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青海省民和县第二中学高三校二模数学试题


民和第二中学高三校二模数学试题
文科数学 命题人:马成林

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,满 分 150 分,考试时间 120 分钟.

?2 x ? y ? 4 ? 7.设 x,y 满足 ? x ? y ? ?1, 则z ? x ? y ?x ? 2 y ? 2 ?
(A)有最小值 2,最大值

3 (C)有最大值 3,无最小值





(B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

第一部分

选择题

8.如图,一只蚂蚁在边长分别为 3,4,5 的三角形 区域内随机爬 行, 则其恰在离三个顶点距离都大
C 3 A 4 5 B

一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑. 1.设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2},则 UA 等于( A.{0,3,4} B {3,4} C.{1,2} ) 2.在△ABC 中, sin A ? sin B 是△ABC 为等腰三角形的( A. 充分不必要条件 C.充要条件 ) D.{0,1}

于 1 的地方的概率为( ). A.

? 12

C. 1 ?

? 6

? 3 ? D. 1 ? 12
B. 1 ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油灶、动物性食品类及果蔬类分别有 30 种、10 种 20 种、40 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测。若采用分层抽 样的方法抽取样本,则抽取的粮食类与果蔬类食品种数之和是 A. 6 B. 10 C. 12 D. 14

3.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距 离为 2 ,则双曲线方程为( A.x -y =2
2 2 2 2

) C. x -y =1
2 2

B.x -y = 2

D.x -y = (

2

2

1 2


10 . 已 知 三 棱 锥 S-ABC 的 各 顶 点 都 在 一 个 半 径 为 1 的 球 面 上 , 球 心 O 在 AB 上,SO⊥ 底面ABC , AC ? 2 则球的体积与三棱锥体积之比是 A. 4? B. 2?
2

4..由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为 A.

C. ? )

D. 2

7

B. 2 2

C. 3

D. 1

5. 若 l 为一条直线, ? , ? , ? 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ① ? ? ?,? ? ? ?? ? ? ② ? ? ? , ? ∥? ? ? ? ? ) D. 3 个 ) ③ l ∥ ? , l ? ? ? ? ? ? . 其中正确的命题有( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个

4. f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 1 是( A.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数

B.最小正周期为 2 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

已知 ?ABC 中, AB ? (cos 23? , cos 67 ,则 ?ABC 的面积 ? ),BC ? (2cos 68 ? , 2cos 22 ?) 为 ( ) B. 2 C.

S 6.记等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 2, S 6 ? 18 ,则 10 等于( S5
A. ? 3 B.5 C. ? 31 D.33

A.2 2

2 2

D.

2 3
20 正视图

20

第Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.

20 侧视图 10 10

20 俯视图

12.已知 f (n) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,经过计算得: 2 3 n 3 5 7 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? , 推 测 当 n ? 2 时 , 有 2 2 2

n

f (2 n )

13.若函数 y ? lg(mx2 ? mx ? 1) 的定义域为 R 则 m 的取值范围__________

? 3 1 ? 若 ? 3x ? ? 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 x? ? x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则实数 a= . 椭圆 4 a a 2

19. (本小题满分 14 分)

.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 , A 是椭圆 C 上的一点, a2 2 1 AF2 ? F1F2 ? 0 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 . 3
设椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2) 设 Q 是椭圆 C 上的一点, 过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F (?1, 0) , 交 y 轴于点 M , 若 MQ ? 2 QF ,求直线 l 的斜率.

填空题答题卡

13.
15 .

14.
16 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
16. 已知向量 a = (cos x,sin x),b = (-cos x,cos x),c = (-1,0) 若 x = 6 ,求向量 a、c 的夹角; ? 9? (II) 当 x∈[2 , 8 ] 时,求函数 f (x) = 2a·b + 1 的最大值。 (I)

?

17.(本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 为矩形, BC ? 平面 ABE ,

F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE .
(1)求证: AE ? BE ; (2)设点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 CE 的中点.求证:

D N A E M F

C

MN // 平面 DAE .

