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高中数学知识疏漏


高中数学知识疏漏
1、 函数 函数是历年高考命题的重点,集合、函数的定义域、值域、图象、奇偶性、单调性、周 期性、最值、反函数以及具体函数的图象及性质在高考试题中屡见不鲜.因此须注意以下几点. (1)集合是近代数学中最基本的概念之一,集合观点渗透于中学数学内容的各个方面,所以我们应弄懂集合的概念,掌握 集合元素的性质,熟练地进行集合的交、并、补运算.同时,应准确地理解以

集合形式出现的数学语言和符号. (2)函数是中学中最重要的内容之一,主要从定义、图象、性质三方面加以研究.在复习时要全面掌握、透彻理解每一个知 识点.为了提高复习质量,我们提出下述几个问题: ①掌握图象变换的常用方法(参照南师大第一学期教材图象变换一节)特别注意:凡变换均在自变量 x 上进行. ②求函数的最值是一种重要的题型.要掌握函数最值的求法,特别注意二次函数在定区间上的最值问题以及有些问题可能隐 藏范围,因此范围问题是二次函数最值的关键.另外二次分式函数的最值亦应引起注意,它的基本解法是“ ? ”法,当然有 一部分可以转化为函数 f ( x) ? ax ?

b (a, b ? 0) 的形式,而后与基本不等式相联系,或用函数的单调性求解. x

③学会解简单的函数方程,认真对待指数或对数中含参数问题的求解方法,特别注意对数的真数必须“>0”,注意方程求解 时的等价性. 2、 三角 三角包括两部分内容:三角函数和两角和与差的三角函数.三角函数主要考查三角函数的性质、图象变换、求函数解析式、 最小正周期等. 两角和与差的三角函数中公式较多,应在掌握这些公式的内在联系及推导过程的基础上,理解并熟悉这些公 式.特别注意以下几个问题: (1)和、差、倍、半角公式都是用单角的三角函数表示复角(和、差、倍、半角)的三角函数.这就决定了这些公式应用的 广泛性,即这些公式可以将三角函数统一成单角的三角函数. (2)了解公式中角的取值范围,凡使公式中某个三角函数或某个式子失去意义的角,都不适合公式.例如:

tg (? ? ? ) ?

? tg? ? tg? ( ? , ? , ? ? ? ? k? ? , k ? Z )类似还有一些,请自己注意. 2 1 ? tg? ? tg?
? 与 sin ? 的符合是一致的. 2

(3)半角公式中的无理表达式前面的符号取舍,由公式左端的三角函数中角的范围决定,半角正切公式的有理表达式中, 无需选择符合,但 tg

(4)掌握公式的正用、反用、变形用及在特定条件下用,它可以提高思维起点,缩短思维线路,从而使运算流畅自然.例如:

sin ? ? cos ? = 2 sin(? ?

?
4

);

1 ? tg? ? ? tg ( ? ? ) ; 1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? ) 2 1 ? tg? 4

1 ? cos2? ? 2 cos2 ? ; 1 ? cos2? ? 2 sin 2 ? .
(5)三角函数式的化简与求值,这是中学数学中重要内容之一,并且与解三角形相集合,有的还与复数的三角形式运算相 联系,因此须注意常用方法和技巧:切割化弦、升降幂、和积互化、 “1”的互化、辅助元素法等. 3、 不等式 有关不等式的高考试题分布极为广泛,在客观题中主要考查不等式的性质、简单不等式的解法以及均值不等式的初步 应用.经常以比较大小、求不等式的解集、求函数的定义域、值域、最值等形式出现.在中档题中,求解不等式与分类讨论相 关联;特别是近几年来强调考查逻辑推理能力,增加了一个代数推理题,也和不等式的证明相关联.在压轴题中,无论函数 题、还是解析几何题,也往往需要使用不等式的有关知识.在复习中应注意下述几个问题: (1)掌握比较大小的常用方法:作差、作商、平方作差、图象法. (2)熟练掌握用均值不等式求最值,必须注意三个条件:一正;二定;三相等.三者缺一不可. (3)把握解含参数的不等式的注意事项 解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论: ① 在不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性. ② 在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进 行讨论. ③ 当解集的边界值含参数时,则需对零值的顺序进行讨论. 4、 数列

本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决下述几个问题: ( 1 ) 等 差 、 等 比 数 列 的 证 明 须 用 定 义 证 明 , 值 得 注 意 的 是 , 若 给 出 一 个 数 列 的 前 n 项 和 Sn , 则 其 通 项 为

S1 (n ? 1), ? 若 a1 ? S1 满足 a1 ? S 2 ? S1 , 则通项公式可写成 an ? S n ? S n?1 . an ? ? ?S n ? S n ?1 (n ? 2, n ? N ).
(2)数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式及其性质熟练地进行计算,是高考 命题重点考查的内容. (3)解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目标. ①函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 n 的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数 问题求解. ②分类讨论思想: 用等比数列求和公式应分为 S n ?

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 及 S n ? na1 (q ? 1) ; 1? q

已知 S n 求 an 时,也要进行分类; 计算 lin q 时,应分为 q ? 1 时, lim q ? 1 , q ? 1 时, lim q ? 0 ;
n n n n ?? n ?? n ??

