? ? )(1 ? ? ) ? 0,但 0 ? ? ? 1
2 2 2

1 2

1 , 4

1 。 4 1 1 同理 0 ? ? (1 ? ? ) ? ,且等号不同时成立,所以 0 ? ?? (1 ? ? )(1 ? ? ) ? , 4 16 ? 0 ? ? (1 ? a ) ?

0 ? a 2?? (1 ? ? )(1 ? ? ) ?

a2 a2 ,即0 ? f (0) f (1) ? ,而 a,b,c ? Z ,所以 16 16 a2 ? 1,a 2 ? 16 ,故最小的正整数 a ? 5 16

f (0) f (1) ? Z 。f (0) f (1) ? 1,

12. 解: (1)过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴,垂足为A1,B1,C1, 则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C-S梯形AA1C1C.

? log1
3
2

t 2 ? 4t 4 ? log3 (1 ? 2 ) 2 (t ? 2) t ? 4t

(2)因为v= t ? 4t 在 [1,??) 上是增函数,且v ? 5,

4 9 ? 9? v ? 1 ? 在?5. ? ? ? 上是减函数,且1<u ? ; S ? log3 u在?1, ? 上是增函数, v 5 ? 5? 4 )在?1,?? ? 上是减函数 所以复合函数S=f(t) ? log 3 (1 ? 2 t ? 4t 9 (3)由(2)知t=1时,S有最大值,最大值是f (1) ? log 3 ? 2 ? log 3 5 5

1.2 函数图像与性质
一.典型例题: (1)设 g ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ; 例 1:解: 又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

? 2a ? 2


a ?1

?

b ? ?1 2

b?2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1? 2 ? c ? m ?1,
f ? x? ?
2

c ? m;

g ? x? m ? x? ?2, x x
2 0 2 2 0

设 P xo , yo
2

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m 2 ? 2 x0 ? x0 ?

?2 2m2 ? 2 ? 4

m??

2 ; 2

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ?

m ? 2 ? 0 , 得 ?1 ? k ? x2 ? 2x ? m ? 0 ?*? x m m 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

;若 m ? 0 ,

k ? 1?

1 ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ? m 2 ?1 ? k ? k ?1 k ? 1? 1 , m

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ?

1 k ?1

例 2:解: (Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

b ?1 1 ?2 x ? 0 ? b ?1 ? f( ) x ? a?2 a ? 2 x ?1

1 1? 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 1 ? 2x 1 1 ?? ? x (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 f ( x) ? ,易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上 x ?1 2?2 2 2 ?1 2 2 为减函数。又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式: f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0

等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) , 因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t .即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 ,
2 2 2

从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

1 3

1 ? 2x 1 ? 2t ?2t 1 ? 22 t ? k 解法二:由(Ⅰ)知 f ( x) ? .又由题设条件得: ? ? 0, 2 2 2 ? 2 x ?1 2 ? 2t ?2t ?1 2 ? 22t ?k ?1 2 2 2 2 即: (22t ?k ?1 ? 2)(1 ? 2t ?2t ) ? (2t ?2t ?1 ? 2)(1 ? 22t ?k ) ? 0 ,
整理得

2

2

23t

2

?2t ?k

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0
1 3

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 二、课后作业 1.A 2.D 解析:由 f ( x ? 2) ? f ( x) 知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,所以两个函数的图象如下图: 函数 y ? lg x 恒过点(1,0),且当 x=10 时,lgx=1,所以两函数图象共有 9 个交点. 故应选 D 3. A. 【解析】 : 函数有意义 , 需使 e ? e
x ?x

? 0 , 其定义域为 ?x | x ? 0? , 排除 C,D, 又因为

y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. x ?x e ?e e ?1 e ?1

2 4.由题知 f ( x ) 在 R 上是增函数,由题得 2 ? a ? a ,解得 ? 2 ? a ? 1 ,故选择 C。

5.C

解析:x1 , x2 ? (??, 0]( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 ? x2 ? x1时,f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)在( ??, 0]为增函数 f ( x)为偶函数 ? f ( x)在(0, ? ?]为减函数 而n+1>n>n-1>0,? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1)
6.D,解析:本题用特例法解决简洁快速,对方程 m[ f ( x)]2 ? nf ( x) ? P ? 0 中 m, n, p 分别 赋值求出 f ( x ) 代入 f ( x) ? 0 求出检验即得.

