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高中物理竞赛知识系统整理


物理知识整理
知识点睛 一.惯性力 先思考一个问题:设有一质量为 m 的小球,放在一小车光滑的水平面上,平面上除小球(小球的线度远远小于小 车的横向线度)之外别无他物,即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向右对地作加速运动,这时小球将如何 运动呢?

地面上的观察者认为:小球将静止在原地,符合牛顿第一定律; 车上的观察者觉得:小球以-as 相对于

小车作加速运动; 我们假设车上的人熟知牛顿定律,尤其对加速度一定是由力引起的印象至深,以致在任何场合下,他都强烈地要 求保留这一认知,于是车上的人说:小球之所以对小车有 -as 的加速度,是因为受到了一个指向左方的作用力,且力 的大小为 - mas;但他同时又熟知,力是物体与物体之间的相互作用,而小球在水平方向不受其它物体的作用, 物理上把这个力命名为惯性力。
惯性力的理解 : (1) 惯性力不是物体间的相互作用。因此,没有反作用。

(2)惯性力的大小等于研究对象的质量 m 与非惯性系的加速度 as 的乘积,而方向与 as 相反,即

? ? f ? ? ?mas

(3)我们把牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系,不成立的叫非惯性系,设一个参考系相对绝对空间加速度为 as,物体受相对此参考系

? ?? ? F ? f ? ma? 其中 F 为物理受的“真实的力” 加速度为 a',牛顿定律可以写成: ,f*为惯性力,是个“假力” 。
(4)如果研究对象是刚体,则惯性力等效作用点在质心处, 说明:关于真假力,绝对空间之类的概念很诡异,这样说牛顿力学在逻辑上都是显得很不严密。所以质疑和争论的人比较多。不过 笔者建议初学的时候不必较真,要能比较深刻的认识这个问题,既需要很广的物理知识面,也需要很强的物理思维能力。在这个问题的 思考中培养出爱因斯坦 2.0 版本的概率很低(因为现有的迷惑都被 1.0 版本解决了) ,在以后的学习中我们的同学会逐渐对力的概念,空 间的概念清晰起来,脑子里就不会有那么多低营养的疑问了。 极其不建议想不明白这问题的同学 Baidu 这个问题,网上的讨论文章倒是极其多,不过基本都是民哲们的梦呓,很容易对不懂的人 产生误导。

二.惯性力的具体表现(选讲) 1.作直线加速运动的非惯性系中的惯性力

?? ? f ? ?mas 的特性,即与惯性质量正比。记为:
2.做圆周运动的非惯性系中的惯性力

这时惯性力仅与牵连运动有关,即仅与非惯性系相对于惯性系的加速度有关。惯性力将具有与恒定重力相类似

这时候的惯性力可分为离心力以及科里奥利力: 1)离心力为背向圆心的一个力: f ? m? r
? 2

2)科里奥利力概念比较麻烦(竞赛复赛阶段还考不到) ,这里就不做介绍了。大家只要了解当物体相对转动参考 系有相对运动时必须考虑科里奥利力就行了。计算公式如下:

? ? f k? ? 2mv相 ?? 这是个叉积式。

总的来说惯性力可以用万有引力去等效,其本质都是引力场作用, “施力物体”都可以当成整个宇宙(还好不是 上帝) 。所以我们在地球上上随着地球自转的时候,来自宇宙中遥远的群星正把我们往外拉(离心力) ,结果导致我们 对地面压力比地球对我们的引力小了不少。不过南北极极点的人受这种群星的引力就可以忽略不计。 这个观点比较雷人,很多人听到后感觉很痛苦,感觉完全不符合逻辑。其实只要摒弃物体间的相互与运动状态无 关的惯性思维就会舒服多了。当我们相对于某个天体静止时,天体对我们的引力与我们现对运动时不一样。这个理解 可以类比电磁学里洛伦兹力与静电力,它们都产生于电荷间但不同的原因在于前者有相对运动。当两个物体间有相互 作用的时候,它们是通过一种物质实现这种作用的,这种物质就是我们看不见但可以检测到的“场” ,场力的特点是 与物体相对运动有关。实际生活中的一切现象都是场作用。 第一次世界大战期间,英、德在阿根廷附近马尔维纳斯岛的洋面上进行了一次大战。当德国军舰位于英国军舰北 方大约 7km 时,英舰炮手瞄准德舰开炮,炮弹全都落在德舰的左侧大约 100 多米以外的地方,也是由于神奇的惯性力 的作用造成的。 (当然也可以理解为炮弹飞到目标位置时,德国人的舰船已经随着地球的自转跑到新的地方去了) 学习物理学我们应该可以意识到,这世上任何的事情没有绝对正确的解释,只有相对来说适用范围大,精确度高 的解释。学而思的物理课程在教学上一直强调两条: 1.讲到任何一个点,尽量在同学能接受的情况下,从这个点出发,给出将来大家要会继续学习的物理体系的框架, 避免那种”学习物理就是下一个老师否定上一个老师”的痛苦。 2.加强物理思想对我们同学思维习惯,认识方式的塑造,可能的话,甚至对人生观世界观加以引导。做到学懂物理 的人不会被各种迷信,各种哲学,各种“思想” ,各种“主义”所蛊惑,学懂物理的同学进了清华北大也不自杀,不 出家。学懂物理的人对待任何事情抱着研究归纳的心态,眼光去面对,以惯有的,高超的类比能力,思维迁移能力, 总结能力去做人生道路上的任何事情。 问题分类详解 3.“分离”问题 观察思考: 弹跳器是很多运动爱好者喜欢的运动,如图所示,人通过向下踩踏板,在弹簧缩短的过程中,人受到向上的力, 就把弹跳器从地面上拉起来了。粗略一想“道理”确实不难,不过对现象能做出定量的描述才是关键,比如中国人发 明了火药大炮,但是弹道学却让欧洲人的炮兵技术远远领先于中国(火炮确实是中国人发明的) 。我们的问题是,人 是什么时候脱离踏板往上“飞出” ,以至于把弹跳器拉离地面的?为了便于分析,我们忽略与力学无关的细节,把问 题描述成以下原理图,这个过程叫物理建模。 不妨把人用物块代表,质量设为 M,弹簧质量忽略,踏板质量设为 m,在人脱离踏板前,不考虑人的手对弹跳器 的力,当人离开踏板后,人再对通过手向上拉弹跳器,使之离开地面。问题是:在弹簧回复的过程中,踏板带着人向 上运动,当弹簧恢复到什么程度人会离开踏板? 人离开踏板前人与踏板运动细节如何?

解析:显然分离时人的加速度几乎与踏板仍然一样,隔离人,此时人加速度为 g,说明踏板也是这个值,人和踏 板相互作用力 N=0,隔离踏板知其受合力等于其重力,所以是在弹簧原长处分离。这个问题也可以用惯性力去解决。 讲解的时候不妨多对熟知的结论(用向上的力拉地面上箱子,拉力等于重力时箱子离开地面)适用范围作出描述,并

把这个问题向着原有情景类比,训练学生类比能力。 二.“轻物”动力学分析 反思: “轻”是物理习题中经常描述的词,指的的质量忽略不计的物体,这类物体动力特点很容易通过思考发现。大家 先不放思考一下:当我们用一根轻绳拉一个物体加速前进时,为什么我们对绳子的拉力等于绳子对物体的拉力?只 能用牛顿定律去解释,而不能用力具有传递性之类的理论. 总结是: “轻”物体在动力学中的行为特征是 1.受的力以及力矩的特点: 2.运动特点: 牛顿运动定律定理对流体静力学规律的拓展 流体力学是最古老的物理学之一, 也是物理上在工业上应用最广泛的 物理学之 一。在流体中使用牛顿运动定律比较复杂,比较容易想到的 是取一小片质点为对象,受力分析,这个方法能处理一些不 考虑压缩,静态的流体问题。复杂的情况,我们以后会逐步 在各章介绍一些。由于在工业上的应用广泛,流体力学发展 成了一门体系庞大的,模型与方程众多的独立学科。大学的 物理系的同学也不会太深入学习。一般来说,具有物理能力 的人不太了解流体力学的应用体系,熟悉方程的人又普遍缺 乏物理的思维能力。可以说,这方面我国的理论水平还远远 落后于发达国家,这些年我国在某些技术上有了些进步,但 是理论上的差距才是真正是级别性的差距,因为不是所有的 公式都会公开发表的,还有很多问题等待我们同学将来去突 破。 海啸

风动实验

J20 战斗机

著名空气动力学家:钱学森(他讲的是什么)

有个两个简单的原理要先交代一下: 1:对每一个流体质元,其现对周围流体静止时受到的力都垂直与接触面,这是由于流体之间无静摩擦的原因, 可以看当成流体的定义。 2:对无穷小质元,忽略质量力(重力与惯性力)后各个面的压强处处一样,这个证明很容易用微元法实现,这 里就不证明了。这个原理其实就是帕斯卡原理,但是初中课本上表述的帕斯卡原理完全无法在负责情况下应用,这里 提醒大家不要用“液体能传递压强之类”的朴素理论分析问题。 知识点睛 恒力作用下匀变速运动动力学分析思路 动力学的两类基本问题 应用牛顿运动定律解决的问题主要可分为两类: (1)已知受力情况求运动情况, (2)已知运动情况求受力情况. 分析解决这两类问题的关键是抓住受力情况和运动情况之间联系的桥梁——加速度. 基本思路流程图:

动力学第一类基本问题

物体的受 力情况

牛顿第二 定律

物体的加 速度 a

运动学公 式

物体的运 动情况

动力学第二类基本问题 基本公式流程图为: F a
v0 , t , vt , x

vt ? v0 ? at 1 2 at 2 vt 2 ? v0 2 ? 2ax x ? v0 t ? v? x v0 ? v t ? ? vt t 2 2

F合 ? ma

动力学问题的处理方法: (1)正确的受力分析 物体进行受力分析,是求解力学问题的关键,也是学好力学的基础. (2)受力分析的依据 ① 力的产生条件是否存在,是受力分析的重要依据之一. ② 力的作用效果与物体的运动状态之间有相互制约的关系,结合物体的运动状态分析受力情况是不可忽视 的. ③ 由牛顿第三定律(力的相互性)出发,分析物体的受力情况,可以化难为易. 解题思路 (1)由物体的受力情况求解物体的运动情况的一般方法和步骤. ① 确定研究对象,对研究对象进行受力分析,并画出物体的受力图. ② 根据力的合成与分解的方法,求出物体所受合外力(包括大小和方向) . ③ 根据牛顿第二定律列方程,求出物体的加速度. ④ 结合给定的物体运动的初始条件,选择运动学公式,求出所需的运动参量. (2)由物体的运动情况求解物体的受力情况. 解决这类问题的基本思路是解决第一类问题的逆过程,具体步骤跟上面所讲的相似,但需特别注意:① 由运动学规律求加速度,要特别注意加速度的方向,从而确定合力的方向,不能将速度的方向与加速度的方 向混淆.②题目中求的力可能是合力,也可能是某一特定的作用力.即使是后一种情况,也必须先求出合力 的大小和方向,再根据力的合成与分解知识求分力. 知识点睛 一.概念引入 1.动量 ⑴ 定义:运动物体的质量和速度的乘积叫做动量, p ? mv . ⑵ 动量表征物体的运动状态,是矢量,其方向与速度的方向相同,两个物体的动量相同必须是大小相等、方向相 同. 2.动量的变化量 ① ?p ? pt ? p0 . ②动量的变化量是矢量,其方向与速度变化的方向相同,与合外力冲量的方向相同,跟动量的方向无关. ③求动量变化量的方法: ?p ? pt ? p0 ? mv2 ? mv1 , ?p ? Ft 3.冲量 ⑴ 定义:力和力的作用时间的乘积,叫做该力的冲量, I ? Ft . ⑵ 冲量表示力在一段时间内的累积作用效果,是矢量,其方向由力的方向决定,如果在作用时间内力的方向不变, 冲量的方向就和力的方向相同. ⑶ 求冲量的方法: I ? Ft (适用于求恒力的冲量) ; I ? ?p (适用于恒力和变力).

二.动量定理 内容:物体所受合外力的冲量,等于这个物体动量的变化量.

? ?? ?? ? ? ? ?? ? I 合 ? Ft ? p? ? p ? m(v ' ? v)

三.知识理解 ? ? 1.动量变化 ? p :不指动量大小的变化,仍然必须用矢量计算,这个量是衡量动量大小方向总变化的一个物理量, 大部分时候我们会把复杂的动量变化分解到几个独立的方向上进行计算。 2.动量定理可以认为是牛顿第二定律的过程式。 3.相互作用力的冲量等大反向。 4.对一个整体,内力总冲量为零。 知识点睛
阅读:动量守恒的发现史 动量守恒是人类最早认识到的守恒定律, 也是最普遍成立的物理规律。人类很早就发现碰撞、冲击等力学过程中有明显的规律性, 但定量的描述这种规律却很难。最早对碰撞现象做过研究的人是伽利略,他曾常识通过测量冲击过程中的力去发现数学规律,不过他未 能如愿。伽利略的这个研究思路来源于他对力学现象的一贯理解:力是造成运动状态变化的根本原因。但在当时的实验条件下,去弄清 楚一瞬间的力显然是不现实的。实际即使到现代物理学中,在实验上严格定义和测量“力”也是不可能的。 1639 年马尔西通过实验,发现了等质量弹性球碰撞时一个有趣的现象:把一串等质量的弹性球排成一条线,给其中一端的一个球初 速度,让这个球去撞击前方的球,结果这个球的速度最终传给了另一端的球,而其它球都停了下来。虽然马尔西的发现还非常“初级” , 但也极大的鼓励其他科学家的研究热情。后来的研究也集中到了对碰撞前后可测量物理量的分析上,而不再执着于研究碰撞的过程中的 力。

马尔西的碰撞实验:炮弹在出膛后碰到静止等质量的铁球后会停下来,把速度传递给最前方的铁球,而且被撞击的铁球落地时射程 与不遇到任何障碍的炮弹射程一样。 后来在笛卡尔,惠更斯以及马略特等人的不懈努力下,总算找出了孤立体系(不考虑外界作用的的物体或物质构成的体系)动量守 恒的方程。并最终由牛顿对整个研究做了总结,这就是我们后来知道的牛顿第三定律:即在运动过程中物体间的相互作用也是等大反向 并同时进行的。在牛顿力学中,动量守恒可以看成牛顿定律的一个推论。

马略特通过小球摆起的高度来标识的球速 高中实验室通过小球的水平射程来标识球速 现代物理的发展揭示了牛顿力学的局限性,在微观以及接近光速的情况下,牛顿力学中概念体系完全崩盘,用牛顿力学完全无法理 解和预言微观以及高速下的物理现象。按说一度被视为牛顿定律推导式的动量守恒应该也不成立了,不过实验却发现,在微观以及高速 情况下,孤立体系的动量守恒依然是精确成立的。动量守恒定律在物理学中的地位一下子行情暴涨,和牛顿定律来了次上下级对调,成 了宇宙最基本的运行定律之一。 从讲义后文中的牛顿推导过程我们可以看出:牛顿用力的概念去理解动量守恒的实验结果,其实是又引入了“不同参考系时空间一 致”以及“能从实际世界中隔离出一个有精确质量的物体”等假设,结果导致很普适的物理定律被牛顿局限化了。应该说力的概念对于 理解宏观低速时的动力学情景确实是实用的,否则我们就得从能量动量的角度用微扰法去理解,需要使用的数学方法就会复杂的多。从 科普的角度, “力”的概念至关重要,它符合人的直觉的模糊思维,显得“形象简明” ,而且有“切身感受” 。但是从严格的物理逻辑出发, 我们说,正是由于引入了“力”的概念,才导致近代物理学一开始就走入了一条越走越窄的死胡同。执着于用“力”解释一切的人,一 般会觉得现代物理不是真正的物理,而是一堆神经病的数学家入侵物理研究时玩的符号游戏。 我们不妨回头去看看当初我们从马尔西实验中获得的教训,实验上能测量的就是物体作用前后的动量,所以逻辑上根本没必要也不 应该去额外定义一个“力”的概念。如果说要考虑实验对象受的作用,直接用其动量的变化就可以衡量了,这正是现代物理学对力的定 义(力是动量随时间的变化率) 。 1927 年,玻特和贝克用α粒子(高速的氦原子核)轰击金属铍时,发现了 强的中性射线。 1932 年查德威克用这种射线去轰击氮原子核,并通过类比 的理论计算出这种射线其实是质量约等于质子质量的中性粒子,这 就是多 大神预言的中子。由于查德威克的发现中子的贡献,他获得了 1935 年的诺 馨提示:要想拿诺奖,打入顶级物理学家的团伙是省力省距离的好办法) 。 一 种 穿 透力 很 弹性球碰撞 年前卢瑟福 贝尔奖。 (温

沃尔夫冈·泡利(1900~1958) ,性格犀利,言辞更犀利的天才级物理学家。1930 年,泡利在研 究β衰变(原子核内中子变成质子并辐射出电子的现象)辐射能量连续的问题时,发现一个令他纠 结的事,要么β衰变中能量与动量不再守恒,要么是还存在着一种用当时一切探测仪器也无法探测 到的“鬼粒子” ,他果断选择了后面一种判定,这种粒子就是一直到今天依然困扰着理论物理学家的 “中微子” 。 (中微子早在 1956 年被实验证实存在,但关于中微子的很多实验结论却总是出人意料, 比如最近又爆出测出中微子速度超光速的现象,这让相对论受到前所未有的挑战) 。

相对论中的雷人结论: 为 m 的物体,一旦速度变为 v,质量变为:
v 1 ? ( )2 c 即运动的物体质量比静止时大,原因是相互作用过程中动 m (v ) ? m

一个静止时为质量

量和质量守恒。

一.动量守恒定律的推导: 【概念梳理】 系统:我们通常把研究对象有多个物体统称为一个系统。 内力:系统中各物体之间的相互作用力叫做内力。 外力:外部其它物体对系统的作用力叫做外力。注意在高中的力学问题中重力永远是外力,因为高中范围内的问题 中我们不会把物体和地球取做一个系统。 推导 如图所示,两个物体在碰撞的过程中,它们发生的形变不断变化,因此它们之间的相互作用力是变力,取其平 均值,作受力分析图,对小球 1 和小球 2 分别使用动量定理,如式(1)和式(2) ,再根据牛顿第三定律列式(3)
F
F?

则有:

? ? m1v1 Ft ? m1v1 ? ? m2 v2 F ?t ? m2 v2 F ? ?F ?