求一般数列的和时还应考虑字母的取值或项数的奇偶性. ④ 整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整 体思想求解. (4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题,再利用有关数列知识和方法 来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用,决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第 几项不要弄错. 5、 复数 高考试题中有关复数的题目的内容比较分散,有的是考查复数概念的,有的是考查复数运算的,有的是考查复数几何 意义的.并且每个题目都有一定的综合性,即使是一个简单的客观题也包括 3—4 个知识点.从 1994 年以来复数题主要分布在 客观题及中档解答题中.因此,我们应扎扎实实地全面复习基础知识及基本解题方法.在复习过程中应注意下述几个问题: (1)对复数的有关概念的理解要准确,不能似是而非,否则在解题过程中就会发生错误.如:在实数范围内适用的幂的 运算法则 (a ) ? a
m n mn

(m, n ? R, a ? R ? ) ,在复数集内不在适用,纯虚数的概念等

(2)要掌握复数的模及辐角主值的最值的求法.求复数的模的最值的常用方法有:把复数化成三角形式,转求三角函数的 最值问题(三角法) ;利用复数的代数形式,转求代数函数的最值问题(代数法) ;利用复数的几何意义,转成复平面上的 几何问题(图象法) ;利用 z
2

? zz

或 z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 . 求有关复数的辐角或辐角主值的最值的主要方法有

几何法和三角法. (3)要掌握在复数集中解一元二次方程和二项方程的方法:所有一元二次方程均可用求根公式求方程的根,并且韦达定 理也成立,只有实系数一元二次方程可用 ? 判断方程根的情况,复系数一元二次方程只能利用复数相等的条件化为方程组 求解. (4)由于复数知识与中学数学中许多内容有着密切联系,这就提供了复数与实数、复数与三角函数、复数与几何的双向 转化的基础,因此复习复数内容时是培养我们转化思想的极好机会. 6、立体几何 (1) “直线和平面”这一章的内容是立体几何的基础.在复习时要反复梳理知识系统,掌握每个概念的本质属性,理解每个 判断定理和性质定理的前提条件和结论. (2)在研究线线、线面、面面的位置关系时,主要是研究平行和垂直关系.其研究方法是采取转化的方法. (3)三垂线定理及其逆定理是立体几何中应用非常广泛的定理,只要题设条件中有直线和平面垂直时,就往往需要使用三 垂线定理及其逆定理.每年高考试题都要考查这个定理.三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如: 证明异面直线垂直,确定二面角的平面角,确定点到直线的垂线. (4)在解答立体几何的有关问题时,应注意使用转化的思想: ①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥、棱台的问题转化成平面图形去解决. ②利用轴截面将旋转体的有关问题转化成平面图形去解决.

③将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法. ④由于台体是用一个平行于锥体底面的平面截得的几何体,因此有些台体的问题,常常转化成截得这个台体的锥体中 去解决. ⑤ 利用割补法把不规则的图形转化成规则图形,把复杂图形转化成简单图形. ⑥ 利用三棱锥体积的自等性,将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高. (5)立体几何解答题一般包括“作、证、求”三个步骤,缺一不可,在证明中使用定理时,定理的条件必须写全,特别是 比较明显的“线在面内” , “两直线相交”等必须交代清楚. 6、 平面解析几何 有关直线方程的高考试题可分成两部分,一部分是独立成题,多出在客观题中,并且每年只有一个题,难度属于基本 题.考查内容除了对称问题,求直线的倾斜角及斜率外,还出现求直线方程,两条直线平行或垂直的充要条件等.另一部分 是在解析几何综合题出现,例如在圆锥曲线中往往涉及到和直线的位置关系,此种情况下一般都使用直线的斜截式或点斜 式.因此,我们在复习时须加强基本概念和基本方法的复习. (1)注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解 (2)要学会变形使用两点间距离公式 d ?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 , 当 已 知 直 线 l 的 斜 率 k 时 , 公 式 变 形 为

d ? 1 ? k 2 x 2 ? x1 或 d ? 1 ?

1 y 2 ? y1 ; 当 已 知 直 线 的 倾 斜 角 ? 时 , 还 可 以 得 到 d ? x2 ? x1 ? sec? 或 k2

d ? y2 ? y1 ? csc?
(3)灵活使用定比分点公式,可以简化运算. (4)会在任何条件下求出直线方程. (5)注重运用数形结合思想研究平面图形的性质 高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有 4 个题目外,就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档 题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的 是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题: (1)在解答有关圆锥曲线问题时,首先要考虑圆锥曲线焦点的位置,对于抛物线还应同时注意开口方向,这是减少或避免 错误的一个关键. (2)在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时,可以利用方程组消元后得到二次方程,用判别式进行 判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线的渐近线平行时,不能使用判别式,为避免繁琐运算并准确判断特 殊情况,可以使用数形结合思想,画出方程所表示的曲线,通过图形求解. (3)求圆锥曲线方程通常使用待定系数法,若能据条件发现符合圆锥曲线定义时,则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处 理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题,也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. (4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时,一般需使用正余 弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义. (5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用. (6)求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一,它是各种知识的综合运用,具有较大的灵活性,求动点轨迹方程的实质 是将“曲线”化成“方程” ,将“形”化成“数” ,使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法 有:直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等,解题时,注意求轨迹的步骤:建系、设点、列式、化简、 确定点的范围. (7)参数方程和极坐标的内容,请大家熟练掌握公式,后用化归的思想转化到普通方程即可求解.


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