7.

1 1 2x ?a ? ? a, f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,解法: f (? x) ? ? x 2 2 ?1 1 ? 2x

?

2x 1 1 2x 1 ? a ? ? ( ? a ) ? 2 a ? ? ? 1故a ? x x x x 1? 2 2 ?1 1? 2 1? 2 2

8. a ? 1
x x 【解析】 :设函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)

有两个零点, 就是函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点 ,不符合, 当 a ? 1 时 , 因为函数 y ? a x (a ? 1) 的图象过点
(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点一定在点 (0,1)的上方,所以一定有两个交点 .所以实数 a 的取值范围是 a ? 1 9. ?

1 2

10. 解析: (Ⅰ)由题意得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) 又?

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?

(Ⅱ)函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 导函数 f ?( x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?( x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

f ?(?1) f ?(1) ? 0 ,
即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0 整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 11.【解析】 (1)若

f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?
2 2

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x) min

2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 2 ?? a ? ? 2a f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? ? 3 ? 3

2 ? f (?a), a ? 0 ? ??2a , a ? 0 2 2 x ? a ?? 2 当 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x) min ? ? ? ? f (a), a ? 0 ? 2a , a ? 0

综上 f ( x)min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
2 2

2 2 2 (3)x ? (a, ??) 时,h( x) ? 1 得 3x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ,? ? 4a ? 12(a ? 1) ? 12 ? 8a

当a ? ?

6 6 或a ? 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 2 2

当?

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 6 (x ? )( x ? )?0 ?a? 时,△>0,得: ? ? 3 3 2 2 ? ?x ? a

讨论得:当 a ? (

2 6 , ) 时,解集为 (a, ??) ; 2 2

当 a ? (?

6 2 a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ,? ) 时,解集为 (a, ] ?[ , ??) ; 2 2 3 3

当 a ? [?

2 2 a ? 3 ? 2a 2 , ] 时,解集为 [ , ??) . 2 2 3
0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

12. 证明(1)当 x ? 7时,f ( x ? 1) ? f ( x) ?

而当 x ? 7时 ,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) >0??..3 分 故 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减

? 当 x ? 7时 ,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降?????..6 分
(2)由题意可知 0.1+15ln 整理得

a =0.85??????.9 分 a?6

a ? e0.05 a?6

解得 a ?

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] ??.13 分 e0.05 ? 1

由此可知,该学科是乙学科?????..14 分

1.3 导数及应用
一.典型例题: 例 1:解: (Ⅰ)

f ( x) ? x2 ? bx ? c 为偶函数,故 f (? x) ? f ( x) 即有

(? x)2 ? b(? x) ? c ? x2 ? bx ? c 解得 b ? 0 ,又曲线 y ? f ( x) 过点 (2, 5) ,得 22 ? c ? 5, 有
c ?1

g ( x) ? ( x ? a) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a 从而 g ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 , 曲线 y ? g ( x) 有斜
率 为 0 的 切 线 , 故 有 g ' ( x) ? 0 有 实 数 解 . 即 3x ? 2ax ? 1 ? 0 有 实 数 解 . 此 时 有
2

? ? 4a 2 ? 12 ? 0 解得

? a ? ??, ? 3 ? ? ? ? 3, ??

?
'

?

所以实数 a 的取值范围: a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ??

?

?

?

?

(Ⅱ)因 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,故有 g ' (?1) ? 0 即 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2 又 g ( x) ? 3x ? 4x ? 1 ? (3x ? 1)( x ? 1)
2 ' 令 g ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? ?