? ? m2v2 ? 变形得: m1v1 ? m2v2 ? m1v1
这就是动量守恒定律:要注意从动量守恒定律在牛顿力学范围内看起来是牛顿定律的推论,实际它适用的范围 是广于牛顿定律的,在高速作用和微观状态中,牛顿定律早已经不在成立,但是动量守恒认严格成立。这里的“推 导”其实是牛顿式的推导。 二.动量守恒运用总结 (1) 内容: 相互作用的物体, 如果不受外力作用, 或它们所受的外力之和为零, 它们的总动量保持不变.Δp=0 p=p′ 或 m1v1 ? m2 v2 ? m1v1 '?m2 v2 ' (2)动量守恒定律的研究对象是两个或两个以上物体所组成的系统. (3)动量守恒定律的三种使用条件是: a:系统不受外力或所受的合外力为零.这种情况可以叫“严格守恒” 。 b: 系统所受的合外力不为零, 但在某一方向上合外力为零, 则在此方向上系统的动量守恒.这种情况可以叫 “分 量守恒” 。 c:系统所受的合外力不为零,但系统内各物体作用的内力远远大于系统所受的合外力,例如碰撞、爆炸、打 击、反冲运动等现象,如果在作用时间很短时均可认为内力很大,此时系统内各物体的动量变化主要是由内力引起 的,外力的冲量可以忽略,这种情况可以叫“近似守恒” 。 知识点睛 三.动量守恒的动力学理解: 从牛顿第二的整体式出发我们可以推导出动量守恒定律的质心式,我们知道,质心的坐标式为:

m1 x1 ? m2 x2 ? ? mn xn m ?x ? m2 ?x2 ? ? mn ?xn (变化式为: ?xc ? 1 1 ) m1 ? m2 ? ? mn m1 ? m2 ? ? mn ?x 又位置对时间的变化率为速度 v ? ?t m1v1 ? m2 v2 ? ? mn vn 那么由上式可得 vc ? 即:质心的速度等于总动量与总质量的比. m1 ? m2 ? ? mn ?v 又速度对时间的变化率为加速度 a ? ?t ? Fi 那么由上式可得 ac ? m1 ? m2 ? ? mn 由牛顿第二定律得 ? Fi ? m1a1 ? m2 a2 ? ? mn an 即:系统的合力与总质量决定质心处加速度。动量守恒的条件 xc ?
是合外力为零,那么动量守恒的体系质心加速度为零,即质心处于匀速或者静止态。 知识点睛 曲线运动中的加速度 我们研究曲线运动,运用的坐标系不同,加速度分量式是不同。物理学研究的时候根据研究问题的特点不同,采 用的坐标系经常不一样,比如直角坐标系,自然坐标系,极坐标系,球坐标系,注坐标系等,在高一暑假的讲义上, 我们曾经铺垫过一些,本讲继续讨论。 在普通的直角坐标系中,分加速度容易理解,每个坐标方向相互独立。 记为:

?v x ? ? a x ? ?t ? ?v y ? ?a y ? ?t ? ?v z ? ?a z ? ?t ?
对应的动力学方程就是牛顿定律分量式,具体的应用参考我们对于抛体以及恒力曲线运动的处理,这个方法比 较适合恒力作用下的曲线运动。由于浅显易懂,本讲不再重复。 1.自然坐标系以及加速度分量 除了直角坐标系以外, 我们还经常会用自然坐标系研究加速度。 有一类曲线运动是在已知轨道上进行的, 这时, 可以在轨道上任取一参照点 o ,这样就可以在轨道上用到 o 的距离来表示运动方程。这就是自然坐标,实际初中 物理中的匀速率运动公式 s ? vt 就是这个坐标系中的方程。

我们把运动方向叫切向,垂直运动方向叫法向。对应的,每个方向的加速度叫切向加速度,与法向加速度。下 面用数学推导相应的加速度。当质点做曲线运动时,一般速度的大小和方向都在变化。为计算 P 位置加速度,将速 度增量 ?v 分解为与 v2 平行的分量

?

?

? ? ? ?v // 和 v2 垂直的分量 ?v1 ,如图:

质点在 P 的加速度为
? ? ? ?v // ?v ? ? ?v a ? lim ? lim ? lim ?t ? 0 ?t ? 0 ?t ? 0 ?t ?t ?t

? ? ? a? ? an

? ? a ,a 其中 ? n 就是切向加速度和法向加速度。其中法向加速度又有规律:
易从相似三角形得: an ?

v?? ? ?v , ?t

其中 R 为 P 位置的“曲率半径” , 由于 ? ?

v v2 2 ,所以还有: a ? ?v ? ? R ? n R R

如果物体做圆周运动,这个加速度又叫向心加速度,向心加速度的规律最早由惠更斯在研究匀速圆周运动时发 现。惠更斯发现:做匀速圆周运动的物体,其受合外力总是正比于物体质量,正比于物体速度平方,反比于其圆轨 道半径。记为:
v2 这就是高中教材上的圆周运动向心力定理。 R 应该说这个结论还是很实用的,虽然只是我们推论中的一个特殊情况。 由于暂时我们的同学对于向量微分的运算还不了解,为了把上述推导在极坐标系里推广,必须把自然坐标系的 计算结果做一个形象的总结。 【总结】 (1)改变一个速度的大小的加速度分量与速度共线,由速度大小变化率决定。 (2)改变一个速度方向的加速度与该速度垂直指向旋转的内侧,大小正比于速度与角速度乘积。 利用以上推论我们引入极坐标里的加速度 2.极坐标系以及加速度分量 Fn ? m

极坐标以到参考点 o (又叫极点)的距离 ? 以及到参考射线(极轴)的夹角 ? 来描述平面内的点( ? , ? ) , 其数学优点是某些平面坐标系里的很复杂的曲线方程很简单(比如以极点为圆心的圆的方程为 ? ? R ) 。极坐标在 物理上的优势是描述一些既沿着径向运动,又绕着固定点的旋转的运动比较直观。 比如椭圆轨道卫星的运动,我们关心卫星到地面高度以及方位角。又比如我们以前学习运动关联时候用绳子或 杆衔接的物体,既有径向速度,又有转速。都比较适合极坐标,如图:

水平向左运动的物体 B 的速度分解为沿着绳子的分量 v// 以及垂直绳子的转速 v? ,根据自然坐标系得到的加速 度计算原理: 1.在绳子方向(径向)上一共是两个加速度,一个改变 v// 大小,与拉绳子的加速度大小一致,另一个改变 v? 方 向,大小 a ? v? 。
2

RAB

2.在垂直绳子方向(垂向,注意不是切向)也有两加速度,一个改变 v? 大小,另一个改变 v// 方向,注意这个 加速度不等于

v// RAB

2

,而等于 v//? ?

v// v? 。 RAB

专业的力学教材还会对这些加速度中的某些项取一堆形象的名字方便记忆,比如著名的科里奥利加速度,平面 系 5 个加速度等。由于这个加速度过于依赖向量微分的理解,这里就不引入了。 期望着以上的讨论能引起同学们对于向量代数甚至向量微积分的兴趣,因为很复杂的物理情景理解问题在向量 微积分里可以简化为几个简单的算符。 学而思物理竞赛的教学一种灌输一种观点,那就是方程是最美最高效率的物理语言。开始喜欢上物理的同学一

般都是因为物理对现实的超理性理解。但多数喜欢物理的人进入大学后都容易对脱离实际现象的数学运算产生排斥 感和畏惧感,希望同学们尽量的克服。一旦我们弄懂一个方程运算可以处理的实际情景之广泛,就会疯狂的喜欢上 这种方程。方程会让我们对众多的问题有一个统一的观点,方程会让我们需要记忆的量以及概念辨析的量减少为最 少。 从现实的角度,很多喜欢物理而且具备很高物理直觉天赋的同学最终在学习物理的过程中被郁闷,基本都是因 为不适应物理的数学描述方式。我们提倡数理结合一起理解物理的教学观点也是希望更早的开始帮助我们同学克服 上述困难。同学们要在科学道路上走的更高更远,与其被数学语言虐,不如学会去享受它。 当然如果我们学习物理只是作为科学知识去了解物理一下,物理确实不需要过多的数学语言去表达它。即便从 概念以及逻辑思辨的角度去学习物理,物理也是很美丽很迷人的,因为他可以几乎可以无限的满足人先天本能中那 种无法抑制的探索欲与求知欲。 知识点睛 一.功 物体在外力作用下,在力的方向上发生了一段位移,则外力对物体作功。功表征了力对空间的累计效应。 1.恒力做功 在恒力 F 作用下质点沿直线发生了一段位移 ?l ,则在此过程中,力对质点所做的功按以下计算: 其中 θ 为 F 与 ?l 的夹角。这个公式记为矢量的点乘式为: 功的单位为焦耳(J) ,其中 1J ? 1N ? m 注意: ① 功为标量,但有正负:

W ? F?l cos ?

W ? F ??l

② 多个力对物体作功,等于各力对物体作功的代数和。 证明: W ?

? ?? ? ? ? ? ?? ? F ? ? l ? ( F ? F ? ? ? F ) ? ? l ? W1 ? W2 ? ? ? Wn ? ?Wi ? 1 2 n

③ 功的计算式中位移是受力质点作用点的参考系位移。 实例:

1.如图:拉力F对球做功等于Fx,但弹簧对墙做功为 0。

2.如图:一子弹射入一个可以自由移动的木块,设相互作用大小为F,则: 子弹队木块做功:FS 木块对子弹做功:-F(l+S) 这样的定义必然导致相互作用力的总功不一定为零,这和相互作用力冲量很不一样,所以当我们对于一个系统 进行功的计算时,必须考虑内力。恒定的相互作用力的总功为 W ? F ? d ,其中d为相对位移。功的定义导致功的计算 依赖参考系的选取,但是相互作用力的总功与参考系的选取无关。中学阶段只要不刻意强调,功指的都是对地的功。 ④ 易证明恒力做功与轨迹无关,只取决于恒力方向上的位移。 如轨迹为曲线,可以把曲线看成无穷多段,如图,设恒力F作用下一物体,从a位置运动到b位置,把轨迹分成无 穷段,分别为 ?l1 , ?l2 , ?l3 ? 整个过程中做功为

W ? F ? ?l1 ? F ? ?l2 ? F ? ?l3 ? ? F ? ?l总 ? F?lF

其中 ?lF 为F方向上位分位移,与F同向取正,反之取负。 实例:

如图,用水平恒定的拉力F,把一个质量为m的球拉至新位臵,拉力做功为Fl,重力做功为mgh。 2.变力做功 微元思想给出了变力做功的计算方法,无限分割路径,以直线段代替曲线段,计算每一小段功,累加即可,可以把 功当做力对路径的路径积分。
lt ? W ? ? F ? ?l l0

作出 F cos? ? l 的函数图像,曲线与横轴所围面积表示功的大小:

F cos ?

l

o
实例:

a

?l

b

如图:弹性系数为 k 的弹簧,在弹力的作用下,从距原长为 x0 收缩到 x,作出弹力随着位移的函数图象,规定向右 为正。图中阴影部分面积为弹簧对物体做功。

由面积公式: ?W ?

1 2 1 2 kxo ? kx 2 2

3.功率 单位时间做功为功率,用字母P表示,则功率定义式为:

P?

?W ?t 其中 ?t 代入总时间则计算得平均功率, ?t 趋近于零则计算为瞬时功率,瞬时功率还可用 P ? Fv cos ? 计算,其

中θ 为F与v夹角。 4.功与动能 计算功的目的是什么?功也是力的一种效果,定性的可以想到一定也是改变了与物体运动状态有关的一个物理量 。以下我们用微元法推导,做功过程中一个重要原理:动能定理。

假设一个物体在外力F作用下,由a运动到b,速度由v0 变化为vt,把整个轨迹等分成很多的 ?l , 对一段,由于轨迹很短,可以看为匀变速直线运动,由牛顿第二定律:

F1 cos?1 ? ma1
又 a1 ?

vt ? v0 2 x1

2

2

1 2 2 m(v1 ? v0 ) 2 1 2 2 则同理有 ?W2 ? F2 ? ?l2 cos ? 2 ? m(v2 ? v1 ) 2 1 2 2 ?W3 ? F3 ? ?l3 cos ? 3 ? m(v3 ? v2 ) 2
易得: ?W1 ? F1 ? ?l1 cos ?1 ? ?

?Wn ?1 ? Fn ?1 ? ?ln ?1 cos ? n ?1 ?

1 2 2 m(vn ? vn ?1 ) 2

?Wn ? Fn ? ?ln cos ? n ?
叠加得

1 2 2 m(vt ? vn ) 2

? ?W

i

?

1 2 2 m(vt ? v0 ) 2 1 2 mv ,叫一个物体的动能,用字母Ek表示,记 2

我们定义一个质量为m的物体以速度为v的物体具备的一个状态量 为: Ek ?

1 2 mv 2

上述推导结论可以表达为,一个物理做成中外力对某质点做功等于其动能增加量,这个原理叫质点动能定理。 对于质点组的情况,只需要把多个质点的方程叠加即可,注意质点组之间的相互作用总功在叠加过程中不一定能 消去(内力总功不一定为零) ,那么质点组动能定理可表达为:

W内 ? W外 ? ?EK 1 ? ?EK 2 ?
即内力与外力总功等于系统总动能变化。 实例:

当人从地面上跳起过程中,地板对人的力作用于脚上,起跳过程中,虽然身体重心在上升,但是脚没有上升,所 以地面未对人做功,对人做正功的只能是人自身的内力(肌肉对骨骼的力,不是武侠小说中的内力) ,导致人加速上 升。而跳水的时候,情况正好相反,跳板对人做功导致人加速上升。 从以上实例中我们应该看到,分析同一个事件,牛顿定律认为是地面对人的支持力导致人产生向上的加速度,但 动能定理却认为是人自身的内力导致人动能增加。由于方程的不同,导致解释时的描述不同。 知识点睛 一.势能 运动的物体具备一种做功的本领,我们上讲定义其为动能。那么是否静止的物体也可以具有做功的本领呢?回 答显然是肯定的,比如被举高的重物,形变后的弹簧等。为了研究这些现象,我们有必要拓展能量的定义。 我们把一个物理过程中,做功数值与路径无关的力叫保守力。若两质点间存在着相互作用的保守力作用,当两 质点相对位置发生改变时,不管途径如何,只要相对位置的初态、终态确定,则保守力做功是确定的。 存在于保守力相互作用质点之间的,由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能 变化的负值,即:

W保守 ? ??EP 。
说明:势即位也,势能这个定义,顾名思义显然就是与物体间位置有关的能量,所以要引入保守力的概念。计 算势能时,还要注意以下几点: (1)势能的相对性。 通常选定某一状态为系统势能的零值状态,则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势 能值。原则上零势能状态可以任意选取,因而势能具有相对性。 (2)势能是属于保守力相互作用系统的,而不是某个质点独有的。 (3)只有保守力才有相应的势能,而非保守力没有与之相应的势能。 二.常见的几种势能 (1)重力势能 在地球表面附近小范围内,mg 重力可视为恒力,取地面为零势能面,则 h 高处重物 m 的重力势能为

Ep ? m g h
(2)弹簧的弹性势能 取弹簧处于原长时为弹性势能零点,当弹簧伸长(压缩)x 时,弹力 F=-kx,弹力做的功为

1 W ? ? kx 2 2
由前面保守力所做功与势能变化关系可知

W ? ??EP ? ?( EP ? 0)
所以: (3)引力势能

E弹 ?

1 2 kx 2

GMm (选取无穷远为零势能面) r 关于万有引力的规律我们将在以后的讲义中具体讲解,这里列出这个公式是提醒同学们:重力势能公式是引力 势能在近地附近的近似,如果一个物体被举高 10m,那么重力势能可以用 mgh 近似计算,如果物体被举高 1000km, GMm 那么重力势能公式必须用 E P ? ? 计算了。 r 中学物理定义动能,重力势能以及弹性势能统称为机械能(这个定义和普物有些不同,阅读大学物理的同学注 意一下。由于机械能是个无关紧要的概念,所以不必较真) 。 二.其它形式的能量 除了机械能,物理学研究的现象中还涉及内能,光能,电磁能,化学能,核能等。能量的定义体系很乱,有些 是从应用的角度按表征定义的,比如风能,水能,潮汐能等。所有能量的本质都是四种自然作用的体现,比如弹性 势能与内能的本质都是分子间电磁作用,所以我们能观察到实际的弹簧被拉长后温度降低(因为分子间相互作用做 负功,分子热运动动能变少)被压缩后温度升高的现象。力学中阐述的弹性势能是一种理想情况。 在以后的物理学习过程中,我们会逐步的对每种能量的标度越来越清晰。本讲只定性的给出每种能量的定性介 绍。
质点间的引力势能为

EP ? ?