B

第 17 题

所以 AM || DC ,且 AM ? 所以 PN || 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 A 5 D 6 D 7 B 8 D 9 B 10 A

1 DC , 2

AM

,且 PN ? AM ,故四边形 AMNP 是平行四边形,

所以 MN || AP ?????????12 分 而 AP ? 平面 DAE , MN ? 平面 DAE , 所以 MN ∥平面 DAE . 19. (本小题满分 14 分)
2 2 解: (1)由题设知 F1 (? a ? 2, 0), F2 ( a ? 2, 0), 其中a ?

????14 分

2
2

16.解: (1)由 cos A ? ?

4 3 可得 sin A ? 5 5

(?????????????2 分)

A 的坐标为 ( a ? 2, ? ) 由于 AF2 ? F 1F 2 ? 0 ,则有 AF 2 ?F 1F 2 ,所以点
故 AF1 所在直线方程为 y ? ?(

2 a

2 (?????????????5 分) 5 21 (2)由已知可知 A 为钝角,故得 cos B ? (?????????????7 分) 5
所以由正弦定理可得 sin B = 从而 sin 2 B ? 2 sin B cos B ? 分) 所以 sin(2 B ?

1 ? ) a a ?2 a
2

x

所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 又 OF1 ?

a2 ? 2 a2 ?1
解得: a ? 2

4 21 17 , ( ????? 10 , cos2B ? 1 ? 2 sin 2 B ? 25 25

a 2 ? 2 ,所以

a2 ? 2 1 2 ? a ?2 a2 ?1 3

?
6

)?

3 1 12 7 ? 17 (??????12 分) sin B ? cos B ? 2 2 50

所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

(2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线斜率为 k 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则有 M (0, k ) 设 Q( x1 , y1 ) ,由于 Q 、 F 、 M 三点共线,且 MQ ? 2 QF

17.(1)证明:因为 BC ? 平面ABE , AE ? 平面ABE , 所以 AE ? BC ,?????????????2 分 又 BF ? 平面ACE , AE ? 平面ACE , 所以 AE ? BF , ???????????4 分 又 BF

BC ? B ,所以 AE ? 平面BCE ?????6 分
?????????8 分

又 BE ? 平面BCE ,所以 AE ? BE .

(2)取 DE 的中点 P ,连接 PA, PN ,因为点 N 为线段 CE 的中点. 所以 PN || DC ,且 PN ?

2 ? x ? ? 1 ? x1 ? ?2 ? ? 3 根据题意得 ( x1 , y1 ? k ) ? ?2( x1 ? 1, y1 ) ,解得 ? 或? y ? ? k k ? 1 ?y ? 1 ? 3 ? 2 k (? ) 2 ( ) 2 (?2) 2 (?k ) 2 ? ? 1或 3 ? 3 ? 1 又 Q 在椭圆 C 上,故 4 2 4 2

1 DC , 2

????????????10 分

民和第二中学高三校二模数学试题
文科数学 命题人:马成林

又四边形 ABCD 是矩形,点 M 为线段 AB 的中点,

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,满 分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

?x ? y ? 2 8.设 x,y 满足约束条件 ? ? y ? x ,则z ? 3 x ? y 的最大值是 ?y ? 0 ?

第一部分

选择题

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {a,0}, 集合B ? {1,2}, 如果A ? B ? ? ,那么 a 等于( )

A.0 B.4 C.5 D.6 9.若直线 l: ax ? by ? 1与圆C : x 2 ? y 2 ? 1有两个不同的交点,则 P(a,

b)与圆 C 的位置关系是 A.点在圆上 B.点在圆外 C.点在圆内 D.不能确定 A.1 B.2 C.1 或 2 D.8 10.荷花池中,有一只青蛙成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳 1 跃时,均从一叶跳到另一叶) ,而且逆时针方向跳的概率是顺时 2.如果函数 f ( x) ? sin( x ? ? )( 0 ? ? ? ? ) 是最小正周期为 T 的偶函数, 2 针方向跳的概率的两倍,如图。假设现在青蛙 1 那么 . 在 A 叶上,则跳三次之后停在 A 叶上的概率是 ? ? ? ? 3 A. T ? 4? ,? ? B. T ? 4,? ? C. T ? 4,? ? D. T ? 4? ,? ? . 8 2 2 4 4 1 2 4 A. B. C. D.5 3.一个与球心距离为 1 的平面,截球所得圆的面积为 2π ,则球的 3 9 9 27 表面积为 ? 1 ? x 2 (| x |? 1) ,如果方程 f ( x) ? a 有且只有一个实根,那 11.函数 f ( x) ? ? ? ? A. 8 2? B.8π C. 4 3? D.12π ?| x | (| x |? 1) 4.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S5=10,则 a3 的值为 么 a 满足( ) A.
5 6