1 3

当 x ? (??, ?1) 时, g ' ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (??, ?1) 上为增函数
' 当 x ? ( ?1, ? ) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( ?1, ? ) 上为减函数 ' 当 x ? (? , ??) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (? , ??) 上为增函数

1 3

1 3

1 3

1 3

例 2: 【解析】 (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 , 4b ? c ? 3 ? 0 ??①
2 又 f ?( x) ? 3x ? 4bx ? c ,由导数的几何意义,得 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5

即 8b ? c ? 7 ? 0 ??②

联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 ?????????????4 分

? 所以函数的解析式为 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2
(II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

1 mx 3

令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?
2

1 m?0 3
2

当函数有极值时,方程 3 x ? 4 x ? 1 ? 由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 .

1 m ? 0 有实数解, 3

①当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有实数 x ? 极值

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 无 3 3
1 1 (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 3 3

g ?( x) ? 0 有两个实数根 x1 ? ②当 m ? 1 时,
变化情况如下表:

x
g ?( x )
g ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

( x2 ? ?)
+ ↗

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值;当 x ?

1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 3

1 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3
二、课后作业

? 1.D【解析】 f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) e x ? ( x ? 2)e x ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 。

? ?

2.B 设切点 P( x0 , y0 ) ,则 y0

? x0 ? 1, y0 ? ln( x0 ? a) ,又 y ' |x ? x0 ?

1 ?1 x0 ? a

? x0 ? a ? 1? y0 ? 0, x 0 ? ?1?a ? 2 .故答案选 B
3. C [解析]: y ? ( x ? a)(3x ? 2a ? b) ,由 y ? 0 得 x ? a, x ?
/ /

2a ? b ,∴当 x ? a 时, y 3

取极大值 0,当 x ?

2a ? b 时 y 取极小值且极小值为负。故选 C。 3

或当 x ? b 时 y ? 0 ,当 x ? b 时, y ? 0 选 C 4.A [解析]:由 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 得

f (2 ? x) ? 2 f ( x) ? (2 ? x)2 ? 8(2 ? x) ? 8 ,
即 2 f ( x) ? f (2 ? x) ? x ? 4 x ? 4 ,∴ f ( x) ? x ∴ f ( x) ? 2 x ,∴切线方程为
2 2 /

y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0
5. 答案:A

) 直 线 与 y ? x3 相 切 于 点 ( x0 , x03 ) , 所 以 切 线 方 程 为 【 解 析 】 设 过 ( 1 , 0的

y ? x03 ? 3x02 ( x ? x0 )

3 , 2 25 15 2 x ? 9 相切可得 a ? ? , 当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax ? 64 4 3 27 27 15 2 x? x ? 9 相切可得 a ? ?1 ,所以选 A . 当 x0 ? ? 时,由 y ? 与 y ? ax ? 2 4 4 4
即 y ? 3x02 x ? 2x03 ,又 (1, 0) 在切线上,则 x0 ? 0 或 x0 ? ? 6. 【答案】D 【解析】由题意可知球的体积为 V (t ) ?

4 ? R 3 (t ) ,则 c ? V ' (t ) ? 4?R 2(t )R '(t ) ,由此可得 3

c ? 4? R(t ) ,而球的表面积为 S (t ) ? 4? R2 (t ) , R(t ) R ' (t )
所以 v表=S (t ) ? 4? R (t ) ? 8? R(t )R (t ) ,
' 2 '

即 v表=8? R(t ) R (t )=2 ? 4? R(t ) R (t )=
' '

2c 2c R ' (t )= ,故选 D ' R(t ) R (t ) R(t )

3? a 2 x( x ? 1) ? ( x 2 ? a) 7. 3【解析】f’(x)= , f’(1)= =0 ? a=3 2 4 ( x ? 1)
8.

? ??,0? 解析:由题意可知 f ' ( x) ? 2ax 2 ? x ,又因为存在垂直于 y 轴的切线,
2

1

所以 2ax ?