内能:由于物体内部大量分子热运动以及相互作用具有的能量。宏观可观测的内能标志是温度,以及形状,在理论 上的完全恢复的弹性形变中,不考虑内能变化。机械能变为内能最常见的形式为滑动摩擦与不可恢复形变。后面的 讲义会推导两种情况下内能与机械能转化的模型。 光能:由光的频率以及光子数(构成光的一份能量叫一个光子)决定的能量。 电磁能:具体体现形式很多,比如静电势能,电流能,磁能,电磁波能等,由于光也可以看做电磁波,所以可以认 为光能本质也是电磁能,当然也可以倒过来。 化学能:化学反应中吸收或者释放出来的能量,本质也是电磁作用能。 核能:在核反应中才能释放和吸收的能量。 以上定义都是经验的,直观的定义法,分别有具体的实验对应。现有的理论认为,测量能量本质的方法是测量 质量,根据是著名的 E=mC2(这个公式在以后的讲义推导) ,质量可以根据引力,惯性等标度。
关于能量与质量高度等效其实不难理解,我们需要做的只是观念的转变。比如高温物接触低温物,主要是高温物把红外光子辐射 给了低温物(热传递一共有三种形式:传导,对流,辐射。传导与对流的本质是因为物质分子周围电磁场接近,所以产生了非球对称 的辐射) ,那么高温物物质变少了,所以高温物内能以及质量都变少了。比如氢气与氧气燃烧,生成水并辐射出光能,那么生成的水比 反应前的氢氧总质量少了。一个同学把落地的笔捡起来,那么人通过手部的分子电磁场接近笔的分子电磁场把电磁能传递给了笔,笔 与地球体系总引力势能变多则其质量变多。不过以上现象由于质量变化都很少所以实际测量比较困难而已。物质的本质是质量,或者 说能量,我们得为老爱因斯坦的工作喝一声彩,他给了我们对现有的一切现象统一简洁的描述。

四.能量守恒与机械能守恒 自然界的各种能量的总和在一切变化过程中保持不变,只能由一个物体转移给另一个物体,由一种形式转变成 为另一种形式,这就是能量守恒定律。能量守恒定律发现的过程比较曲折,最初由各个学科的科学家分别在力学, 热力学,生理学,电学等学科分别提出能量守恒的具体表达,后来由焦耳等科学家完成能量守恒的总结。 物理表达中,能量守恒的适用对象必须为孤立体系(这一点和动量守恒一致) ,如果有外界作用,那么外界会 对体系内输入或者输走能量。能量转移的过程意味着有做功的过程,做功是能量转移转化的过程。 总的来说,能量守恒定律可以称为物理学建立以来最受物理学家信任的物理定律。在科学史上,人类经常会发 现已定义的能量不守恒的现象,这时候物理学家们就会把能量的定义拓展一下,定义一种新的能量形式,能量守恒 定律就又完美了。最经典的案例莫过于焦耳用内能的定义代替热质理论的成就(这段科学史比较普及,这里就不介 绍了) 。 很多同学看完这段会觉得这样的物理定律比较扯淡,有点像那个“史上最无敌的真理”—“一切事物都是矛盾统一的”在解释“一 个饿了的人吃了面包肚子就饱了”时使用的逻辑—“饿和饱是一对矛盾,面包和人是一对矛盾,人吃了面包,结果就矛盾统一了” !
只要对所发表言论中的概念不做清晰定义并保有最终解释权,那么这个世界永远伟大光荣正确的理论会无处不在。比如我们就可以说 “报学而思物理竞赛班的同学其实都是 free 的” 。 不过物理毕竟不是扯淡理论,关于能量的理解会伴随我们同学学习研究物理的终身。基本从 3 岁开始,我们看到咸蛋超人胸前红 灯嘟嘟直闪,就认识到那种对于超人来说都至关重要的东西原来叫能量。中学的时候,身处题海战的我们被迫的开始运用能量守恒去 计算习题中的未知数。再后来,通过对相对论的推导,我们会意识到能量与质量的等效性,这时我们才真正的对能量有了清晰的认知。 再到后来,我们的同学在科研工作中自觉的运用能量守恒分析实验的数据。可以说,能量是这颗行星上的智慧生命普及度最高的专业 概念,虽然每个人对其理解深度不一,但是都在自觉不自觉的运用能量的概念在思维和判定。 在学习能量守恒的过程中我们同学会认识到物理学的终极目标:用更少的概念去描述更多的观测规律,并对没有观测到过的现象 进行预言。从这个角度,我们应该意识到焦耳的工作是高度有效的,因为他让后来同学在学习中学物理时少背了一套理论,让我们对 热效应的思考时少用了很多步骤。可笑的是无知的人理解物理学发展的过程老是用“真理战胜愚昧”来理解。比如国内的一些学者写 的科普读物中就这么赞美焦耳, “热质是错误的假想的物质,在焦耳的实践斗争中被推翻” 。其实稍微懂点现代物理的人都应该知道, 热质学说很有道理啊,热质不就是现在说的光子么,只不过在当时热质说还只是个唯像理论。

作为能量守恒的特例,当一个系统除了速度,高度,形变以外没有其它物理参数变化时,自然机械能守恒,根 据动能定理以及势能的功能关系,我们可以推导得出机械能守恒的力学条件。 对于一个质点系,由动能定理:

W内 ? W外 ? ? ?EK
又重力做功 WG ? ??EP 系统内弹簧对质点总功 W弹 ? ??E弹 这两个功在方程的左边,把它们移项到右边,则有

W其他 ? ? ?EK ? ? ?Ep ? ? ?E弹

左边为除重力以及系统内弹簧以外其它一切力做功, 右边为机械能变化量。 这个方程又叫功能原理。 其推论是: 如果一个系统除重力以及系统内部弹簧弹力功以外,其它力总功任意时段都为零,则系统机械能守恒。 这个表述虽然看上去严格,但是其实基本不实用,因为计算系统内力做功显然不是容易的事,多数我们还是从 没有其他能量生成考虑机械能是否守恒。 注意以上的推导和普物的不同, 因为中学教材中对机械能定义的原因导致。 其次就是机械能显然是对实际的一种理想近似。下面我们讨论两种常见的机械能与内能转化现象: 1.摩擦生热 回顾上讲中我们处理的一个模型:子弹击穿木块

一子弹射入一个可以自由移动的木块,设相互作用大小为F,则: 子弹队木块做功等于木块动能变化量: Fs ? ?E木块 木块对子弹做功等于子弹动能变化: ? F (s ? l ) ? ?E子弹 叠加一下: ? Fl ? ?E子弹 ? ?E木块 这个方程可以解读为摩擦内力的总功为负,其值等于总动能变化量(也是负数) 。但是从能量守恒的角度,我们会 发现系统作用后总动能减少了,减少的能量转变成什么形式的能量了呢?焦耳发现,子弹与木块的温度都上升了。这 说明系统的内能增加了,通过测量,在摩擦内力做功的过程中,系统增加的内能总是正比于系统机械能减少量。这说 明内能与机械能本质是等效的,所以焦耳用机械能的量度——力与距离的乘积衡量内能。原子分子论建立起来后,内 能有了明确的定义,就是大量微观粒子总动能与势能的总和。从上面的推导中可以看出,如果是通过滑动摩擦把机械 能转化为机械能(简称摩擦生热)则生热的数量可以用 Q ? fl 计算(l为相对路程) 。

如图为焦耳测量热功当量的实验之一,重物的机械能通过螺旋桨与水之间的摩擦转化为水的内能,使水温度上升 。亏损的机械能与水温度升高量成简单正比,证明内能与机械能的本质是一回事。早期物理学计量内能的单位为卡路 C需要的内能) 里(记为cal,1cal相当于把 1g的水升温 1° ,该实验可测得 1cal的值约 4.2J。这个实验结果也可以理解 为:把一瓶矿泉水从距地面高 0.42m的地方自由释放,不考虑空气阻力,水瓶落地后停下,即便生热全被内部的水吸 C。这个现象很不明显,所以一直没有引起注意。 收,水也只升高 0.001° 2.碰撞 动量失衡的学习过冲中我们知道质量 m1 和 m2 的两个物块,在直线上发生对心碰撞,碰撞前后速度分别为

v10 和

v20 及 v1 和 v 2 ,碰撞前后速度在一条直线上,由动量守恒定律得到:

m1v10 ? m2 v20 ? m1v1 ? m2 v2

上述方程在预言结构时候显然是不完备的,原因是不同的材料碰撞过程中能量变化不同,根据碰前后是否生热, 生热的不同我们可以把碰撞分为: (1)弹性碰撞 在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞,由动能守恒有

1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 ? m2 v 20 ? m1v1 ? m2 v 2 2 2 2 2
结合动量守恒解得

v1 ?

m1 ? m2 2m 2 v10 ? v20 m1 ? m2 m1 ? m2

v2 ?

2m2 m ? m1 v10 ? 2 v20 m1 ? m2 m1 ? m2

对上述结果可作如下讨论

v ? v20 , v2 ? v10 ,即 m1 m2 交换速度,这便是最初马尔西惠更斯他们得到的认识。 ① m1 ? m2 ,则 1
②若 m1 >> m2 ,且有 ③若 m1 << m2 ,且

v20 ? 0 ,则 v1 ? v10 , v2 ? 2v10 即质量大物速度几乎不变,小物以二倍于大物速度运动。

v20 ? 0 ,则 v1 ? ?v10 , v2 ? 0 ,则质量大物几乎不动,而质量小物原速率反弹。

(2) 完全非弹性碰撞 两物相碰粘合在一起或具有相同速度,被称为完全非弹性碰撞,在完全非弹性碰撞中,系统动量守恒,损失机械 能最大。

m1v10 ? m2 v20 ? (m1 ? m2 )v

v?

m1v10 ? m2 v20 m1 ? m2

碰撞过程中损失的机械能为

1 1 1 2 2 m1v10 ? m2 v 20 ? (m1 ? m2 )v 2 2 2 2 1 m1 m2 ? ( )(v10 ? v 20 ) 2 2 m1 ? m2 ?E ?
(3)一般非弹性碰撞,恢复系数 一般非弹性碰撞是指碰撞后两物分开,速度 v1 ? v 2 ,且碰撞过程中有机械损失,但比完全非弹性碰撞损失机械能 要小。物理学中用恢复系数来表征碰撞性质。恢复系数 e 定义为

e?

v 2 ? v1 v10 ? v 20
e=1。

①弹性碰撞, ②完全非弹性碰撞

v2 ? v1 ,e=0。

③一般非弹性碰撞 0<e<1。 说明: 1.碰撞生热的本质是因为物体接近时分子间作用力导致分子平均距离先压缩后恢复,有些材料分子相对位置稳 定,所以几乎能完全恢复。碰撞过程中分子热运动动能不会增加,即不成热。有些则分子相对位置很容变动形成新的 平衡点,碰撞时就不能完全恢复了,分子的热运动动能就增加了,体现在宏观上就是生热了。 2.以上推导全是讨论的一维的情况,对于速度与受力不共线的情况(即斜碰) ,只要分解后分别在法向与切向处 理即可。 如图所示,设两物间的恢复系数为 e,设碰撞前 m1 、 m2 速度为 其法向、切向分量分别为 度分量

v10 、 v 20 ,
v20 v10 n
m1

v20 l v20 n m2 切向速 v10 v10 l

v10 n 、 v 20 n 、 v10? 、 v 20? ,碰后分离速度 v1 、 v 2 ,法向、

v1n 、 v 2 n 、 v1t 、 v2t ,则有

e?

v 2 n ? v1n v10 n ? v 20 n

若两物接触处光滑,则应有 m1 、 m2 切向速度分量不变

v1t ? v10t v2t ? v20?
若两物接触处有切向摩擦,这一摩擦力大小正比于法向正碰力,也是很大的力,它提供的切向冲量便不可忽略。 五.伯努利方程 图表示一个细管,其中流体由左向右流动。在管的 a1 处和 a2 处 截出一段流体,即 a1 处和 a2 处之间的流体,作为研究对象。

a2 b2 p 2 用横截面

a1 处的横截面积为 S1 ,流速为 v1 ,高度为 h1 , a1 处左边的流体
象的压强为 p1 ,方向垂直于 S1 向右。

a1b1
h1

h2

对研究对

p1
对研究对

a2 处的横截面积为 S 2 ,流速为 v 2 ,高度为 h2 , a2 处左边的流体
象的压强为 p 2 ,方向垂直于 S 2 向左。

经过很短的时间间隔 ?t ,这段流体的左端 S1 由 a1 移到 b1 。右端 S 2 由 a2 移到 b2 。两端移动的距离分别为 ?l1 和

?l 2 。左端流入的流体体积为 ?V1 ? S1?l1 ,右端流出的流体体积为 ?V2 ? S 2 ?l 2 ,理想流体是不可压缩的,流入和
流出的体积相等, ?V1 ? ?V2 ,记为 ? V 。 现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功。作用在液体左端的力 F1 ? p1 S1 ,所做的功

W1 ? F1?l1 ? p1 S1?l1 ? p1?V 。
作用在右端的力 F2 ? p2 S 2 ,所做的功

W2 ? ?F2 ?l2 ? ? p2 S 2 ?l2 ? ? p2 ?V 。
外力所做的总功

W ? W1 ? W2 ? ( p1 ? p2 )?V
外力做功使这段流体的机械能发生改变。 初状态的机械能是 a1 到 a2 这段流体的机械能 E1 , 末状态的机械能是 b1 到

b2 这段流体的机械能 E 2 。由 b1 到 a2 这一段,经过时间 ?t ,虽然流体有所更换,但由于我们研究的是理想流体的定
常流动,流体的密度 ? 和各点的流速 v 没有改变,动能和重力势能都没有改变,所以这一段的机械能没有改变,这样 机械能的改变 E2 ? E1 就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。

由于 m ? ??V ,所以流入的那部分流体的动能为 重力势能为

1 1 mv12 ? ?v12 ?V 2 2

mgh 1 ? ?gh 1 ?V

流出流体的动能为 重力势能为

1 2 1 2 mv 2 ? ?v 2 ?V 2 2

mgh 2 ? ?gh2 ?V
E 2 ? E1 ? 1 2 ? (v 2 ? v12 )?V ? ?g (h2 ? h1 )?V 2

机械能的改变为

理想流体没有粘滞性,流体在流动中机械能不会转化为内能,所以这段流体两端受的力所做的总功 W 等于机械能的 改变 E2 ? E1 , 即 W ? E2 ? E1

所以有:

( p1 ? p 2 )?V ?

1 2 ? (v 2 ? v12 )?V ? ?g (h2 ? h1 )?V 2

整理后得

p1 ?

1 2 1 2 ?v1 ? ?gh1 ? p 2 ? ?v 2 ? ?gh2 2 2

a1 和 a2 是在流体中任意取的,所以上式可表示为对管中流体的任意处:
1 2 ?v ? ?gh ? 常量 2 这个方程叫伯努利方程。 流体水平流动时,或者高度差的影响不显著时(如气体的流动) ,伯努利方程可表达为 p?
1 2 ?v ? 常量 2 可知,在流动的流体中,压强跟流速有关,流速 v 大的地方要强 p 小,流速 v 小的地方压强 p 大。 伯努利方程的应用举例: p?

经过漏斗吹乒乓球时,乒乓球上方空气的流速大,压强小,下方空气的压强大,乒乓球受到向上的力,所以会贴 在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气,两张纸中间空气的流速大,压强小,外边空气的压强大,所以两张纸将互 相贴近。同样的道理,两艘并排的船同向行驶时如果速度较大,两船会互相靠近,有相撞的危险。历史上就曾经发生 过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶,要限制航速和两船的距离。

甲:不转球

乙:旋转球

球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同,是因为球周围空气流动情况不同造成的。图甲表示不转球水平

向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称,流速相同,上下不产生压强差。现在考虑球的旋转,致使球 的下方空气的流速增大,上方流速减小,周围空气流线如图乙所示。球的下方流速大,压强小,上方流速小,压强大。 跟不转球相比, 图乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力, 飞行轨迹要向下弯曲。 足球比赛中的香蕉球也是这个原理。 三.力的两种定义法 力的严格数学定义有两种,一种是从动量的角度定义, 即: Fx ?

?p x ?t

理解为一个体系受力为一个体系的动量随时间变化率。

另一种是从能量的角度定义 动能角度: Fx ?

?Ek ?x

或者从势能的角度: Fx ? ?

?E p ?x

从数学上,力的概念看起也很严密,当然这仅仅是从数学角度而已。牛顿质点力学的哲学体系还会要求每个力都 找出“施力者”与“受力者” ,并认为力具备相互性。对于容易隔离出个体的宏观低速问题,依然可以近似的认同牛 顿体系对力的定义。继续的物理学习中我们会发现这两种定义方式都与牛顿体系有着深度的哲学上的矛盾。在数学方 程与哲学原理在逻辑上产生矛盾的时候,物理学当然会毫不犹豫的选择放弃哲学观点。
本讲提示: 1.归纳力学模型,提高分析综合问题的能力; 2.总结力学原理适用范围以及使用某个原理的目的。 从数学的角度,所有牛顿力学范围内的问题都可以通过一个套路化的流程解决:先利用牛顿第二定律列出微分方程与牵连方程,再 找出边界条件,剩下的工作交给解方程即可,方程会回答所有的问题。但是在高中遇到的问题绝大部分都是一些特殊情景,数学模型都 很巧,所以基本不用积分(而且对大部分同学来说套路解法也不现实,学会做微积分的数学题不难,难在对着物理问题运用微分方程) 。 这就出现了联立受力分析,运动态分析,动量分析,能量分析,角动量分析 5 大力学思路综合运用的特殊解法。 从考试的角度,无论是高考压轴,自招还是竞赛,多数同学要能迅速准确答题,基本都得多归纳,多训练,通过“刷题”积累模型。 从学习的角度,积累模型的同学总算比对着样题模仿的同学学的深刻一些。应试大战中的“超级成功人士” ,考试的时候,大部分时候基 本不是在根据原理分析题,而是条件反射的写出对习题条件的解读,只有少数的地方他会去动些脑经。 从学习的角度,我们不太支持我们的同学把空闲时间无限度的花在“刷题”上,虽然这样考试成绩提高明显。大家可把本讲当做一 次对前期所学物理原理的一次复习和反思。把不同的物理原理放在一个物理模型中思考,既能加深对原理的理解,又能获得较高成就感, 更有趣的是我们往往会发现一些“矛盾”甚至是“悖论” ,当然这些矛盾多数不是某个物理原理错了,而是我们理解不当。物理学的发展 往往在这些矛盾的解决过程中实现,比如历史上麦克斯韦方程与经典力学在光速问题上的矛盾就导致了相对论的产生 。我们同学学习物 理的过程中也会不停的遇到前后知识在同一模型中矛盾的情况,可以说解决这些问题的过程中我们不仅会加强对定律本质的理解,更会 训练出一种能力,这种能力会在将来的学习以及研究过程中经常用到。 总的来说,学习物理,思考物理,其味无穷,其乐亦无穷。

知识点睛 一.受力分析 一个物体的运动状态与之受力有必然对应关系,这就是我们分析问题首先应该注意到的思路。 从运动态出发,力学的方程有: 1.刚体平衡必须满足两个条件 ?Fi ? 0 其一:力的矢量和等于零,即 ?Mi ? 0 其二:作用于刚体的力对于矩心 O 的合力矩也为零,即 某个力的力矩定义为力臂与力的叉乘,即

M ? r?F

分析的时候注意具体力的特点,注意总结典型力学模型中受力特点。 注意“轻”的东西无论运动态如何,受力为平衡力(矩) 。 2.如物体不平衡 (1)对平动,一个物体加速度满足牛顿第二定律:

a?