B.1

C.2

D.3

A.a<0

B.0≤a<1

C.a=1

D.a>1 F2

5.与直线 2x+y-1=0 关于点(1,0)对称的直线方程是 A.2x+y-3=0 B.2x+y+3=0 C.x+2y+3=0 D.x+2y-3=0 6.已知两条不同直线 a、b,两个平面α 、β ,且α //β ,a⊥α ; 设条件:b//β ;条件 q:a⊥b,则 p 是 q 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.五名同学进行百米赛跑比赛,先后到达终点,则甲比乙先到达的 情况有 A.240 种 B.120 种 C.60 种 D.30 种

12.点 P 是椭圆 C1 :
? 3

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与双曲线 C : ? ? 1 的交点,F1 与 2 1? a2 a2 1? a2 a2

是椭圆 C1 的焦点,则∠F1PF2 等于 A. B.
? 2

C.

2? 3

D.与 a 的取值有关

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 的相应题目的答题区域内作答. 13.( x 3 ?
1 10 ) 的展开式中,常数项为 x2

1 . 分,共 3 16 . 5

分,在答题卡上 。 (用数字作答)

14.不等式 log2 (2 x ? 1) ? 1的解集为 15.一个社会调查机构就居民的月 收入调查了 10000 人,并根据所得数据 画出样本的频率分布直方图(如下图) 。则月收入在[2000,3000](元)的有 人。 16.在△ABC 中, AB ? (1,2), AC ? (4x,3x)(x ? 0) , △ABC 的面积为 ,则 x 的值为___________
5 4


1 . 3 . 5

甲先投,若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为
1 乙每次投中的概率为 . 求: 3 (1)乙投篮次数不超过 1 次的概率; 1. (2)乙投篮次数不超过 1 次的概率
. 3 . 5

1 , 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答题应写出文字说明、证明过程 或演算步骤,在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 17. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形且与底面 ABCD 垂直, 底面 ABCD 是矩形,CD= 2 AD ,E 是 AB 中点. (1)证明:CD⊥平面 PAD; (2)求二面角 P—CE—D 的大小.

20. (本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an+Sn=1(n∈N*) (1)证明数列{an}是等比数列; (2)若数列{bn}满足:b1=1,且 bn+1=bn+an(n∈N*) ,求数列{bn}的通项公 式.

21. (本小题满分 12 分) 如图,等腰梯形 ABCD 中,AB//CD,线段 AB 的中点 O 是抛物线的 顶点,AD,AB,BC 分别与抛物线切于点 M,O,N。已知等腰梯形的高 是 3,直线 CD 与抛物线相关于 E,F 两点,线段 EF 的长是 4。 (1)建立适当的直角坐标系,求抛物线方程; 1 . (2)求梯形 ABCD 的面积的最小值,并确定此时 M,N 的位置。 22. (本小题满分 14 分) 定 义 在
3 . 5

18. (本小题满分 12 分)
A c?b ? . 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 sin 2 2c (1)判断△ABC 的形状,并加以证明; (2)当 c = 1 时,求△ABC 面积的最大值.
2

19. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投 2 次,

函 数 2 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a, b, c, d ? R),当x ? ?1时,f ( x) 取 得 极 值 . 且 函 数 3 y ? f ( x) 的图象关于原点成中心对称, g ( x) ? ?mx ? 4. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若不等式 f ?( x) ? g ( x)在x[?2,??) 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)当 m 为正实数时,是否存在这样的实数 x1,x2∈[0,2],使得不等式 10 成立?说明你的理由。 | f ( x1 ) ? g ( x 2 ) |?
3

R





数学试题(文科)参考答案
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解答与本解答不同,可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细 则。 二、对计算题,当考生的解答某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半;如果后继部分的解答有错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 1 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 . 3 一、选择题:本题主要考查基础知识和基本运算。 . 1.C 2.A 3.D 4.C 5.A 6.A 7.C 8.D 9.B 10.A 11.C 12.B 5 二、本大题共 4 个小题;每小题 4 分,共 16 分。本题主要考查基础知识和基本运算。 13.210 14. ( ?