1 1 ? 0 ? a ? ? 3 ( x ? 0) ? a ? (??, 0) 。 x 2x

9.【答案】 y ? 3x ? 1
x x 【解析】 y' ? e ? xe ? 2 ,斜率 k= e ? 0 ? 2 =3,所以,y-1=3x,即 y ? 3x ? 1
0

10. 分析(I)这一问主要考查了二次函数 根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。

f ? ? x ? ? 3x2 ? 6bx ? 3c 由 题 意 知 方 程 f ? ? x ? ? 0 有两个根 x1、x2
且x1 ?[?1 , 0], x2 ?[1, 2]. 则有 f ? ? ?1? ? 0,

f ? ? 0? ? 0, f ? ?1? ? 0,f ? ? 2? ? 0 故有
右图中阴影部分 即是满足这些条件

的点 ? b, c ? 的区域。 (II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。 此题主要利用消元的手段,消去目标 f ? x2 ? ? x23 ? 3bx22 ? 3cx2 中的 b , (如果消 c 会较繁 琐)再利用 x2 的范围,并借助(I)中的约束条件得 c ? [?2,0] 进而求解,有较强的技巧性。 解: 由题意有 f ? ? x2 ? ? 3x22 ? 6bx2 ? 3c ? 0 . . . . . . . . . . . .① 又 f ? x2 ? ? x23 ? 3bx22 ? 3cx2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .② 消去 b 可得 f ? x2 ? ? ? 又

1 3 3c x2 ? x2 . 2 2 ??10 ? f ( x2 ) ? ? 1 2

x2 ?[1, 2] ,且 c ?[?2,0]

10. 解析: (Ⅰ)由题意得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) 又?

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?

(Ⅱ)函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 导函数 f ?( x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?( x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

f ?(?1) f ?(1) ? 0 ,
即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0

11.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查 综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) f
'

? x? ? 3x2 ? 3a ,

∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,

? f ' ? 2? ? 0 ? ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ?a ? 4, ? ?? ?? ∴? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? ? ? f ? 2? ? 8
' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,

当 a ? 0 时, f

'

? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 上单调递增,

此时函数 f ( x ) 没有极值点.

当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
当 x ? ??, ? a 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
' '

∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x ?

a 是 f ( x) 的极小值点..

12. 解 :(Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, ( n ? 1) x ? m,即n= 所以

m ?1 x

y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( ? 256 m ? m x ? 2m ? 256 x

m m -1)+ (2 ? x ) x x x

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, f '( x) ? ?
3

256m x
2

1 3 m 3 ? mx 2 ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( x) ? 0 ,得 x 2 ? 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

1.4 不等式
一.典型例题: 例 1:解:设该儿童分别预订

x, y 个单位的午餐和晚餐, 共
花费 z 元, 则z?2 . 5x 4 ?y 。 可行域为 12 x+8 y ≥64 6 x+6 y ≥42 6 x+10 y ≥54 x≥0, x∈N y≥0, y∈N 即 3 x+2 y ≥16 x+ y ≥7 3 x+5 y ≥27 x≥0, x∈N y≥0, y∈N 作出可行域如图所示: 经试验发现,当 x=4,y=3 时,花费最少,为 z ? 2.5 x ? 4 y =2.5×4+4×3=22 元

例 2:证法一:? a ? b ? c ?
2 2 2

1 2 [(a ? b 2 ) ? (b 2 ? c 2 ) ? (c 2 ? a 2 )] 2

?

1 (2ab ? 2bc ? 2ca ) 2

? ab ? bc ? ca

? (a ? b ? c) 2 ? 3(ab ? bc ? ca)
?a ? b ? c ? 1

? ab ? bc ? ca ?

1 3

证法二: ab ? bc ? ca ? b(a ? c) ? ca

? [1 ? (a ? c)](a ? c) ? ca ? (a ? c) ? (a ? c) 2 ? ca ? a ? c ? ( a ? c) 2 ? ( c?a 2 ) 2

3 ? ? ( a ? c ) 2 ? ( a ? c) 4 3 2 1 1 ? ? [(a ? c) ? ]2 ? ? 4 3 3 3
二、课后作业 1.C 2.A 3.C 4.答案:D ,解析: a ?
2

1 1 ? ab a ? a ? b ?