? F 或? F ? m a
m

这个定律使用既可以在直角坐标系使用,也可以在其它坐标系使用,如果在自然坐标中使用,我们把垂直速度的 加速度叫向心加速度,由向心力提供。牛顿定律使用的难点在于注意发现某个分量上的加速度特点以及熟练使用矢量 分解技巧。牛顿定律的作用是计算运动态与力的关系,以及对加速度积分得到速度变化量,对速度积分得到位移。 牛顿定律分别对时间积分得到动量定理,对空间积分得到动能定理。对系统使用分别得到动量守恒条件以及系统 能量守恒的原理。 使用牛顿定律经常要换参考系,变化参考系时必须补画惯性力,惯性力的大小等于受力物质量与参考系绝对加速 度之乘积,方向与参考系绝对加速度相反。 (2)对转动,我们引入角动量这个物理量(以下内容了解即可) : 角动量 力矩对应力,动量作为一个矢量,也可以类似的引入一个动量矩,叫角动量:L =r×p 这里的 p 是一个动量,而 r 是一个从某个参考点出发的位移矢量,一般我们取这个参考点是相对于参考系静止的。 暂时我们只考虑质点的情况,刚体的角动量以后再引入。 角动量定理 下面我们考虑这个 L 随时间的变化:

?L ( r ? ?r) ?( p ? ? p) ?r ? p ? r ? p ?r ? ? p ? ? ?r ? ?t ?t ?t ?t ?r ? v ,且 v // p ,所以 v ? p ? 0 ) (因为 ?t
所以类似于动量和力的关系,我们可以知道:

? p

?L ?p ? r? ? r?F ? M ?t ?t

也就是质点对任意固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。 只有质点系的外力的力矩才会改变质点点系 的角动量,而内力相互抵消。 【总结】受力分析的目的在于弄清楚力与运动的关系,弄明白哪些量守恒。 二.运动态分析 运动态分析包含: 1.轨迹的认识,通常用坐标系分解去理解。 要注意分析运动的合成与分解,独立性原理,换系后相对运动计算。 2.牵连速度 (1)杆或绳约束物系各点速度的相关特征是:在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速 (2)接触物体在接触面法线方向的分速度相同,切向分速度在无相对滑动时也相同. (3)线状交叉物体交叉点的速度是相交物体双方沿各自切向运动分速度的矢量和. 3.牵连加速度 三.直角坐标系中某方向速度比等于加速度比 四.用绳或者杆连接物体改变沿绳子速度大小加速度一直(注意沿绳子合加速度通常不一致),或者利用换系后的 圆周运动理解加速度关联,对于接触面为曲线的情况一般也采用换系后使用向心加速度公式推导关联加速度。 三.动量分析 质点的动量变化有力的冲量导致,即:

? ?? ?? ? ? ? ?? ? I 合 ? Ft ? p? ? p ? m(v ' ? v)

这个方程多数使用正交分解的矢量式。 对于一个质点系,内力总冲量为零,该方程也成立。如一个体系外力时刻为零,则动量守恒。动量方程与牛顿定 律方程不必同时列出,但与能量方程具备互补性。 2.能量分析 一个物体,外力对之做功等于动能该变量,即:

? ?W

i

?

1 2 2 m(vt ? v0 ) 2

一个封闭体系,所以能量的总和为零,如有外力功,可理解为引入能量。 以上能量方程只列一个即可,也不与牛顿定律同时出现。 3.角动量分析 角动量守恒

从前面的公式我们可以知道,只有当 M=0 时,角动量才能守恒,那么只有两种情况: 1.外力为零。 2. 力 F 通过定点,也就是有心力,那么相对于那个定点,力矩始终为零,所以角动量守恒。 使用角动量注意参考点的选择。 【总结】解决复杂力学问题的两条路径:动量分析与功能分析以及运用角动量守恒,在复杂的问题中,这几条规律 往往一起运用,看起来他们的定义与关系都很相似,但是其实是三个完全独立的方程,动量讨论方向问题,而能量 讨论力与位移的关系,角动量讨论有心力场的问题。 知识点睛 一.开普勒行星运动定律 人类对于天空的观测可能从人类诞生就开始了,关于天空的知识历来就充满了神秘感,比如古代的中国人就相 信天空中的某些现象能预示一个王朝的兴亡或某个人的生死,“昨夜老夫夜观天象…”是咱们的老祖宗诓人时常用的 起语。起源于古代巴比伦时期的星座占星术,到了二十一世纪依然是众多受过高等教育的年轻人判断第二天人品值 的重要参考。科学与迷信都起源于对现实的观察与描述,也都是对现实观察的推断,只不过后者更加严密和精确罢 了。而后者会比较接近艺术家的思维方式:睁开眼睛看3秒,然后闭上眼睛让想象力驰骋,最后“顿悟”了。 当然古代天文学中也有对天空理性的描述,第一个值得回顾的是古希 托勒密提出的地心学说,地心学说认为行星有一个“本轮”绕着地球做 动,同时行星又绕着本轮做圆周运动,用两个角速度合成就能描述行星 位置。真正有物理天赋的同学很容易看出来地心学说其实很靠谱,那个 就是太阳。究竟是以地为心还是以日为心从物理学角度其实没有本质的 的差别,无外乎参考系不同而已,如果天体运行是圆轨道,无论地心说 说在描述轨道上是等效的。至于宇宙真正的“心”是地球还是太阳还是 不该是当时的科学家应该想的问题,一个科学家要做的是帮助人类获得 可信的认知进步。从物理的角度,日心说后来至上只不过是因为在描述 时更加简明。而后来科学家对古希腊理论最大的突破在于用椭圆轨道代 道。 腊哲学家 圆 周 运 在天空的 本轮其实 是非对错 还是日心 无心,这 实实在在 行星运动 替了圆轨 第谷 (1546-1601)

不过由于天主教会把地心说上升为真理,反地心说因而具备了巨大的 哲学以及 社会意义。如大家所知,伽利略首先提出了质疑,哥白尼又提出了日心说, “斗士”布鲁诺还因为宣扬宇宙无心还 被教会给烧死了。这里我们不想重复去这段已经写入中学政治课本的革命史,其实无论是教会还是打着哲学家头号 的“斗士” ,都不会去关心科学的本质。他们大多无外乎挂是科学的羊头卖自己社会观点狗肉而已,为了在普通大 众那得到更多支持与利益,科学要么被利用,要么被整编,要么被牺牲。也是基于此,我们课程特别注重给我们的 同学介绍真正的科学史。除了激发我们同学的学习兴趣外,真正的科学史还可以使我们受到思维的启发,让我们感 受到科学的本质。 在伽利略发明了望远镜后,人类对天体运动的观察有了突飞猛进的进步。伟大的天文学家开普勒在他的老师, 现代天文学始祖第谷的观察数据基础上,归纳出行星运动的三大定律。开普勒定律是人类第一次对天体运行的精确 定律,开启了现代天文学的新篇章。这三个定律分别为: §第一定律: 行星围绕太阳的运动轨道为椭圆,太阳在椭圆的一个焦点上. 说明图如下,行星的轨迹只是近似的圆,严格来说都是椭圆,距离太阳距离时远时近,速度也时慢时快,但具 有周期性。数学上椭圆有两个焦点,太阳位于椭圆的一个焦点上。

§第二定律:行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积. 下面举一个例子详加说明: 为用数学式子表述第二定律,设径矢 r 在 ?t 时间内扫过的面积为 ?A ,则面积 ?A 1 为 ,由图可知, ?A ? r ?r sin ? ?t 2

速度:

?A 1 ?r 1 ? r sin ? ? rv sin ? ? C 常量 ?t 2 ?t 2 式中 v 为行星运动的线速度, ? 为径矢 r 与速度 v 方向之间的夹角.当行星位于椭 圆轨道的近日点或远日点时,速度 v 的方向与径矢 r 的方向垂直,即 ? ? 90? ,故 ?A 1 1 ? r近v近 ? r远v远 ?t 2 2 这个定律显然是角动量守恒的一个特例. 【说明】 开氏第二定律有两种用法 2.计算瞬时速度与位置关系。 3.根据面积速度计算运行时间,当然前提是求出矢径扫过的面积。
故面积速度为 §第三定律:各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方的比值相同,即 T2 ?k a3 开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动.也适用于卫星绕行星的运动.关于椭圆的必要数学知识请参看附录, 本讲涉及的数学知识请大家务必在短时间内弄懂。

椭圆的数学描述 §椭圆第零定义 椭圆看上去就是个圆被踩扁后的形状,故椭圆的第零定义(由于数学教材已经规定了第一与第二定义的方法, 这里姑且把这个最易理解与推导的定义叫第零定义)就是把一个圆向着有夹角的平面投影,则可得到一个椭圆,如 图:

设圆在其坐标系里半径为 a,把圆心放入坐标原点,根据两点间距离公式,显然其方程为

x2 y2 ? ?1 a2 a2

投影后,平行于圆面与椭圆所在平面交线的坐标 x 坐标值不变,但垂直 x 轴的 y 坐标变小,变小比例一定只取 决于两面夹角,所以椭圆的方程变为:

x2 y2 ? ? 1, a 2 b2
其中 a 叫长半轴 b 叫短半轴,且知两个面上 y 坐标之比为

b a

用这个定义,很容易由面积摄影定理证明椭圆的面积公式:

S0 ? ?a 2 S b ? 根据面积摄影定理 S0 a
圆的面积为 (这个公式这里就不做推导了,很容易理解,大家可以用一个边平行于两面交线的长方形证明,再把一般的形 状用微元法割成无数小长方形即可) S ? ?ab , 所以椭圆面积为 这个定义法适合描述椭圆上部分的面积,对于椭圆上部分面积,大家可以用上面的示意图。先把椭圆上的形状 反投影到圆上,再计算圆上的面积,最后再根据面积射影定理计算椭圆面积即可。这个方法后面会有例题涉及。 §椭圆的第一定义: 在平面上固定两个点,到这两个点的距离和很等于 2a 的点的集合也是一个椭圆,这两个参考点叫椭圆的焦点。 根据这个定义,用两点间距离公式也能证明椭圆方程。

其中 │F1O│=│F2O│=c, 设椭圆上一个点的坐标(x,y)根据定义写出方程:

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

x2 y2 化简可得 2 ? 2 ? 1 (化简过程略去) a b
其中 b ? a2 ? c2 从图中还可以看出: │F1B1│=│F2B1│=│OA1│=│OA2│=a │OB1│=│OB2│=b 我们又把 c 与 a 的比叫一个椭圆的离心率记作: e ?

c a

这个定义在计算椭圆参数时比较适合,但是讨论轨迹细节不实用,计算过于繁琐。这就要引入: §椭圆第二定义: 把到一个定点 F1(焦点)与定直线(又叫准线)距离之比为衡量的(比例系数正是前文提到的离心率 e,且椭圆的 离心率 e<1)点构成的平面图形叫椭圆。 其中用 p 表示焦点到准线间的距离,在直角坐标系中可以证明准线的直 角坐标方程是:

x??

a2 (用距离公式可推,大家可以自己算一下) c

那么焦点到准线的距离为:

a2 b2 p? ?c ? c c

下面推导一下极坐标系中椭圆的方程,极坐标我们前面讲义引入过,极坐标用平面内到极点的距离 ? 与到极轴的

角度 ? 定义平面内的点。如下左图: 极径:到参考点(极点)的距离,用 ? 表示 极角:与参考射线(极轴)的夹角,用 θ 表示 ,注意 θ 逆时针为正,这样点的坐标为( ? ,θ) θ 与 ? 满足的方程叫平面内曲线的轨迹,比如把一个半径为 R 的圆的圆心放在极点,其方程为:

??R

如上右图,设 ? ? F1 A , F1 到准线距离为 p,定义离心率 e 为椭圆上的点到焦点与到准线的距离比, 则: e ?

?

? ? p cos?

化简得到:

??

ep 1 ? e cos ?

【注意】 抛物线双曲线也符合这个公式,只是离心率分别取 1 和大于 1。一般的直角坐标方程与极坐标方程变换的公式, 当极点重合直角坐标原点,极轴重合 x 轴时,如图:

易知直角坐标变化为极坐标变换式为:

? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ?
反之有:

?? 2 ? x2 ? y 2 ? ? y ? tan ? ? x ( x ? 0) ?
用以上公式可以实现极坐标与直角坐标方程的互变。 【总结】 以上 3 个椭圆的数学定义法在计算轨道参数时都将使用,一般性的原则如下: 1.从开普勒行星第二定律看出,行星运动过程中运动的时间是正比于行星扫过的面积的,那么只要我们用投影法计 ?A 算出行星的极径扫过的面积,再除以面积速度 ,即能推导出行星运动的时间了。 ?t 2.极坐标特变适合处理行星运动方位问题, 所以我们将用的更多一些, 直角坐标比较适合处理一些特殊位置的情景。 3.从公式的角度,长半轴 a 是一个重要的参数,很多轨道参数都与 a 有直接联系,提醒使用的时候注意。 阅读材料:
1571 年 12 月 27 日,开普勒出生在德国威尔的一个贫民家庭。开普勒的童年时代充满了不幸,但是正是这种不幸磨练出他无 比坚强的意志。 在贫困的煎熬和丧父的悲痛中 (他的母亲还被诬陷下狱) , 开普勒坚持到大学毕业, 并成为蒂宾根大学最优秀的毕业生。 后来开普勒获得天文学家第谷的赏识, 在第谷的帮助和指导下, 开普勒的学业有了巨大的进步。 第谷死后, 开普勒接替了他的职位, 被聘为皇家学者。当时的皇家聘请天文学家作为皇家学者,其实并不是多么重视科学,反倒是他们相信天文学家比较擅长夜观星相占 卜未来(@#¥%&!愚昧的人都是相似的,聪明的人各有各的机巧) 。比如第谷就曾经“成功的”预言了苏莱曼苏丹的死而名声大震,从 而名利双收。 相比于他的老师第谷,开普勒在忽悠贵族骗名骗利方面显然没有那么多的天赋,皇室学者的身份并没有为开普勒带来多少的收益。 开普勒从事这份工作的原因是为了研究第谷积累了二十多少年天文观测数据,在贫困交加和别人的鄙视中,他利用一切的时间去探究 这些数据背后的“天机” 。 通过 16 年的不懈努力下,开普勒终于获得了成功。到 1619 年,开普 勒完成了他对 天体运动三定律的研究和出版。但论文的出版并没有为开普勒带来荣誉与 金钱,相反,他 的书很快被列为禁书,甚至连他的生命也受到威胁。1630 年 11 月,因数 月未得到薪金, 生活难以维持,年迈的开普勒不得不亲自到雷根斯堡索取。不幸的是,他 刚刚到那里就 抱病不起。1630 年 11 月 15 日,开普勒在一家客栈里悄悄地离开了世界。 他死时,除一些 书籍和手稿之外,身上仅剩下了 7 分尼(0.07 马克) 。 科学家的故事我们同学从小读过很多,甚至开普勒的故事应该也有不 少同学读过。不 过我们同学读到科学家的故事多数都是人们加工美化过的。如同我们想向 大家介绍真正 的物理学一般,我们也想向大家介绍真正的物理学家,真正的物理学家的 生活。在世俗的 眼中,科学家存在的意义就是发明各种先进的玩意让普通大众的生活越来 越美好,然后科 学家同时也名利双收。在科学家的周围,充满了耀眼光环与人们的敬仰, 很多人就是因 为这个原因投身科学的。但实际上,他们很快会发现很多科学家在他所在 的时空,往往贫 困潦倒, 甚至在社会生活中显得微不足道, 没有多少人关心他们在做什么。 即便他们获得 了很大的成就,往往也需要几十年上百年才被后世的人理解和感激。 即便在现代,那些真正从事前沿研究的科学家,在生活中也是平平凡 凡的。很多出名 的科学家,往往不是因为他们的专业贡献,而是因为他们身上一些能吸引 普通人眼球的 东西(比如霍金) 。真正的物理学史,会让从小陶醉在科学家梦想的人感到 无比的残酷与 “我曾测量过天空, 而现在 失落。我们不禁要问:几百年来,无数物理家不顾一切沉迷研究的真正目 的是什么?难 道是天生脑子烧坏了,还是伟大到为了全人类几百年后的幸福生活?按现 代环保主义者 测量幽冥,灵魂飞向天国,肉 的观点, 科学这三百年做的事情, 无外乎是加速了这颗星球上的人口膨胀, 资源消耗与环 体安息土中”天空立法者--开 境巨变,使人类几乎无可避免的在本世纪末面临灭亡命运。所谓的“人类 的幸福”一直以 普勒(1571-1630) 来只是人类自私的借口,那么物理学真正目标在哪儿? “当我们仰望星空...”无数文学作品以这句让人心旷神怡,遐想无限 的话作为起首 语。是的,对于宇宙万物的探索欲是我们人类最深刻最本质的欲望。这个本能深植与我们的基因之中,甚至当初造物主在创造生命的 时候就决定了这一切。当我们仰望星空的时候,看这繁星点点,人类一切它欲念与情感都显得那么微不足道。我们从哪里来?我们要 到哪里去?我们处于一个什么样的宇宙之中?为什么会有那么多我们无法理解的规律性的现象?我们的先人正是在这个强烈的好奇心 驱动下,不顾一切前赴后继献身于探索的征程。 正如开普勒在出版他的书的时候写下的那段话: “这正是我十六年前就强烈希望探求的东西。我就是为了这个目的同第谷合作 的……现在大势已定!书已经写成,是现在被人读还是后代有人读,于我却无所谓了。也许这本书要等上一百年,要知道,大自然也 等了观察者六千年呢! ”在开普勒看起来,大自然召唤者我们人类去发现它的规律,无论多少艰难险阻他都会投身其中。这是历史上每

一个有重大发现的科学家的共识!即便人类真的在不久的将来面临灭亡,在人类灭亡的那一瞬间,真正的科学家惋惜的一定是还有那 么多的我们不理解的规律没有能够弄明白。从这个角度,开普勒的一生一点也不可怜,一点也不孤单,也没有多少事情需要惋惜。他 的经历,是一个真正的科学家需要去面对,去承担的。他获得的回报是他真正的享受了获得发现的快乐。 写下以上这么多,不仅仅是想向各位同学介绍一下这位伟大的科学先驱,也是给我们同学一个正确的导向。在这个重视眼前利益的 国度,在现实主义的氛围中,当我们有志于投身科学的时候,驱动我们的是想成为科学家的梦想还是无法抑制的探索欲念?如果是仅 仅是前者,我们觉得最好放弃!