又易知平面 DEC 的一个法向量为 ∴ cos ? OP, n ?? ?

OP ? (0,0, 3a)

1 . ∴二面角 P—CE—D 的平面角为 45° ??????12 分 3 解法二: (1)证明: . ∵面 ABCD 为矩形 ∴CD⊥AD ??????2 分 5 又面 PAD⊥面 ABCD ∴CD⊥面 PAD ??????5 分 (2)解:取 AD 的中点 O,连结 OP,∵△PAD 为等边三角形, ∴OP⊥AD 又面 PAD⊥面 ABCD, ∴PO⊥面 ABCD, 设 AD=2a,则等边△PAD 中 OP= 3a △ODC 中,OC=3a,连 OC,OE, 在 Rt△AOE 中,OE= 3a ,CE= 6a ??7 分 由 OC2=CE2+OE2, 得∠OEC=90° ∴OE⊥CE ??????8 分 又 OP⊥面 ABCD, ∴PE⊥CE ∴∠PEO 为二面角 P—CE—D 的平面角 ??10 分 1 . ∴∠PEO=45° ????????12 分 3 18.本题主要考查两角和与差,二倍角的三角函数正弦定理,余弦定理,三角函数的最值 . 等,考查学生灵活应用所学三角函数知识解决问题的能力,满分 12 分。 5 解: (1)法一:原式可得: 即 cosA= ∴ tan?PEO ?

2 2

??????11 分

1 1 , ) 2 2

15.5000

16.

1 2

三、解答题 1 17.本题主要考查了学生对三垂线定理、线面角、二面角等有关知识的掌握情况,考查了 . 学生空间想象能力,运用向量知识解题的能力以及分析问题和解决综合问题的能力。 3 满分 12 分) . 5 为等边三角形 解法一: (1)证明:取 AD 的中点 O,连结 OP,∵△PAD ∴OP⊥AD, 又面 PAD⊥面 ABCD, ∴PO⊥面 ABCD,以 O 为原点,OD 所在直线为 x 轴,过 O 作 AB 平行线为 y 轴, OP 所在直线为 Z 轴建立空间直角坐标系,设 AD=2a ∵CD= 2 AD, ∴CD=2 2 a ∴O(0,0,0) ,D(a,0,0)P(0,0, 3a ) C(a,2 2 a,0) ,E(-a, 2 a,0)??3 分 ∴ CD ? OD ? (0,?2 2a,0) ? (a,0,0) ? 0

OP 3a ? ?1 OE 3a

??????11 分

1 ? cos A 1 b ? ? 2 2 2c
????4 分

????2 分

b c

即 b=cosA

由余弦定理得:

b?c

CD ? OP ? (0,?2 2a,0) ? (0,0, 3a) ? 0
∴ CD ? OD, CD ? OP ??????4 分 又 OD∩OP=O CD⊥面 ADP ??????5 分 1 . 3 (2)解:由(1)得 PE ? (?a, 2a,? 3a), PC ? (a,2 2a,? 3 a) . ? ? 5?? 2 ?n ? PE ? 0 ?y 设平面 PCE 的一个法向量为 n ? (1, y, z ),则? , ??

∴c2=a2+b2 即△ABC 为直角三角形 ??????6 分 法二:b=cosA 由正弦定得得:sinB=sinCcosA 在△ABC 中,B=π -(A+C) ∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA+sinC 得 sinAcosC=0 又在△ABC 中 sinA≠0 ∴cosC=0 得 C ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

?

? ?n ? PC ? 0

? ?z ? ? 3

2

∴ n ? (1,? 2,? 3)

????????9 分

∴△ABC 为直角三角形 ??????????6 分 (2)法一:由(1)知△ABC 为直角三角形,c 为斜边 当 c=1 时另两直角边长分别为 sinA, cosA ??????8 分 1 . 3 . 5

∴△ABC 周长 l=1+sinA+cosA =1 ?

2 sin( A ?

?

= 1 ? P( A) ? P( B) ? P( A)

??????10 分

当 sin( A ?

?
4

4

)

??????10 分

? 1?
△ABC 周长的最大值为 1+ 2 ??2

) ? 1(0 ? A ?