= a ? ab ? ab ?
2

1 1 ? ab a(a ? b)

= ab ?

1 1 ? a ( a ? b) ? ab a (a ? b)

≥2+2=4 当且仅当 ab=1,a(a-b)=1 时等号成立,如取 a= 2 ,b=

2 满足条件. 2

5. 答案:A 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z(a>0,b>0)

过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,

y 2 -2 O 2 3x-y-6=0 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而 6.答案 B

x-y+2=0 z=ax+by x

2 3 2 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 ? =( ? ) ? ?( ? )? ?2? ,故选 A. a b a b 6 6 a b 6 6

解析: a ? b 推不出 a ? c ? b ? d ;但 a ? c ? b ? d ? a ? b ? c ? d ? b ,故选择 B。

?b ? d? ? 3 ?( 5 ? ) 8 解析 2: 令 a ? 2, b ? 1, c ? 3, d ? ?5 , 则 a ?c ?? 1

; 由 a ?c ? b ?d ”

可得,a ? b ? (c ? d ) 因为 c ? d , 则c ? d ? 0, 所以 a ? b 。 故 “a ? b” 是 “ a ?c ?b ?d 的必要而不充分条件。 7. 答案:3 8. 1, ?? 9.

?

?

? ??, ?3?
x2 ? 1 ? ax+ 1(a ? 0),

10.解: 原不等式 ?

1 ? ?ax+1 ? 0 ?x ? ?? 2 ?? (*) a 2 2 ? x ? 1 ? (ax+1) ? x[(a -1) x ? 2a] ? 0 ?
当 a=1 时, (*) ??

? x ? -1 ? x ? 0, ?x ? 0

1 ? x?? ? a (*) ?? , 当 a>1 时, 2 a ?x ? 或x ? 0 ? 1- a 2 ?
1 2a ? (可证) ? x ? 0, a 1- a 2

1 ? x?? 2a ? a (*) ?? ?0? x? , 当 0<a<1 时, 1- a 2 ?0 ? x ? 2a ? 1- a 2 ?
综上: 当a ? 1 时,{x | x ? 0},

当0 ? a ? 1时, {x | 0 ? x ?

2a }。 1- a 2

11.解:由 f(1)= f(-1)≤
3 . 2

1 7 7 3 3 得 a+b+c= ,令 x2+ =2x2+2x+ x ? x=-1,由 f(x)≤2x2+2x+ 推得 2 2 2 2 2

由 f(x)≥x2+

1 3 3 3 推得 f(-1)≥ ,∴f(-1)= ,∴a-b+c= ,故 2 2 2 2
5 5 且 b=1,∴f(x)=ax2+x+( -a). 2 2

2(a+c)=5,a+c=

依题意:ax2+x+(

1 5 -a)≥x2+ 对一切 x∈R 成立, 2 2

∴a≠1 且Δ =1-4(a-1)(2-a)≤0,得(2a-3)2≤0, ∴f(x)=
3 2 x +x+1 2

3 2 3 x +x+1≤2x2+2x+ 对 x∈R 都成立. 2 2 3 1 3 ∴存在实数 a= ,b=1,c=1,使得不等式:x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切 x∈R 都成立. 2 2 2
易验证: 12. 解: (Ⅰ)由题意得: x ? y ?

1 x x ? ? 8( x ? 0, y ? 0), 2 2

?y ?

8 x ? , x 4 8 x Q y ? ? ? 0,? 0 ? x ? 4 2. x 4

(Ⅱ)设框架用料长度为 l , 则 l ? 2x ? 2 y ? 2x ? ( ? 2) x ?

3 2

16 ? 4 6 ? 4 2 ? 8 ? 4 2. x

( ? 2)x ? 当且仅当

3 2

16 , x ? 8 ? 4 2 , y ? 2 2, 满足 0 ? x ? 4 2. x

答:当 x ? 8 ? 4 2 米, y ? 2 2 米时,用料最少.


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