⑤ 万有引力定律 到底是什么原因引起了开普勒的规律的天体运动?由于基督教曾经解释一切天体运动都是由于上帝派出的天使驱 动的原因,所以思考这个问题本身在中世纪的时候就是违法的。当然再严酷的法律也不可能遏制人类探索自然规律的 渴望。开普勒以后,很多科学家对天体运动的本因进行分析。受伽利略“力是改变运动状态原因的思维方式的影响, 科学家的注意力都集中到了研究控制行星运动的力。这个力是谁施加给行星的?符合什么规律? 胡克与哈雷等人从惠更斯的圆周运动向心力定理出发,把椭圆退化成一个圆。证明了控制行星运动的力必然正比 于受力者质量, 反比于到圆心距离的平方 (这个推导比较简单, 我们会作为一个例题让大家自己享受一下发现的幸福) 。 但对于椭圆轨道,受限于他们的数学能力,无法给予证明。更关键的是,这个力是如何施加给行星的? 哈雷与胡克是最早意识到行 星是在太阳的引力作用下运动 的, 并且他们从圆周运动推导出 这个力应该反比于距离平法, 但 是这个力是否普遍存在, 如何用 数学证明椭圆轨道这个力也平 方反比,他们无能为力。他们曾 经和雷恩一起打赌出 40 先令给 第一个获得证明的人。 突破的人是谁呢?历史选择了牛顿。对于牛顿对人类进步的评价,无路用什么样的语言都无法确切表达。为牛顿 撰写墓志铭的亚历山大· 蒲珀曾说过:“大自然和大自然的法则藏匿于黑暗之中。上帝说,让牛顿出世吧!于是世界一 片光明。” 牛顿从相互作用原理以及微积分出发,提出并证明了:所有的物体都在相互吸引的理论,正是太阳与行星间的相 互吸引力,约束着行星围绕地球做圆周运动。在证明的过程中牛顿巧妙的引入了叠加法证明了两物体之间的相互引力 一定正比于两个物体所含物质的多少的乘积,从微积分的角度出发,牛顿又证明了质点间的万有引力与距离平方成反 比的结论。总结起来就是现在的万有引力定律:

F ?G

m1m2 r2

关于平法反比力下轨迹为二次曲线(椭圆,圆,双曲线,抛物线统称二次曲线)的证明,后世又发现了不少可以 证明的数学方法,都非常有趣,这里既不做阐述了。有兴趣的同学可以自己推导,不一定要用高等数学。我们这里重 复一下牛顿使用过的叠加法,对我们的今后的思维会有一定的启示。 如图,两个相互吸引的物体可以分为无数等质量的小份 ?m1 与 ?m2 ,如果忽略掉物体的体积,每一份 ?m1 面临的 物理情景是对称的,那么受力一定是相等的,整个 m1 受的外力为各个力之和。这就 m1 了物体间受力和其物质的多少 是成正比的。由于 m1m2 具备对易性,相互作用力也一定与另一个物体含物质的多少成正比。

后世把这个含物质的多少叫做引力质量,记作 m 引,把牛顿第二定律中的质量叫惯性质量,记作 m 惯。引力质量和 惯性质量在实验上是两个不同的概念,前者的测量标准是引力对弹性物体引起的形变,后者的测量标准是惯性力对弹 性物体的形变。 (看不懂的动脑子或者问老师) 实验表明,不同材料,不同物质多少的物体,引力质量与惯性质量几乎没有差别。比较粗糙的实验方法是测量不 同的物体在同一地点在重力作用下是否加速度一致。以下推导之: 引力质量为 m1 的物体受地球的引力为 由牛顿第二定律有 G

F1 ? G

m地 m1引 R2

m地 m1引 ? m1惯 g1 R2

m地 ? g1 R2 即自由落体加速度与物体的质量无关,那么引力质量就可以和惯性质量一致,统称质量,以后实验上称量质量的 定义就直接用天平去定义了,其实测的是引力质量(注意化学中的质量正比于物质的量以及化学反应质量守恒只是近 似的,没有考虑相对论效应) 。

如惯性质量与引力质量一致,则

G

当然这个实验不可能得出精确的结果,一般的精度级别只有千分一,牛顿自己还曾 经用单摆实验验证过,大概也是这个量级。比较可信的实验是匈牙利物理学家厄缶完 -8 成的,到 1890 年,厄缶持续做了 25 年的实验,证明在 10 精度范围内两者相等。厄缶 将两个不同质料、质量相等的球悬系在扭秤的两臂上使扭秤平衡,并指向东西。物体受 地心引力和地球自转的惯性离心力作用。 若物体的引力质量与惯性质量不等, 引力和惯 性离心力之和将产生转矩,此转矩可被悬丝的扭力矩所平衡。将整个实验装置转 180° , 使两球的位置互换,转矩取向相反,而扭力矩不变,则应观察到扭秤偏转一个角度。实 -8 验在 10 精度内未观察到这一效应。 类似的实验以后又多次为其他人更精确地做过, 精 10-13,表明引力质量和惯性质量精确相等。这个实验将来一定还会有人继 度提高到 9× 续做,因为事关广义相对严密性问题,所以依然属于前沿科学的研究问题。 牛顿明锐的意识到地球对地球周围一切物体的重力就是万有引力的实例, 而生活之 中常见物体间的万有引力由于太小没有被注意到。 由于这个原因, 牛顿提出检验万有引 力定律的方法就是利用月球绕地球运动的向心加速度进行验算。关于那个著名的激发牛顿思路的苹果,考证表明最开 始是牛顿的一句调侃。但是别有用心的哲学家与无知的文学家们把这个事件当成经典的联想思维的范例广为流传,甚 至完全替代了真实的科学发现史(要在大众心中击败科学,或利用科学获得实惠,就要打入科学内部,学习科学的术 语,然后按照对自己有利的方式向大众介绍科学,介绍科学家。几百年以来,哲学家、政治家、神学家、文学艺术家 以及好莱坞制片人,一直遵循这一战术) 。 牛顿发表的时候并不知道万有引力常数是多少,要测量这个数据,无可避免的 必须去测量实验室中物体间的万有引力。这个实验直到 18 世纪末,英国科学家亨 利·卡文迪许才第一次完成。他将两边系有小球的 6 英尺木棒用金属线悬吊起来, 这个木棒就像哑铃一样;再将两个 350 磅重的球放在相当近的地方,以产生足够的 引力让哑铃转动,并扭动金属线。然后他在金属线上贴了一小个反光镜片,通过观 察光线通过反射后在墙上的射点的移动计算出金属丝的扭动角,从而测量出了微小 的引力。如图是卡文迪许使用的装置图。测量结果惊人的准确,他测出了万有引力 恒量的参数约为: 厄缶实验

G ? 6.754?10

?11

m ? kg ? s
3

?1

?2

卡文迪许实验示意,简单但是 又精巧的设计

这个值距离现代物理学中公认的值差距很小:

G ? 6.67 ?10?11 m3 ? kg?1 ? s?2
在此基础上卡文迪许计算了地球的密度和质量。卡文迪许的计算结果是:地球 24 质量约 6.0×10 公斤。由于这个了不起的贡献,卡文迪许的实验被评为科学史上 最美的十个物理学实验之一。一直到现在,以卡文迪许命名的实验室依然是是世界 上最著名的实验室之一,无数的物理学家以在卡文迪许实验室工作为荣。
附录:卡文迪许实验室從 1874 年至 1989 年一共產生了 29 位诺贝尔奖得主。他们是: 乔治·汤姆孙(物理, 1937) 爱德华·维克托·阿普尔顿(物理, 1947) 帕特里克·布莱克特(物理, 1948) 约翰·考克饶夫(物理, 1951) 欧内斯特·沃吞(物理, 1951) 弗朗西斯·克里克(生理学或医学, 1962) 位于剑桥大学的卡文迪许实验室, 詹姆斯·杜威·沃森(生理学或医学, 1962) 马克斯·佩鲁茨(化学, 1962) 被誉为诺贝尔奖得主的摇篮 约翰·肯德鲁(化学, 1962) 多萝西·克劳福特·霍奇金(化学, 1964) 布赖恩·戴维·约瑟夫森(物理, 1973) 马丁·赖尔(物理, 1974) 安东尼·休伊什(物理, 1974) 内维尔·莫特(物理, 1977) 菲利普·沃伦·安德森(物理, 1977) 彼得·卡皮查(物理, 1978) 阿兰·麦克莱德·科马克(生理学或医学, 1979) 亚伦·克拉格(化学, 1982) 诺曼·福斯特·拉姆齐(物理, 1989) 这些科学家全部因为实验中的发现而获奖,也可以看出来颁奖委员会对于对于扩大人类认识范围的科学研究的重视。

⑥ 万有引力定律的运用 3.关于公式使用的说明 (1)我们生活中的重力就是万有引力的体现(要注意我们认识到得重力大小是相对地球静止的物体对地面的压力) , M Mm 因为 mg ≈ G 2 ,所以有 g ≈ G 2 。在考虑地球自转的情况下,相对地面静止的物理受的万有引力分解为重力 R R 与自转向心力,如图:

⑵ 并可以推导开普勒第三定律中的常数 k 在不考虑太阳进动的情况下近似为

a3 GM , 以下所有的推导我们推导 ? T 2 4π 2

都近似认为太阳质量 M 远远大于行星质量。 (3)万有引力定律本来是针对质点提出的,但是数学运算表面,对于均匀球的外部,这个公式依然可以用,此时公 式中的 r 为到球心的距离。 2.万有引力的功与能量 引力做功 质量 m 的质点在另一质量 M 的质点的作用下由相对距离 r1 运动至相对距离 r2 的过程中,引力所做功为: GMm GMm W? ? r2 r1 说明:这个公式变力做功,推导用的数学方法是积分,这里就不写出过程了。 引力势能 两个质点 M 、 r 相距无穷远处,规定 EP 0 ? 0 ,设 m 从无穷远处移近 M ,引力做功 W ,

? 1 1 ? W ? GMm ? ? ? ?r ? ? 末 r初 ?
开始时 r初 ? ? ,最后相对距离为 r 又有 W ? ??EP ? ? ? EPr ? E? ?

W?

GMm r

质点与均匀球体间引力势能,在球体外,可认为球体质量集中于球心,所以引力势能为 GMm r ≥ R , R 为球半径 EP ? ? r 3.总能以及轨道关系 当质量为 m 的天体在另一质量 M 的天体的作用下做长轴为 2a 的椭圆运动时,他的动能和势能虽然随时都在变 化,但是总的机械能确实守恒的.对于圆轨道, 2a 为圆的直径. 若 M 天体固定,m 天体在万有引力作用下运动,其圆锥曲线可能是椭圆(包括圆) 、抛物线或双曲线,对椭圆 轨道:

y

b

?a v2

O

v1 M (? ,0) a x
?b

如图所示,设椭圆轨道方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2
则椭圆长,短半轴为 a、b,焦距 c ?

a 2 ? b 2 ,近地点速度 v1 ,远地点速度 v2 ,则机械能守恒:

E?

1 GMm 1 GMm 2 2 mv1 ? ? mv 2 ? 2 a?c 2 a?c

由角动量守恒(或者开氏第二定律)

mv1 (a ? c) ? mv2 (a ? c)
可解得

? ?v1 ? (a ? c)GM /(a ? c) ? a ? ? ?v2 ? (a ? c)GM /(a ? c) ? a
代入 E 得

GMm ?0 2a 此为椭圆轨道的总机械能公式, 当 a ? ? 时,椭圆变为抛物线,即抛物线轨迹能量为 0.进一步的数学计算表明, E??
如果能量为正,则轨道为双曲线,即:

E?

GMm ?0 2a

其中 a 为双曲线实半轴,这里就不做具体的介绍了,有余力的同学推导一下上面公式。 五.万有引力定律的应用 1.行星的发现 肉眼能观察到的行星只有金木水火土星,历史上经常利用万有引力定律发现未知天体的方法是,先精确测量现 有天体的轨迹,并与用万有引力作用下的理论计算比较,找出其产生偏差的原因-未知天体对它的万有引力作用, 并对根据万有引力的大小和方向来确定未天体的质量和位置,然后到该位置去观测发现未知天体。用此法发现的太 阳系的行星有海王星和冥王星。

本讲提示: 1.归纳整理万有引力定律相关的知识体系,并能初步运用。 2.了解并能独立推导第一二三宇宙速度,领会近似计算的技巧。 3. 对于变换参考系处理问题的方法进一步熟练,通过阅读了解科里奥利力以及其算法。借助这个方法,对于潮汐等现象有量化的理 解。 万有引力的现象确实对于计算能力与综合运用能力要求较高,希望同学们在期末考试结束后抽出时间针对复习。我们下一讲依然会 安排一次总复习。

知识点睛 上讲貌似学了一火车皮的公式以及推论,我们为大家找个思路把它们串起来: 一.万有引力 有两个质点,它们由于有质量就会相互吸引,这个力我们叫万有引力,如图:

( 两质点间相互吸引对方的力: F万 ?

GMm ) r2

显然这个力有点麻烦,因为它的方向大小都会因为物体运动变化,还只能适合于质点。通过数学家的计算,这个 公式可以拓展到均匀球体的外部,r 变为到球心的距离。比如我们生活在地球上,地球对我们的万有引力就是我们 感受到的重力,如图:

(不计自转,引力即重力)

(考虑自转引力分解为重力与指向 O'的向心力)

上述表达中 R 为到地心的距离,如果研究对面附近的物体,R 近似恒定,为地球半径。这样就得到行星表面重力 加速度为: M g ?G 2 R 当然以上结论是不考虑地球自转的近似,考虑自转,万有引力分解为向心力与重力之合力。上面右图中,向心力 指向 O'。极端的情况,星球自转到一定角速度赤道上的物质会解体。所以实际能观测的星球密度一定大于自转解体 时密度。 如果我们打洞打到地球内部去,因为均匀球壳对内部引力为 0,那么我们在星球内部受的万有引力等于内部小球 对我们的引力。公式记为: F万 ?

GM内球m R内
2

(当物体在均匀球内时,只需考虑颜色较深部分质量对物体的引力)

知识点睛 4.引力作用下的轨道 有了力,可以从力的角度理解运动了。引力作用下最简单的模型是引圆周运动,如果产生引力之间的天体其中 一个远小于另一个天体质量(比如地球围绕太阳转,人造卫星围绕地球转)可以近似认为大物体不动。万有引力提 供小天体向心力,通过这个理解可以中心天体的质量,以及圆周运动天体的运动参数。比如人类发射的同步卫星, 轨道在赤道上方,固定的高度,固定的速度绕着地球运动。

我国发射的"东方红 3 号"同步 通信卫星, 定点于东经 赤道 上空。所有的同步卫星高度都为 35,786km,轨道都在赤道上方。 可想而知这个轨道将来会有多繁 忙。

理论上至少用三颗同步卫 星, 才能实现对全球范围绝大 部分地区的通信覆盖, 只在极 地附近有小部分的盲区。 同步 卫星的高度能不能自己推导 出来?

当轨道时椭圆时, 计算轨道就不是仅仅从受力分析能解决的。 这时候我们就得引入角动量的概念。 势能的概念, 以及总能的概念。一个行星围绕太阳运动,或者人造地球卫星围绕地球做椭圆轨道运动时,轨道示意图如下:

(S 是中心天体,位于椭圆一个焦点)

图中有我们要初步掌握的椭圆的几何规律: a 2 ? b 2 ? c 2 图中还有行星运动满足的方程: 四.角动量守恒(开普勒行星第二定律)即:

v1r1 sin ?1 ? v2 r2 sin ?2
五.能量守恒:

m v2 GMm GMm ? (? ) ?? 2 r 2a
有时候我们还得考虑周期公式:

a 3 GM ? T 2 4? 2
利用开氏第二定律的面积速度表达式我们还能计算部分轨道的时间: ?A 1 ?r 1 ? r sin ? ? rv sin ? ? C 单位时间转动面积为: ?t 2 ?t 2 总的来说就这么点东西,如果我们上讲从做题的角度给大家介绍这章的知识体系,课程的内容其实不多,脉络 也会很清晰。 不过, 学习物理的目的不是为了做题, 我们也希望大家本讲学习的时候也不是光把注意力落在做题上。 而是多注意一个物理原理在发现过程中对人类认知造成的困扰,以及科学家解决困扰的突破点,同时更要了解这个 原理在将来的学习中的发展。 自学材料: 关于第三宇宙速度 第三宇宙速度定义为在地球上发射航天器能飞出太阳系所必须的最小速度.公认的推导方法是这样的.地 球绕太阳转,转速由: F万 ? F向 . 即:
v地 ?
GM 太 m地 R2 GM 太 ?
2 m地 v地

R



,其中 R 为地太距离,代入数据得: R v地 ? 29.8km/s . 要离开太阳系,必须相对太阳在离地球后获得地球轨道的逃逸速度

v逃 ? 2v地 ? 42.2km/s ,其相对地球的速度
?v ?

?

2 ? 1 v地 ? 12.4km/s .

?

现以地球为参考系,设发射时速度 v3 能刚好让航天器相对地球无尽远处还剩下 ?v 的速度.由机械能守恒: 1 2 Gm地 m 1 2 mv3 ? ? mv , r 为地球半径. 2 r 2 沿地球公转方向代入得: v3 ? 16.7km/s 就是第三宇宙速度,从推导知发射必须沿着地球公转速度方向发射才行. 这个推导一直让很多不理解的人感到吃不消.第一步是以太阳为参考系,第二步又是以地球为参考系,思 维显得有些混乱。所以很多人应该一直以太阳系为系,列方程。设 v3 则航天器发射时对太阳速度为: v3 ? v地 . 且必须能飞到无尽远处,那么: Gm地 m GM 太 m 2 1 m ? v3 ? v地 ? ? ? ?0. 2 r R 这样解得 v3 ? 13.8km/s 只要探测器在地球 轨道上离开地球引力 范围时达到地球所在 轨道的“逃逸速度”— —也就是地球围绕太 阳公转速度的 2 倍, 探 测器就能离开太阳系。

以上观点在历史上一直有人支持,直到今天,我们去查期刊网.从 2001 ~ 2010 年中国大学校刊上,仍有 近十篇论文仍支持此观点.在这我们只做几句简单的提示.大家可以非常清晰的看出哪种推导是对的.我们知 道“大小” 作用中, 虽大物体速度几乎不变,但是其动能变化相对于小物体是不能忽略的.而以大物体为系. 由 于加速度小,小物体惯性力可忽略不计.所以计算结果虽不严格符合事实.但误差很小. 上面第一种推导法看起来有点不严密但仅仅有些小误差.而第二种方法就是严重的原理错误.从下面示意 可看出,探测器出发后,以太阳为系探测器对地球引力是对地球做了正功的.地球把探测器的动能“吸”走了 一部分.所以后一种方法等号右边也必须加入地球动能增加量.为计算此项必须设地球速度增加了一点点,再 列个角动量守恒.计算量会增加 10 倍!但结果一定和第一种方法几乎一样.所以我们不得已使用了近似推导.

选讲内容: 参考系变换:说到参考系,不得不提的问题,我们之前所有的计算都是假设中心天体 M 质量远远大于旋转天体 的,把中心天体当成了相对于绝对空间静止处理的,当我们考虑中心天体引力进动,并以中心天体为参考系时,问 题就变复杂了.一般的质点参考系只需要根据质点加速度反一个惯性力就可,但是转动参考系需要考虑的惯性力比 较多。这里单独介绍一下。 转动参考系: 转动参考系是一个匀速圆周运动的物体为参考系,比如考虑地球自转时,以地面的物体为参考系,就是一个转 动参考系。在转动参考系中,我们要考虑的惯性力有两个: 1.离心力 大小为 F ? m? r ,方向背向圆心。这个力基本不用解释,很容易理解推导。 2.科里奥利力
2

方程为 F ? 2mv相 ? ? , 这是一个叉乘式, 方向满足右手螺旋定则, 其中角速度也是矢量, 也满足右手螺旋定则。

?

?

?

科氏力 Fc 方向

?