?
2

)即A ?

?
4

3 2 3 5 ? ? ? 4 3 4 8 5 8



答:乙投篮次数不超过 1 次的概率为

1 . 3 . ?????? 12 分 5

分 法二:由(1)知△ABC 为直角三角形,c 为斜边 当 c=1 时设另两直角边长分别为 a,b a2+b2=1 ?????????8 分

3 当且仅当 a=b 即 △ABC 为等腰直角三角形时取等号。 . ∴△ABC 周长的最大值为 1 ? 2 ???????? 12 分 5 19.本题主要考查排列组合、概率等基本知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。 满分 12 分 解: (1)记“甲投篮一次,投中”为事件 A, “乙投篮一次,投中”为事件 B。所求 的概率是

a ? b 2 a2 ? b2 1 ) ? ? ?a ? b ? 2 2 2 2 1 . 10 分 ∴△ABC 周长=1+a+b ? 1 ? 2 ??????
∵(

20.本题主要考查等比数列的概念,数列的前 n 项和与能项的关系,应用通项公式及求和 公式进行计算的能力;同时考查迭代或累加等数学方法。满分 12 分。 解: (1)∵an+Sn=1 (n∈N*) ∴an+1+Sn+1=1 两式相减:an+1-an+Sn+1-Sn=0 ∴2an+1=an ??????2 分

P1 ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ?
1 4

3 1 1 ? ? 4 3 4
??????5 分

答:在乙第一次投篮后结束游戏的概率为

(2)解法一: “乙投篮次数不超过 1 次”包括三种情况:一种是甲第 1 次投篮投中, 另一种是甲第 1 次投篮未投中乙第 1 次投篮投中,再一种是甲、乙第 1 次投篮均未投 中甲第 2 次投篮投中,所求的概率是 P2=P(A+ A ? B ? A ? B ? A) ????????7 分 = P( A) ? P( A ? B) ? P( A ? B ? A)

1 的等比数列 ??????4 分 2 1 (2)解法一:当 n=1 时,a1+S1=1, ∴a1= 1 2 . 1 1 1 n ?1 3分 ? ? ( ) n ?1 ? ( ) n ∴ a n ? a1 q ????6 2 2 2 . 5 1 n ∵ bn?1 ? bn ? an ∴bn+1-bn= ( ) ??????8 分 2 1 ∴ b2 ? b1 ? 2 1 b3 ? b2 ? ( ) 2 2 1 b4 ? b3 ? ( ) 3 2
∴{an}是公比为 ??????

? P( A) ? P( A) ? P(B) ? P( A) ? P( B) ? P( A) ??????10 分 1 3 1 3 2 1 ? ? ? ? ? ? 4 4 3 4 3 4 5 ? 8 5 答:乙投篮次数不超过 1 次的概率为 ??????12 分 8
解法二: “乙投篮次数不超过 1 次”的对立事件是“乙投篮 2 次” ,所以,所求的概率 是

1 bn ? bn ?1 ? ( ) n ?1 2 1 1 2 1 3 1 n ?1 相加:bn-b1= ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) 2 2 2 2
即: bn ? 1 ?

??????10 分

1 1 2 1 ? ( ) ? ? ? ( ) n?1 ? 2 2 2

1 ? (1 ?

1 ) 2 n ? 2(1 ? 1 ) 1 2n 1? 2

∴bn= 2(1 ?

1 ) 2n

??????12 分

P2 ? 1 ? P( A ? B ? A)

????????8 分

解法二:同解法一,得 ∵bn+1=bn+an ∴ bn ? bn ?1 ? ( )

1 an ? ( ) n 2

??????6

1 2

n ?1

??????8 分

1 . 3 . 5

所以 N ( 2 , ), 由对长性 M(- 2 , )

3 2

3 2

????12 分

22.本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基础知识, 考查应用导数研究函数的性质, 考查函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力 角: (Ⅰ)函数 y ? f ( x) 的图象关于原点对称, ∴ f (? x) ? ? f ( x) ∴ ? ax ? bx ? cx ? d ? ?ax ? bx ? cx ? d 恒成立
3 2 3 2