转动参考系力学效应的应用: 1.潮汐 地球上海水的周期性涨落称为潮汐.朋球和太阳都对地球上海水有引力作用,潮汐主要是月球对海水的引力造 成的.潮汐现象的特点是每昼夜有两次涨落潮,即在地表离月球最近和最远的地方形成涨潮,而在地月连线两侧处 于落潮.如果说潮汐是万有引力现象,那么太阳对海水的引力比月球对海水的引力大 180 倍,为什么月球对潮汐起 主要作用呢? 地—月系统在引力的相互作用下围绕着共同的质点 O 旋转.在地心参考系这个非惯性系中,各地海水所受相对 于地心这个非惯性系的有效作用力,即引潮力,相当于“真实的月球引力”和“惯性离心力”合成.其中惯性离心 力等于物体质量和月球对地球引力在地球球心处所产生的加速度的乘积,方向沿月地的边线向外.如果研究各处的 有效作用力,计算较为复杂,不妨先考虑离月球最远和最近的两处,如图所示,研究地球上 A 、 B 两地质量为 ? m 的海水,设地球半径的 R地 、地心与月心的距离为 r地月 、月球质量为 M 月 .则海水所受惯性力 F惯 ? ?ma ,因为月球 对地球引力所产生的加速度 a ?
GM 月 GM 月?m ,所以 F惯A ? F惯B ? . 2 2 r地月 r地月

A 处引潮力 F潮A ? F惯A ? FA ?

GM 月?m r
2 地月

?

GM 月?m (r地月 ? R地 )2



因为 r地月 ? R地 ,所以有 F潮A ? 同理 B 处引潮力
F潮B ? FB ? F惯B ?

2GM 月?m R地 . 3 r地月

GM 月?m GM 月?m 2GM 月?m ? ? R地 . 2 3 (r地月 ? R地 )2 r地月 r地月

其他地方的引潮力由于引力和惯性离心力不在同一直线上,要用到平行四边形法则,各 处的引潮力在地表分布如图所示, 它把地球表面上的海水沿地—月连线方向拉长成为一个椭 圆形球,离月球最近和最远处形成海水的高峰,地—月边线两侧形成海水的低谷.各处引潮 力的大小均与地月间的距离三次方成反比.随着地球的自转, 一昼夜之间有两个高峰和两个 低谷扫过每个地方,形成两次高潮和两次低潮. 同理可以分析计算太阳的引潮力,太阳引潮力与日地间距离的三次方成反比.下图是每 个月的大小潮示意,其中大潮一般发生在农历的十五,小潮一般在农历初一。而潮汐有时候会触发地震。

部分地震发生时间表: 唐山大地震:76 年农七月初二 神户大地震:95 年农十二月十七 印度大地震:93 年农八月十五 尼加拉瓜地震 2001 年正月初三 二.厄缶效应 早在在 19 世纪,匈牙利物理学家厄缶就明确指出: “沿水平地面向东运动的物体,其重量(即列车的视重或列 车对水平轨道的压力)一定要减轻. ”后来,人们常把这类物理现象称之为“厄缶效应” .我们设想,在地球赤道附 近的圾平线上,有一列质量是 M 的列车,正在以速率 v 沿水平轨道匀速向东行驶,如图所示.已知:地球的半径 R , 2π 地球的自转周期 T. 今天我们像厄缶一样, 如果仅仅考虑地球的自转影响 (火车随地球做线速度为 R 的圆周运动) T 时, 火车对轨道的压力为 N ; 在此基础上, 又考虑到这列火车相对地面又附加了一个线速度做更快的匀速圆周运动, 并设此时火车对轨道的压力为 N ? .由于科氏力的影响,火车对地面的压力就会变化,这个力比较容易判断,同学 们自己分析一下。压力变化了多少?

关于转动参考系神奇力学效应还有很多,比如,地球上的信风,地球上河流对于河岸的腐蚀等等(还有个有趣 的现象:北半球池子力的水往下流,爬山虎等藤蔓植物绕着树枝生长都是逆时针方向的) 。这里就不一一给大家介 绍了。

北半球的科氏力

信风的形成

旋风的形成

知识点睛 § 堆公式 物理的公式总的来说有两种,一种是描述一个物理态的,一种是预言某个物理过程的。 3.态方程 1.刚体平衡条件: ?Fi ? 0 力的矢量和等于零 ?Mi ? 0 作用于刚体的力对于矩心 O 的合力矩也为零,即 某个力的力矩定义为力臂与力的叉乘,即 常见力: 三.弹簧弹力 F ? kx 四.滑动摩擦 f ? ?N 五.静摩擦 f ? ?FN 六.万有引力 F ? G

M ? r?F

m1m2 r2

2. 对平动,一个物体加速度满足牛顿第二定律:

a?

? F 或? F ? m a
m
m v2 4? 2 ? m? 2 r ? m 2 r r T

改变速度方向的加速度垂直速度: a ? ?v , 对于圆周运动,向心力是改变速度方向的力: F ? m?v ?

【换系原则】使用牛顿定律经常要换参考系,变化参考系时必须补画惯性力,惯性力的大小等于受力物质量与参考 系绝对加速度之乘积 F惯 ? ?ma ,方向与参考系绝对加速度相反。 如果参考系是匀速圆周运动的转动参考系,则物体受惯性力有两个: 离心力:大小为 F ? m? r ,方向背向圆心。这个力基本不用解释,很容易理解推导。
2

科里奥利力:方程为 F ? 2mv相 ? ? 个别质量超大加速度很小的物体可以近似作为惯性系,处理“大小问题”很爽很强大。 3.对转动: 质点的角动量:矢径与动量的叉乘:L =r×p 行星的角动量: L ? mvr sin ? 角动量定理:

?

?

?

?L ?M ?t

也就是角动量改变是有外力的力矩实现的。 3.运动中的牵连速度 (1)杆或绳约束物系各点速度的相关特征是:在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速。 (2)接触物体在接触面法线方向的分速度相同,切向分速度在无相对滑动时也相同。 (3)线状交叉物体交叉点的速度是相交物体双方沿各自切向运动分速度的矢量和。 4.牵连加速度 (1)直角坐标系中某方向速度比等于加速度比(比如动斜面上的箱子)。 (2)用绳或者杆连接物体改变沿绳子速度大小加速度一直(注意沿绳子合加速度通常不一致),或者利用换系后 的圆周运动理解加速度关联,对于接触面为曲线的情况一般也采用换系后使用向心加速度公式推导关联加速度(比 如运动悬点下用绳子挂的球)。 3.过程方程 1.轨迹计算: 通常用坐标系分解去理解。比如抛体,可以分解为水平的匀速与竖直的与变速,当然也可以斜交,斜着正交分解。 这里不列关于任何关于匀变速以及抛体的“公式” ,避免大家认知呆板化。 2.质点的动量变化有力的冲量导致,即:

? ?? ?? ? ? ? ?? ? I 合 ? Ft ? p? ? p ? m(v ' ? v)

这个方程多数使用正交分解的矢量式。 对于一个质点系,内力总冲量为零,该方程也成立。如一个体系外力时刻为零,则动量守恒。动量方程与牛顿定 律方程不必同时列出,但与能量方程具备互补性。 3.一个物体,外力对之做功等于动能该变量,即:

? ?W

i

?

1 2 2 m(vt ? v0 ) 2

一个封闭体系,所以能量的总和为零,如有外力功,可理解为引入能量。以上能量方程只列一个即可,也不与牛 顿定律同时出现。

Mm r Mm 行星总能 E ? ?G 4.外力为零或者外力 F 通过定点,也就是有心力,那么相对于那个定点,力矩始终为零, 2a
行星势能 E p ? ?G 角动量守恒。 使用角动量注意参考点的选择。 开普勒行星第二定律是角动量守恒的具体体现。 5.三种状态量守恒 1.动量(P=mv)守恒:要求外力为零,或者某瞬间相对内力可以忽略不记,或者某方向外力为零。 2.能量守恒:只要把能量考虑全了就肯定守恒。 3.角动量(质点的角动量 mvrsinθ)守恒:要求外力为有心力。 【说明】以上只是一些物理的公式,只是构成物理大厦的元素。要真学会,首先需要的是对实际问题的模型处理,模 型就是忽略次要因素的实物。总结模型会提醒我们去用合适的物理方程处理问题,不过切记死记模型结论。更重要的 是学会物理学解决问题的思想方法,甚至是理解世界一切实物的思维方式。 § 理模型 到现在为止,我们接触了很多模型,以下我们会带领大家总结一些,但不会总结的过细。总结的越细对于解答陈 题效果一定越直接,但是对于思维的限制一定越死。这个工作我们希望由我们开头,大家可以根据自己的思维特点总 结道自己能对具体的问题正确作出解读为止。 二.轻物模型 这种模型的特点是无论处于任何态合力以及合力矩必定为零。具体来说,比如轻杆,只受两个点的外力时外力

一定沿杆等大反向。比如轻的斜面,外力为零且和相切的物体依然满足关联加速以及速度。比如轻弹簧,相连的物 体位置不变弹力就不变,两端力一定等大反向等。 三.纯滚模型 我们当初引入这个模型是为了让大家了解运动的合成原理以及提高大家的观察力。也验证了处理刚体旋转问题的 两种方法:瞬心法与质心法的等效。将来我们介绍惯量的时候会继续借用。 四.牵连模型 具体指牵连加速度以及牵连速度,不过要真弄明白还是看人,为什么有牵连关系?如何通过观察,描述,推理的 思路得出结论?不解释。这个模型结合动量能量一起考查的居多,列出的目的是为了提示思考。 五.瞬时作用模型 具体指碰撞之类的现象,我们一般用冲量,动量直接描述。根据材料的不同则可讨论是否生热,讨论机械能是否 守恒。 六.连续体模型 流体力学我们没有系统学习, 打散到各章中了, 这样导致了一些不系统不深入的问题。 不过只要有了基本的方法: 取对象的方法;基本公理:理想流体的定义就是没有切向力,外压在同一微元处处一样且指向受力面。相信比直接接 受流体力学的结论效果要好些。 七.中心天体模型 这是计算天体轨道最常用的模型,要求中心天体质量超级大,误差来源于中心天体不是严格惯性系。如考虑则必 须把方程中的 M 一概换为(M+m) 。 八.双星模型 考虑惯性力或者在质心处用等效引力源,或者用折合质量等等的方法处理。 以上是比较大的方面归纳模型,如果按试题分,还可以很细,脑子越懒越死板的人需要越细的模型总结。比如咱 北京市考高复习时一些教研员总结的“高考中热门的匀变速运动 13 大模型”,就深受广大教师与同学的欢迎。 有些问题我们还是给大家列一下,看是否对原理适用的细节提升有一定帮助。比如,利用箱子讨论支持力等效作 用点;利用连接体理解牛顿第二以及第三定律消灭力可以传递理论;利用分离问题考查关联加速度;利用打滑问题理 解摩擦力性质;利用连续体模型推导冲击压强与稳定压强等等。我们训练的目的除了提升大家对知识的认知高度,更 重要的是提升大家的思维能力。尤其是理论的检讨探究能力。 § 提方法 物理最核心的东西就是物理的思想与方法,总的来说,人类理性思维中一切对于理解世界有效的方法物理学都会 采用。从我们学习的角度,甚至仅仅从做题的角度,对物理方法的理解与熟练运用都是至关重要的。当然我们总结这 些不是想把这个课变成一个辩证唯物主义式的总结课,纯粹只提些打酱油的新概念,完全没有可以指导思维内涵。那 些方法对于我们思维是有实质效应的呢: 1.等效法 老祖宗留下的瑰宝之一,其思维模式是:要思考一个物理现象与一个物理参数的关系,先把研究对象拆成多个初 始条件一样,所遇到的物理环境一样的个体。如果我们可以确定我们的个体之间没有相互干扰或者相互干扰的总和为 零,则这个物理现象必与我们拆分的物理量成反比。这个方法浅显易懂,伽利略证明自由落体时用过,牛顿研究万有 引力用过。效思维的应用可以说是很广泛的,经过发展,衍生出“类比”,“对称”等方法。 4.分解法 这是很多刚进入高中的同学学习物理竞赛最头疼的地方,熟练根据实际问题的某些方向的运动特点。合理选择 分解的矢量,迅速得结果。总的来说,这个方法看答案轻松自己运用需要一定的锻炼。在各种物理现象中我们都在运 用而。 5.微元法 学竞赛竞赛学生最受喜欢也是最受不了的方法,数学思维的跟进慢的同学更受不了,这个方法总是要涉及“略去 不关键的因素”一步。我们的建议是快点熟练使用微积分的工具,正视数学。这是我们的课题最想引导我们同学面对 的一件事。在绝大部分的学校竞赛班,要么是把竞赛课讲成了完全不用微积分的“非主流”物理学,要么使用微积分恶 心跑了绝大部分不喜欢填鸭式方法学习数学的学生。我们给出的方案是用半年天天提“微分”“积分”“叉乘”这些数学运 算概念,但只是降低大家的心理防线,做题的时候基本不用。然后用一段时间专门系统的学习这些数学运算方法,再 逐步引导大家使用。当然,不同的同学适合不同的速度。 6.微扰法 在数学好像只是一些方程的变换,但是对应实际的情况是很“雷人”的思路,虚功原理就是应用这种思路提出的。 今后我们还将学习假设法,量纲法等等。 § 数学思维 关于数学对物理的意义永远不可能在不同的人群中获得共识,不过我们的提醒我们的同学注意两条:

一是正视数学的现实意义,这一点我们在我们的课程中一直潜移默化的灌输。由于物理学的语言是用方程描述的, 所以不熟悉数学完全无法领会物理的本质。更现实的是我们看到太多从小喜欢科学,有着旺盛探索欲的同学在大学因 为对物理的数学语言的不适应而放弃。他们是否真的不适合从事科学事业?显然不一定。 这里的责任学而思认为除 了咱们的大学在教学上有一定的问题外,高中物理老师普遍反感数学,对学生照成误导有很大的关系。 二是抽象思维的作用,显然是高效率的,很多看起来不相关的现象在数学思维上是等效的。比如我们在暑假班给 大家引入的自由度的概念。 大家用这个思维去辨析一下高中物理学中常用的整体法与隔离法为什么能解决问题?数学 的特点就是一个相互作用项对应着两个方程。所以我们总结一下我们同学学习的数学思维(不是知识): 三.函数思维:把物理方程理解成用两个已知量可求最后一个物理量这本身就是弱智的学物理的方式,我们首先应该 认识到物理方程是多变量函数,那么函数上的极值思路,单调思路,图形思维就可以和实际的问题结合起来。而不总 停留在那种“某个量越如何,另一个量就越如何的”初级思维上。更重要的是变化率的思维,很多高中的同学一直都不 能建立,做题再多,本能的还是会认为速度大的物体加速度大。动量大的物理受力多。如果我们能从函数的高度去理 解这些常规量之间的运算关系,不会出现那么多的常识思维障碍。 四.坐标系思维:这个我相信很多学习竞赛的同学会深有体会,不同的坐标系在描述不同的运动难易程度不一。所以 我们都做了介绍,但不强制要求。从讲课的角度,不从形象的例子开始讲述物理的物理课一定是失败的,但是学完后, 我们的同学依然还是用形象思维解决问题。我们说,这样的物理教育一定是低端的,万金油式的,廉价的。 五.自由度的思维:这个思维其实对于我们去思考问题有着无法替代优势。尤其那些量化关系庞杂的物理模型,希望 大家适当的加强对与一个物理问题自由度的思考。当然任何数学思维我们一贯只给予引导,但不强迫。 总的来说,关于什么是物理,如何学习物理,如何解决物理问题,我们的同学在今后的学习中一点一滴的去体会。 在基本学完牛顿质点力学后,我们想借此打开一扇门,关于力学,还有别的形式的描述么?今后我们还将处理那些困 难的问题?非质点体系(比如丢石头进水中,研究水波的形成的冲击)感觉牛顿的质点法完全不实用,怎么去处理? 下个学期的物理竞赛课堂,学而思,大家继续体会前辈物理学家的精彩工作。 第一部分 数列极限

知识点睛
先思考这个问题 0.9999? 和 1 哪个大? 纯洁而朴素的想法如下: 0.9 ? 1 , 0.99 ? 1 , 0.999 ? 1 ,所以无限循环小数 0.9999? 小于 1。然而事实并非如此。 令 x ? 0.9999? ,则有:

相减得到: 所以 x ? 1 ? 0.9999?

10 x ? 9.9999? x?0.999 ? 9 9x ? 9

为了解释这样的事情,我们做如下分析,构造数列 an :

an ? 0.99...9 ?
n

显然数列里面的每一项都是小于 1 的。但是 0.9999? 并不在这个数列中。因为数列里面每一项都是有限小数,

0.9999? 是无限小数。当项数 n 不断增大的时候 an 不断靠近 0.9999? ,却一直不等于 0.9999? 。我们这样定义
数列的极限: 如果存在一个实数 p 使得:对于任意的实数 ? ? 0 ,都存在一个整数 n ,使得对于任意 m ? n , | am ? p |? ? , 那么就叫 p 是数列 a n 的极限,记作 p ? lim an 。否则叫数列 a n 没有极限。
n ??

可以这样形象地理解这个定义:当 n 很大的时候, a n 与 p 要多靠近就有多靠近; n 越大, a n 与 p 就越靠近。 但是并不要求 a n 要等于 p 。

回到刚才的例子, 0.9999? 是数列 an ? 0.99...9 ?的极限。证明如下:
n
?n 对于任意一个实数 ? ? 0 ,总有一个整数 n 使得 ? ? 10 ,则对于 m ? n ,

| am ? 0.999...|? 0.00...099... ? 0.00...01 ? ? ? ? 。按照极限的定义 0.9999? 是数列的极限,同理 1 也是数列的极限,
m m?1

二者是相等的。 不加证明的给出几个定理,有兴趣的同学可以自己证明: [定理] 如果数列存在极限 p1 和 p2 , p1 ? p2 [定理] 如果数列的极限存在,则其无穷子数列极限存在,并于原数列相等。 [定理] 单调有界数列一定存在极限 [定理] [夹逼定理]如果数列 an ? bn ? cn ,并且 an , cn 的极限都是 p ,则 bn 的极限也是 p [定理] 如果数列的极限存在,那么其子数列极限一定存在并且与原极限相等 注意:数列的极限反映的是数列的变化趋势,是一个数,这个数并不要求在这个数列中出现。 下面给出一些运算时常用的定理: [定理] 如果两数列分别存在极限 p1 、 p2 ,则两数列和数列的极限为 p1 ? p2 [定理] 如果两数列分别存在极限 p1 、 p2 ? 0 ,则两数列商数列的极限为 p1 / p2 一般在实际计算极限的时候不会真的按照定义证明, 而是使用一些现有的结论简化计算。 通常计算极限的方法: 如果一个数列的极限存在,并且满足一元初等运算的条件(例如根号下面数大于等于 0,对数的底数大于 0,不等 于 1) ,则做一元运算后的极限(如果存在) ,等于先取数列的极限,然后对极限进行一元运算的结果,例如指数、 对数、三角函数;如果两数列分别存在极限,则在满足二元初等运算一般条件的时候,两个数列二元运算后数列记 得极限(如果存在)等于两数列取极限然后再做二元运算,例如加法、乘法、除法、乘方等。 如果发现表达式的某些部分不满足以上条件的时候,而整体的极限可能存在,例如形如 0/0、无穷/无穷、无穷无穷,应当设法将发散的其他部分组和,以期望得到可以判定的结果。

第二部分 函数极限

知识点睛
有时候我们关心,当函数的自变量趋于某一个位置的时候,函数值的变化趋势。例如观察函数 f ( x ) ? 图像。这个函数在 x ? 0 的位置没有定义,但是当 x 趋于 0 的时候,函数值平稳的趋近于 1。见下表:

sin x 的 x

x 1 0.1 0.01 0.001

sin(x)/x 0.84147098 0.99833417 0.99998333 0.99999983

1.1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 -8.6 -3.6 -0.1 -0.3

sin(x)/x

1.4

6.4

x

我们用以下的方法描述函数在某一点的渐进性为: 对于函数 f ( x ) ,如果其在区间 ( x0,x0 ? ? ) , ? ? 0 内有定义,并且存在 p 使得,对于任意 ? ? 0 ,存在

0 ? ? ? ? ,使得对于任意 x ? ( x0,x0 ? ? ) , f ( x) ? p ? ? ,那么称 f ( x) 在 x0 点处存在右极限 p ,记做
p ? lim? f ( x)
x ? x0

类似的可以定义左极限, p ' ? lim? f ( x) ,如果左极限等于右极限,则不区分二者,直接称为函数在 x0 存在极限,
x ? x0

记做: p ? lim f ( x) 。对于连续函数,定义域内极限总是存在的,并且有左极限等于右极限,并且就等于其自身在
x ? x0

那一点的函数值。数列极限的各种运算法则和定理一般情况下都适用于函数极限的运算。 类似的,可以定义函数在无穷远点的极限: 一个函数在区间 x ? ( A, ?) 内有定义, A 为任意实数,如果存在 p 使得,对于任意 ? ? 0 ,存在 B ,使得对于 任意 x ? B ,有 f ( x) ? p ? ? ,那么称 f ( x ) 当 x 趋于正无穷时有极限 p ,记为 lim? f ( x) ? p 。类似的可以定义
x ??

f ( x) 当 x 趋于负无穷时有极限 p ,记为 lim? f ( x) ? p 。
x ??

有时候当 x 趋近于某个数,或者 x 趋向于无穷大时,函数值“要多大有多大” (其实就是把极限定义中的 ,这时候形象的记做: lim f ( x) ? ? 。读作 x ? x0 时, f ( x ) 趋向于无穷。例 f ( x) ? p ? ? 换为 f ( x) ? p ? ? )
x ? x0

1 ? ? 。这代表 f ( x) 在这一点的极限不存在,并且是以趋向于无穷的方式不存在。一个极限不存在并不 x ?8 1 一定意味着它趋于无穷,例如 lim sin( ) ,这个函数的极限并不存在,而且它也不趋向于无穷,而是在-1 到 1 之间 x ?0 x
如 lim
x ?8

来回振荡。 和计算数列的极限一样,实际计算函数极限的时候也不会每次都用极限的定义计算。实际操作的时候会先观察 极限存在的情况。有一些基本的函数直接知道极限的情况。例如 lim x , n ? 1 时趋于无穷,1 ? n ? 0 时等于 0。然
n x ??

后尽量把函数化成几部分的初等运算,而每一个部分极限都是存在的,并且使部分之间的运算不出现发散。这时候 可以先求每一部分的极限,然后再对各部分的极限进行初等运算,得到最后的极限。 极限在物理学中的应用是广泛的。回忆秋季第一讲,瞬时速度、瞬时加速度都是利用极限定义的:

vx (t ) ? lim

?t ? 0

v (t ? ?t ) ? vx (t ) x(t ? ?t ) ? x(t ) ; ax (t ) ? lim x ? t ? 0 ?t ?t

例如对于匀加速直线运动:

1 s (t ) ? s0 ? v0t ? at 2 2 s (t ? ?t ) ? s (t ) v(t ) ? lim ?t ? 0 ?t 1 v0 ?t ? at ?t ? a?t 2 2 ? lim ?t ?0 ?t 1 ? lim(v0 ? at ? a?t ) ? v0 ? at ?t ?0 2
同理计算瞬时加速度。

第三部分 导数

知识点睛
1 导数的引入 观察平均速度的定义: v?

s(t ? ?t ) ? s (t ) 。瞬时速度是上面式子时间差趋于 0 的结果。 ?t

s ( t? ? t)? s ( t) v(t )? l i m 。可见瞬时速度并不是近似值,而是通过极限能获得严格定义的。我们把这样的极限叫 ?t ? 0 ?t s (t ? ?t ) ? s (t ) ds ? 。注意导数不是和乘法和除法一样的二元函数,而是 做位移 s 随着时间 t 的导数: v(t ) ? lim ?t ? 0 ?t dt
反映了函数值随着自变量的变化关系。一个物理量随着另一个物理量的变化率也经常是一个物理量。 例如初中学过的两个公式: I ?

U Q ; I ? 。前一个公式当让是时刻成立的,即使 U (t ) 和 R(t ) 随时间变化, R t

计算出来的量就是当前时刻的电流值 I (t ) ;然而如果把相同的想法放到第二个公式结果就荒谬了。只有当电流不变 的时候才正确。因为第一个方式是瞬时的方程,第二个方程描述的一个过程,算出来的是平均值。只有当 t ? 0 的 时候,结果才是某一时刻的电流。像第二个这样的方程里面的除法,实质上是需要取极限,变成求导数。从这个意 义上讲,导数扩展了物理量的定义,例如:加速度是速度随时间的导数 a (t ) ? 量的随时间导数 F (t ) ?

dv ; 物体受到的合外力等于动 dt

dp dW ;力等于其做功随位移的变化率 F ( s ) ? 。 dt ds

2 导数的定义 观察函数 y ? f ( x) 上的两个点 ( x0 , y0 ) 和 ( x0 ? ?x, y0 ? ?y) 。连接这两个点得到函数的一条割线。割线的斜率 是k ?

y

?y 。当 ?x 趋于 0 时,割线也就趋近于切线。于是我们得到函数上一点 ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

切线斜率的公式:

k ? lim

?x ?0

?y
?x

如果这个极限存在, 也就表明函数在这一点的切线能唯一确定。 显然切线的斜率 是切点横坐标的函数。 我们叫这样的函数叫做原函数的导函数, 简称导数。 记号:

x

df d f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f ? f '( x) ? lim ?x ?0 dx dx ?x
当上面取极限的方式是从右边趋于 0 时,得到的导数叫做右导数,从左边趋于 0 时,得到的导数叫左导数。 “正常”的函数(由初等函数构成,连续,没有发散)

左导数等于右导数。

一些常见的函数的导数可以直接按定义计算。 多项式:
2 n?x ? x n?1 ? Cn ?x 2 x n?2 ? ... dx n ( x ? ?x)n ? x n ? lim ? lim ? nx n?1 ? x ? 0 ? x ? 0 dx ?x ?x

我们不加证明的给出,函数有定义的时候,对于任意 n ? R ,

dx n ? nx n ?1 dx

三角函数:

d cos x cos( x ? ?x) ? cos x ? lim ? x ? 0 dx ?x

cos x cos ?x ? sin x sin ?x ? cos x ?x ?0 ?x sin ?x 1 ? cos ?x ? ? sin x lim ? cos x lim ?x ?0 ? x ? 0 ?x ?x ? ? sin x ? lim
同理

d sin x ? cos x dx

de x 指数函数: ? lim lim dx ?x?0 n??

1 1 (1 ? )n ( x ??x ) ? (1 ? )nx n n ?x 1 (1 ? )n?x ? 1 1 nx n ? lim lim(1 ? ) ? lim lim ? e x ?1 ? e x ?x ?0 n?? ?x ?0 n?? n ?x

对数函数:对数函数作为指数函数的反函数,其切线的斜率等于指数函数的切线的倒数。指数函数 y ? e x 在

n x )点斜率为原来的纵坐标的倒数,即现在横坐标的倒数, ( x, e x )点的斜率为 e ,所以对数函数 y ? ln x 在( x,l
x

所以

d ln x 1 ? dx x
以上是一些初等函数的求导公式,大家务必牢记。 3 求导法则 3.1 加法的导数等于导数的加法。 3.2 u ( x)v( x) 求导数:

du ( x)v( x) u ( x ? ?x)v( x ? ?x) ? u ( x)v( x) ? lim ? x ? 0 dx ?x

(u ( x) ? ?xu '( x))(v( x) ? ?xv '( x)) ? u ( x)v( x) ? O( ?x 2 ) ? lim ?x ? 0 ?x ?xu '( x)v( x) ? ?xv '( x)u ( x) ? lim ? u 'v ? v 'u ?x ? 0 ?x
记忆:乘法的导数等于第一个导数乘以第二个+第二个导数乘以第一个 推论

d (u ( x) / v( x)) u 'v ? v 'u ? u '( x) / v( x) ? u ( x)(1/ v( x)) ' ? dx v2

记忆:除法的导数 等于分母不动乘以分子导数减去分子不动乘以分母导数,再除以分母平方。 3.3 f ( g ( x)) 求导数:

df ( g ( x)) f ( g ( x ? ?x)) ? f ( g ( x)) ? lim ? x ? 0 dx ?x

f ( g ( x) ? ?xg '( x) ? O(?x 2 )) ? f ( g ( x)) ?x ?0 ?x f '( g ( x))?xg '( x) ? O(?x 2 ) ? lim ? f '( g ( x)) g '( x) ?x ?0 ?x ? lim
记忆:复合函数的导数,两个函数分别求导数再相乘。 不论多复杂的函数的初等函数复合而成的函数都可以利用上面的求导法则进行计算。从这个意义上讲,是没有 求导我们不会计算的。

第四部分 导数在运动学中的应用

知识点睛
如果能写出一个物体的位移随时间关系,那么直接求导数就可以得到速度和加速的。 受到几何条件约束的物体,各个参数要满足几何条件带来的约束方程。这种情境下各参数的变化率也会满足约 束关系。我们之前总结了几种常见模型:接触、滚动、一根杆上两点,并给出了这些模型中的速度和加速度的约束 关系。实质上速度约束关系是由位移约束关系求导得到的,加速度约束关系是由速度约束关系求导数得到的。在处 理实际问题的时候,直接写我们总结的模型中的速度加速度约束关系和写出位移约束关系然后求导数是完全等价 的。如果模型比较复杂,或者拿不准用哪个模型,可以考虑用后一种方法来做。 第一部分 洛比达法则

知识点睛
有时候会遇到 0/0 型的极限式,即分子分母的极限分别为 0,例如 lim
x ?0

x2 ? x 。当 x ? 0 的时候, x3 ? 2 x 2

x3 ?? x 2 ?? x ,可见 x 的高阶量相对于低阶量可以忽略。对于多项式求导可以降低阶数,当阶数降到 0 的时候,
极限不再是 0,可以直接计算了。按照这条思路前人发明了洛比达法则:

lim

u ( x) u '( x) ? lim ;如果 lim u ( x ) ? 0且 lim v( x) ? 0 x?a x?a x ?a v( x) x ?a v '( x)

我们不打算证明这个定理,只做如下说明: 如果 u (0) ? 0, u '(0) ? a ; v(0) ? 0, v '(0) ? b ,则

u ( x) 0 ? ax a ? ? 。 v( x) 0 ? bx b

当然,如果分子分母的一阶导数是 0,可以继续使用洛比达法则,直到不再是 0/0 型为止。 第二部分 函数的单调性和极值

知识点睛
如果函数在某点切线斜率为正,导数大于 0,则显然在这个点附近函数是增函数,反之如果函数在某点切线斜 率为负,导数小于 0,则在这个点附近函数是减函数。利用求导数的办法可以判定函数的增减性。在画复杂函数图 像的时候可以先画一个特殊点,然后判定函数的增减性,从而画出函数的大致形状。 如果一个连续的可导函数在开区间 ( a, b) 上有最大值,则在函数 y y 取最大值 x0 那一点,一定型如下图,最大值在一个“山包的顶上” 。 这一点的切线显然是 0,换句话说这一点的一阶导数为 0。如若不然, 设 f '( x0 ) ? 0 ,则 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;设 f '( x0 ) ? 0 ,则

x0
0 x0 0

x1

x x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,均与函数在 x0 那一点取最大值矛盾。同理,如

果一个连续的可导函数在开区间 ( a, b) 上有最小值,则函数取最大值 x0 那一点一阶导数为 0。注意,如果给定的是 闭区间,则还有另一种可能性:函数的最大最小值在边界取到。这时候并不能得出结论:最大最小值点的一阶导数 为 0。 反过来,如果函数一阶导数为 0,并不意味着函数取最大最小值。如图所示。虽然在 x0 点导数为 0,让函数站 在一个山头上,但是一山更比一山高, x1 的函数值更大。山头的点虽然不是最大值,但是也确实不用于其他点。我 们把一阶导数为 0 的点叫做函数的极值点。 当两阶导数大于 0 的时候叫做极小值, 两阶导数小于 0 的时候叫极大值, 两阶导数等于 0 的时候可能是极大值,可能是极小值,也可能什么都不是。 总结一下:求函数极值点只需要令其一阶导数等于 0;闭区间求有界函数最大值,需要先找出所有极值点,然 后找出边界点,比较这些点函数值,最大的是最大值;开区间求有界函数最大值,需要先找出所有极值点函数值, 然后找出边界上的函数的极限值,比较这些值,如果边界极限最大,则开区间内无最大值,否则是最大的那个极值 点。 举一个物理中的例子。在保守力(例如重力、弹力等只和位置有关的力)的作用下,物体平衡的位置就是势能 取极值的位置。比如用一根劲度系数为 k 弹簧吊着一个质量为 m 的物体,用 x 代表弹簧的伸长量。这样可以把系统 的势能写成 x 的函数。假设在一个外力作用下物体缓慢的从 x 移动到了 x ? dx ,这段时间内外力(令 dx 方向为正 方向)做的功是 dW ? F外dx 。由功能原理得到:势能变化 dEp ? dW ? F外dx 。重力与弹力的合力应当与保持平衡 的外力相反,所以 F ? ?

dE 。这就是势能和对应的力之间的一般公式。现在令 x 为竖直向上方向。于是有 dx 1 dE dE E ( x ) ? kx 2 ? mgx ,显然有 F ? ? ? kx ? mg 。当 E 取极值时 F ? ? ? 0 ,正是所期待的力平衡方程。如 2 dx dx

果 E 是极大值,则是不稳定平衡,如果 E 是极小值则是稳定平衡。 第三部分 偏导数与条件极值

知识点睛
物理代表着一种思考与处理问题的方式:观察现象,提出一个模型解释问题;如果不同问题模型有共同点,那 么就可以总结出经验公式甚至定律或者原理。熟练掌握了这样建模解模的能力,不仅能处理物理问题,各类实际生 活相关的问题都能触类旁通。特别是到了当代,物理学在经济学中的影响越来越大,摩根大通等大财团纷纷开始雇 用具有物理背景的专业人士从事风险管理等工作。 日常生活中以至于经济学中,需要的函数经常关于几个变量的同时变化,例如矩形面积 S ? ab ,这时候叫 S 是 关于 ab 的二元函数 S (a, b) 。固定其中一个变量 b 为常数,则函数退化为一个一元函数: F (a) ? S (a, b) |b?b0 。对 着这个一元函数求导数,结果叫做 S (a, b) 对 a 的偏导数,记为

?a S 。同理定义

?S S (a, b ? ?b) ? S (a, b) ? lim 。对于二元函数可以形象的观察其几何意义:函数图象是在一个 ? b ? 0 ?b ?b

?S S (a ? ?a, b) ? S (a, b) ? lim ,有时候也简记为 ? a ? 0 ?a ?a

二维平面上画出的一个地形图。固定一个变量 b ? b0 ,相当于用 b ? b0 这个面去截这个图形得到的曲线。 多元函数求极值的方法和一元函数很类似。把一个变量作为自变量,其它变量当常数,得到一个一元函数,求 导数。联立求解对所有变量的求导数得到的方程后解得的点叫做稳定点。可以证明,如果极值点存在,则一定在稳 定点上。 实际情况还可能对些自变量有限制条件,例如另矩形周长为常数 L ? 2a ? 2b ? C 。这种情况叫做条件极值。 条件极值的一般方法是拉格朗日乘值法: 需要求极值的目标函数是: G( x1 , x2 ...xn ) 限制条件 F 1 ( x1 , x2 ...xn ) ? 0 设一个参数 ? 然后构造新的目标函数 I ( x1, x2 ... xn , ?1, ?2 ..., ?s ) ? G( x1, x2... xn ) ? ? F ( x1, x2... xn ) 然后对新的

目标函数求 x1, x2 ... xn 求偏导数,和限制条件一起联立得到的方程的解就是稳定点。然后综合判断边界条件决定最 值的位置。 如果限制条件有 s 个,类似的设 s 个参数 ?i ,造出新的目标函数
i

I ( x1 , x2 ...xn , ?1 , ?2 ..., ?s ) ? G( x1 , x2 ...xn ) ? ? ?i Fi ( x1, x2 ...xn ) ,再求偏导数即可。

第四部分 小量展开

知识点睛
小量展开核心的想法是:多项式总是比一般函数简单的。如果能用多项式在代替原来复杂的函数,那么问题处 理起来会简单很多。这样做好处跳出具体繁复的方程,凸显物理图像。这么做的代价是我们得到的是近似解。下面 我们可以看到这样的误差是可以受到控制的,在一定条件下这样的误差是完全可以忽略的。 如果某函数在一个区间内有左导数等于右导数(我们在物理里面见到的,看起来“正常”的函数都满足这样的 性质) ,这时候我们又叫原函数可导,或者可微。如果函数在 x 点可微,那么在 x 点附近,函数图像几乎是一条直 线。

f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f '( x)?x ? O(?x2 )
其中 O(?x2 ) 代表 ?x 的二阶小量,也经常写为 O (2) 。n 阶小量的定义是:

O(?x n ) O(?x n ) ? 0; lim 而 存在并不等于 0,也就是说当 x ? 0 的时候,小量的阶数越高,就越快 ?x ?0 ?x n ?1 ?x ? 0 ?x n lim
的趋紧于 0。 显然,当取 ?x ? 0 极限的时候,高阶小量/低阶小量都是等于 0 的,计算高阶小量+低阶小量的极限的时候, 高阶小量一般可以忽略。 我们可以对导函数继续求导,只要导函数的导数存在。两次求导之后的结果叫做两阶导数,记做:

d

df 2 dx ? d f ? f ''( x) ? f (2) ( x) ? lim f '( x ? ?x) ? f '( x) ?x ?0 dx dx 2 ?x
f ( n?1) ( x ? ?x) ? f ( n?1) ( x) ?x

这时候我们叫原函数两阶可导。类似的只要一个函数的 n-1 阶导数可导,则可以定义 n 阶导数,记做

f ( n ) ( x) ? lim

?x ?0

我们不加证明的给出如下公式:如果某个函数 n 阶可导,则

f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f '( x)?x ?