1 1 ? bn ? 2 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? ? 2 2 1 1 2 1 ? b1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) n ?1 2 2 2 1 1 2 1 n ?1 ? 1? ? ( ) ??? ( ) ??????10 分 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ) 2 ? 2(1 ? 1 ) ? 1 2n 1? 2 1 ∴bn= 2(1 ? n ) ??????12 分 2
21.本题考查解析几何的基本思想和方法,要求考生能正确分析问题,并综合应用解析几 何、导数、不等式等知识解决问题的能力。满分 12 分。 (1)解:如图,以 O 为原点,AB 所在直线 为 X 轴,建立平面直角坐标系, 则 F(2,3) ,设抛物线的方程是

∴b=d=0

∴ f ( x) ? ax3 ? cx

f ?( x) ? 3ax2 ? c
2 3

∵当 x=-1 时 f ( x) 取极大值为

2 1 ? ? ?? a ? c ? ?a ? ∴? ?? 3 3 1 ? ? ?3a ? c ? 0 ?c ? ?1 . 3 1 3 ∴ f ( x) ? x ? x ?????? . 4分 1 3 5 . 2 (Ⅱ)方法一: f ?( x) ? x ? 1 g ( x) ?3?mx ? 4 ∵ f ?( x) ? g ( x)在x ? [?2,??) 恒成立, .
令 h( x) ? x ? mx ? 3
2

5 2 ∴ x ? mx ? 3 ? 在x ? [?2,??) 恒成立 ??????5 分 则△=m2-12 (i)当△=m2-12≤0 时 ∴ ? 2 3 ? m ? 2 3

x 2 ? 2 py( p ? 0)
因为点 F 在抛物线上,所以 22=2p×3,p=

2 3

所以抛物线的方程是 x ?
2

4 y 3

??????4 分

?? ? m 2 ? 12 ? 0 ? ? m 2 ? ?2 (ii)当△=m -12>0 时,则 ?? ? 2 ? ?h(?2) ? 4 ? 2m ? 3 ? 0
不等式组无解 ??????8 分 ∴综合(i) (ii)得 ? 2 3 ? m ? 2 3 ??????9 分 方法二:由 f ?( x) ? g ( x)在x ? [?2,??) 恒成立, 得: mx ? ? x ? 3在x ? [?2,??) 恒成立 ??????6 分 当 x=0 时,不等式恒成立
2

(2)解: y ? ?

3 x,设 N ( x0 , y 0 ), ( x0 ? 0) ,则抛物线在 N 处的切线方程是 2 2 4 ? x0 3 1 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ),所以B( x0 ,0),C ( ,3) ????8 分 2 2 2 x0

梯形 ABCD 的面积是
2 4 ? x0 1 3 4 2 S ? ( x0 ? ) ? 3 ? (2 x0 ? ) ? 3( x0 ? ) ????10 分 2 x0 2 x0 x0

当 ? 2 ? x ? 0时,不等式转化为 m ? (? x ?

3 ) 恒成立 ① x

当且仅当 x0 ?

2时,S min ? 6 2
1 . 3 . 5

而 (? x ) ? ( ? ) ? 2 3 , ∴要①式恒成立,则 m ? 2 3

3 x

1 . 3 . 5

当 x>0 时,不等式转化为 m ? ?( x ? ∴要①恒成立,则 m ? 2 3

3 ) x

②,而 ? ( x ?

3 3 ) ? ?( x ? ) ? ?2 3 x x

????8 分

综合上述得到 ? 2 3 ? m ? 2 3 ?????9 分 (Ⅲ)令 f ?( x) ? x 2 ? 1 ? 0且x ?[0,2] 得 x=1 又∵ f (0) ? 0, f (1) ? ? 2 , f (2) ? 2 3 3 2 2 ∴当 x1 ? [0,2]时 f ( x1 ) ? [? , ] ??????11 分 3 3 又∵m>0 则 g ( x) ? ?m x ? 4 是减函数 ∴ g ( x2 ) ? [?2m ? 4,?4] ??????12 分 2 10 ∴ | f ( x1 ) ? g ( x 2 ) |?| ? ? (?4) |? 3 3 ∴不存在这样的实数 x1,x2 对于任意 x1 , x2 ? [0,2] 使得不等式 | f ( x1 ) ? g ( x 2 ) |?

10 成立 ????????14 分 3


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