1 1 1 f ''( x)?x 2 ? f (3) ( x)?x 3 ? ... ? f ( n ) ( x)?x n ? O(n ? 1) 2! 3! n!

这个公式叫做泰

勒公式,当 x ? 0 时又叫做麦克劳琳公式。这个公式的基本想法是:在某一个点附近,我们可以用一个多项式来拟 合原函数,多项式的系数由函数在那一点的导数决定。也就是说某一点的各阶导数实质上包含了附近其它点函数值 的信息。用 n 次多项式拟合原函数,这样做的误差是一个 n+1 阶小量。 例如,对 f ( x) ? e x 在 x ? 0 点处做展开:

f ( x) ? ex ; f '( x) ? ex ; f ''( x) ? ex ... f ( n) ? ex ;
x x3 x 4 x5 f ( x) ? 1 ? x ? ? ? ? ? ... 2 6 24 120
我们把 1 叫做 e 的 0 阶近似, 也叫 0 阶泰勒展开;1 ? x 叫做 1 阶;1 ? x ?
x

x2 x 叫做二阶, 以此类推。 下面给出 e 2

与其 0-3 阶近似的对比图。可以形象地看见,随着近似阶数上升,泰勒展开逐步逼近原函数。

也可以这么理解这个公式,函数某一点的高阶导数,包含了其附近函数值的信息。当函数的高阶导数存在,并 且在所需要逼近的区域内有“良好的定义” (比如连续、可导、有界) ,泰勒展开的结果总是逼近原函数的。但是当 考虑的区域越过函数的发散点时,泰勒展开就往往不成立了。例如函数 f ( x ) ?

1 ,在 x ? 0 点附近展开时,泰 1? x

勒展开是成立的。但是考虑的区间扩大到 x ? (?2, 2) ,即越过 x ? 1 这个奇点时,泰勒展开的结果就显得荒谬了。在

x ? 1 的区域,随着展开阶数的增大,展开式反而远离目标函数。
20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 0.0 0.5 1.0 1.5 f(x)=1/(1-x) 4阶 3阶 2阶 1阶 0阶 5阶

当我们考虑物理问题的时候,实际过程往往是繁复而杂乱的。为了突现主要矛盾,抽象出明晰的物理图象,近 似是一定需要的。其中一种近似方法就是基于泰勒展开。先考虑主要的、简单的效应,然后把剩余的部分作为小量, 逐阶加入方程求解。这样的方法叫做微扰。例如在计算炮弹的轨迹的时候,先不考虑空气阻力,这样解出来是抛物 线。然后用最简单的形式表达空气阻力,得到所谓弹道曲线,然后再把空气阻力的各种修正项加上,逐渐逼近真实 结果。微扰论是 20 世纪上半叶之前处理复杂体系最为有效的方法,几乎在物理学的每个分支中都有应用。然后随 着物理学的继续发展,人们逐渐意识并不是所有问题都可以用微扰处理的。情况很类似于上面的例子,当函数越过 一个奇点,量的积累引发质的变之后,泰勒展开就不再收敛了。例如湍流、斑图、强相互作用,乃至于生命都是不 能用微扰论处理的。于是人们发展了各种非微扰的办法处理这样的前沿学科。 泰勒展开在竞赛物理中的应用常常表现小量展开。在一个表达式中如果某个量 x 远小于 1,则把整个表达式看 作 x 的函数, 在 x=0 处作泰勒展开, 把表达式写成 0 阶+1 阶+2 阶+…的形式, 然后根据具体需要, 保留一定的阶数。 实际计算中不会真的每次都求导数,下面的公式是方便的,需要熟练使用:

(1 ? x) n ? 1 ? nx ?
x

n(n ? 1) 2 x ? O(3) 2

90%的题目是用这个公式展开到第一阶。一定要记住! ! !

x2 e ? 1 ? x ? ? O(3) 2 sin x ? x ? x3 x2 ? O(5) ; cos x ? 1 ? ? O(4) 6 2

?

如图考虑一个摆长为 l 的单摆的受力情况。物体受到的合外力大小为 mg sin ? ,其水平方向分量为

Fx ? ?mg sin ? cos? ,竖直方向分量为 Fy ? ?mg sin ? sin ? 。当单摆的摆角足够小的时候, ? ?? 1 ,做泰勒展开
得到:

Fx ? 0 ? mg? ? 0 ? O(3)

Fy ? 0 ? 0 ? mg? 2 ? O(3)
水平方向最低阶不为零的项是一阶小量,所以保留到一阶。类比偏离平衡位置的弹簧的作用力发现二者具有相 同的形式,所以二者具有相同的运动规律,都是简协振动。竖直方向的受力最低阶不为零的项是二阶小量,所以相 比较于水平方向的运动,竖直方向可以忽略。 再考虑这个体系的势能。与平衡位置相比,体系势能的变化为:

Ep ? mgl (1 ? cos? )
做泰勒展开得到:

1 E p ? 0 ? 0 ? mgl? 2 ? O(3) 2
最低阶不为零的项是二阶小量,所以我们下结论:考虑单摆的时候,能量需要计算到第二阶。事实上,平衡位 置附近做周期振荡的体系,能量通常都需要算到第二阶。注意:对于周期振荡的系统,描述体系的变量(例如 ? ) 和其对时间的一阶导数(例如

d? ,通常用 ?? 表示)是同阶的小量。所以体系的动能写出来: dt 1 1 ?2 Ek ? mv 2 ? ml 2? 2 2

也是二阶小量。 我们现在做的一个标量函数的小量展开,有时候我们需要对一些矢量或者几何图形里的量做小量展开。其核心 想法是一样的,留下最低阶不是 0 的小量,忽略高阶的。 例如在考虑半径为 r,角速度的匀速圆周运动的时候,计算一小段时间 ?t 内物体速度的变化。实际速度变化的大小

? ? ?? ?? ?v 是 2v sin ,方向与初始时刻的法向夹角为 。计算加速度的时候有 a ? lim , ?t ?0 ?t 2 2

??

所以只需要把 ? v 计算到一阶小量即可。 把 2v sin

?

? ?? ?? ? 0 ? ? 2 r ?t ? O(2) 。 按 ?t 展开有,2v sin 由于 ? v 在 2 2

法向投影需要乘以 cos ?? ,切向分量需要乘以 sin ?? ,所以法向分量是一个一阶小量,而切向是一个二阶小量。 计算瞬时加速度取极限之后,法向加速度为 ? 2 r ,切向加速度为 0。 第一部分 单元函数积分

知识点睛
引入:物理公式分类 物理公式分成:状态方程(初中常见,例如牛二,万有引力)和过程方程(例如动能定理,动量定理) 。判定 以下方程是状态方程还是过程方程: m ? ?V ; F ? ma ; x ? vt 看下面两组方程

I?

U ; U ? IR R

q ; q ? It t 前一组是状态的方程。后一组是过程的方程。当电流是常数的时候,两个式子都是对的。然后电流是变化的时 候,前一组方程还成立,后一组得到的就不是电流了,而是电流的平均值。如果还要求结果是瞬时的电流,必须把 第二组第一个变成求导数,后一个方程就把乘积变成了对瞬时的电流*时间再求和,也就是我们今天要学的积分。 先看两个例子: 一 变速直线运动的路程。 我们都熟悉匀速直线运动的路程公式。如果物体的速率是 v ,则它 t a 到 t 0 - 段时间间隔内走过的路程是 I?
s ? v ?tb ? ta ?

对于变速直线运动来说,物体的速率 v 是时间的函数: v ? v ? t ? ,函数的图形是一条曲线(见图 ? a ? ) ,只有在匀速 直线运动的特殊情况下,它才是一条直线(参见图 ? b ? ) 。对于变速直线运动, s ? v ?tb ? ta ? 式已不适用。但是,我 们可以把 t ? ta 到 t ? tb 这段时间间隔分割成许多小段,当小段足够短时,在每小段时间内的速率都可以近似地看成 是不变的。这样一来,物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算,然后把各小段时间 里走过的路程都加起来,就得到 t a 到 tb 这段时间里走过的总路程。 设时间间隔 ? tb ? ta ? 被 t ? t1 ? ? ta ? 、t 2 、t3 、 ?、t n 、tb 分割成 n 小段, 每小段时间间隔都是 ?t , 则在 t1 、t 2 、t3 、 ?、
t n 各时刻速率分别是 v ? t1 ? 、 v ? t2 ? 、 v ? t3 ? 、?、 v ? tn ? 。如果我们把各小段时间的速率钞看成是不变的,则按照匀

速直线运动的公式,物体在这些小段时间走过的路程分别等于 v ? t1 ? ?t 、 v ? t2 ? ?t 、 v ? t3 ? ?t 、?、 v ? tn ? ?t 。于是, 在整个 ? tb ? ta ? 这段时间里的总路程是
s ? v ? t1 ? ?t ? v ?t2 ? ?t ? v ?t3 ? ?t ? ?v ?tn ? ?t
? ? v ? ti ? ?t
i ?1 n

t2 、 t3 、 t n 各点垂线的高度分别是 v ? t1 ? 、 现在我们来看看上式的几何意义。 在函数 v ? v ? t ? 的图形中, 通过 t ? t1 、 v ? t2 ? 、

,所以 v ? t1 ? ?t 、 v ? t2 ? ?t 、 v ? t3 ? ?t 、 v ? tn ? ?t 就分别是图中那些狭长矩形的面积,而 v ? t3 ? 、?、 v ? tn ? (见图 ? b ? )

? v ? t ? ?t 则是所有这些矩形面积的总和,即图中画了斜线的阶梯状图形的面积。
i ?1 i

n

二 变力做功

如果力 F 是随位置变化的,即 F 是 s 的函数: F ? F ? s ? ,则不能运用式来计算力 F 的功了。这时,我们也需要像 计算变速运动的路程那样,把 ? sb ? sa ? 这段距离分割成 n 个长度为 ?s 的小段(见图) ,并把各小段内力 F 的数值近 似看成是恒定的,用恒力作功的公式计算出每小段路程 ?s 上的功,然后加起来取 n ?? 、 ?s ? 0 的极限值。具体 地说,设力 F 在各小段路程内的数值分别为 F ? s1 ? 、 F ? s2 ? 、 F ? s3 ? 、?、 F ? sn ? 。则在各小段路程上力 F 所作的功 分别为 F ? s1 ? ?s 、 F ? s2 ? ?s 、 F ? s3 ? ?s 、 F ? sn ? ?s 。在 ? sb ? sa ? 整段路程上力 F 的总功 A 就近似地等于 ? F ? si ? ?s ,
i ?1 n

A ? F ? sb ? sa ? 。

当力与物体移动的方向一致时,在物体由位置 s ? sa 移到 s ? sb 的过中,恒力 F 对它所作的功为

因 为 实 际 上 在 每 小 段 路 程 上 力 F 都 是 变 化 的 , 所 以 严 格 地 计 算 , 还 应 取 n ?? 、 ?s ? 0 的 极 限 值 , 即
A ? lim ? F ? si ? ?s 。
?s ?0 n ?? i ?1 n

同上例,这极限值应是 ? sb ? sa ? 区间内 F ? s ? 下面的面积(见图) 。

我们把计算函数与横轴圈出的面积的极限定义为定积分:

?

sb

sa

F (s)ds ? lim ? F ? si ? ?s
?s ?0 n ?? i ?1

n

我们把算面积的起点和终点 Sa , Sb 叫做积分的下限和上限。 每次都通过极限计算定积分是不现实的。如果一个函数满足 叫 f ( x ) 的原函数。我们不加证明的给出:

dF ( x ) ? f ( x ) ,叫 f ( x) 是 F ( x) 的导函数,F ( x) dx

?

b

a

f ( x) ?F (b) ? F (a) 。这就是著名的牛顿-莱布尼兹公式。我们只做简

单的说明:当积分上限增加 ?x 的时候,面积增加 f ( x)?x ,可见积分结果随着积分上限的变化率为 f ( x ) 。我们定 义下限大于上限的丁积分为圈出的面积的负值,这样定义就能保持牛顿-莱布尼兹公式依旧成立。 从导函数求原函数的过程叫做不定积分。由于常数求导数等于 0,一个导函数对应着不只一个原函数,相差一 个常数,经常记做 C。定积分是针对一个函数取上下限计算面积,结果是一个数。不定积分是求导数的逆运算,结 果是一群相差常数的函数。 二者通过牛顿-莱布尼兹公式联系起来。 通常是通过计算不定积分, 代入公式求得定积分。 通过基本求导公式可以计算基本不定积分。 第二部分 简单的微分方程

知识点睛
物理规律经常同时包括某个物理量和其导数。这样的方程不同于一般的代数方程,不能通过初等运算直接的到 物理量的关系。这样的方程叫做微分方程。我们不系统的介绍微分方程的理论,只是告诉大家一般的解法。 【思路总结】我们可以总微分方程的一般解法。 1. 首先根据具体问题,写出物理规律对应的方程。 2. 根据要求选取适当的自变量。

3. 4. 5. 6.

然后把整个方程写成应变量与自变量的微分的形式。 然后分离变量,使得等号的同侧只含有共一种变量。 最后带入起止条件做积分,得到结果。 解微分方程本质是通过物理量在特定状态下的关系,推演出其在一个过程中的变化规律。

第一部分:振动的受力特点以及参数 知识点睛 一、模型引入 1.什么是振动? 振动是自然界和工程技术领域常见的一种运动,广泛存在于机械运动、电磁运动、热运动、原子运动等运 动形式之中.从狭义上说,通常把具有时间周期性的运动称为振动.如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的 交通工具都有机械振动.

如图:振动演示实验:当振子往复振动时,匀速的拉动纸带,就可以研究振子离开中心位臵的位移与时间的关 系。 广义地说,任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化,都称为振动.变化的物理量称为振动量,它 可以是力学量,电学量或其它物理量.例如:交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等. 2.什么是机械振动? 机械振动是最直观的振动,它是物体在一定位置附近的来回往复的运动,口语称为“来回晃悠”。如活塞的运 动,钟摆的摆动等都是机械振动. 产生机械振动的条件是:物体受到回复力的作用; 回复力: 使振动物体返回平衡位置的力叫回复力.回复力时刻指向平衡位置.回复力是以效果命名的力,它是振动物 体在振动方向上的合外力,可能是几个力的合力,也可能是某个力或某个力的分力,可能是重力、弹力、摩擦 力、电场力、磁场力等. 3.简谐运动 物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比,并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动,叫简谐运动.表 达式为: F ? ?kx .做简谐运动物体的位移是相对于平衡位置的,位移的方向总是由平衡位置指向物体,而回复 力总由物体是指向平衡位置,所以回复力总跟位移方向相反,式中的负号表示了这种相反关系. 4.描述简谐运动的物理量 ⑴ 位移 x :由平衡位置指向振子所在处的有向线段,最大值等于振幅; ⑵ 振幅 A :是描述振动强弱的物理量. (一定要将振幅跟位移相区别,在简谐运动的振动过程中,振幅是不变 的,而位移是时刻在改变的) 1 ⑶ 周期 T :是描述振动快慢的物理量.频率 f ? . T 5.简谐振动的图像 为了研究弹簧振子的运动规律,我们以小球的平衡位置为坐标原点 O ,沿着它的振动方向建立坐标轴.小 球在平衡位置的右边时它对平衡位置的位移为正,在左边时为负.左图所示的弹簧振子的频闪照片.频闪仪每隔 0.05s 闪光一次,闪光的瞬间振子被照亮.拍摄时底片从下向上匀速运动,因此在底片上留下了小球和弹簧的一系 列的像,相邻两个像之间相隔 0.05s .右图中的两个坐标轴分别代表时间 t 和小球位移 x ,因此它就是小球在平衡位 置附近往复运动时的位移—时间图象,即 x ? t 图象.

简谐运动及其图象 我们对弹簧振子的位移与时间的关系做些深入的研究.从图中可以看出,小球运动时位移与时间的关系很像正 弦函数的关系. 第二部分 简谐振动参量关系:

知识点睛
由于是变力作用,所以简谐振动的物体运动量与时间的关系很难用初等数学解答,一般的解法是直接解微分 方程. 根据牛顿第二定律: f ? ma f k 可得物体的加速度为: a ? ? ? x m m k 对于给定的弹簧振子, m 和 k 均为正值常量,令 ? 2 ? m d2x 2 则上式可以改写为 a ? ?? x 或 2 ? ? 2 x ? 0 dt 这是个二阶的微分方程,这里就给出具体解的过程了。这个方程的解为 x ? A cos ??t ? ? ? ,其中 A 为振幅, ? 为初 相, ? t ? ? 叫相位.
m . k 当然还有比较巧的办法:如图所示,一质量为 m 的质点在 xy 平面内以原点 O 为圆心做匀速圆周运动,该质点 在 x 轴上的投影( P 点)将以 O 为中心在 x 轴上振动,这个振动与圆周运动有什么关系呢?

那么周期为: T ? 2 π

设圆半径为 r ,角速度为 ? ,则质点受向心力大小为 F ? m? 2 r 设 t ? 0 时,半径跟 x 轴方向的夹角为 ? 0 ,经时间 t 半径跟 x 轴方向夹角为 ? ,则 ? ? wt ? ?0 ,在任意 时刻 t ,质点在 x 轴上的位移为 x ? r ? cos ? wt ? ?0 ? 向心力在 x 轴上的分量为 Fx ? ?mw2 r cos ? wt ? ?0 ? 由以上两式得
Fx ? ?mw2 x

令 ? mw2 ,则 Fx ? ? Kx 结果表明:做匀速圆周运动的质点在 x 轴方向上的分运动满足简谐运动条件,所以 x 轴方向的分运动是简谐运动. 上述结论可以通过图所示实验验证,图中 M 是在水平方向做简谐运动的弹簧振子. M ? 是在水平面上做匀速 圆周运动的球,用水平方向的平行光照射小球和振子,使振子 M 振动的振幅等于小球 M ? 做圆周运动的半径,使 M 和 M ? 的运动周期相同,调整好两球开始运动时的位置,可以看到竖直屏上的两个影子运动情况完全相同.

理论和实验都表明,在 xy 平面内做匀速圆周运动的质点在 x 轴上的分运动是简谐运动,我们在研究简谐运动 时就可以借助于这个圆运动,为了研究简谐运动而引入的圆叫参考圆.参考圆是研究简谐运动的一种方便而有效的 方法. 第三部分 单摆

知识点睛
生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内摆动,我们用细线悬挂着的小球来研究摆动的规律。 如图,如果细线的质量与小球相比可以忽略;球的直径与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆。 单摆是实际摆的理想化模型。显然,单摆摆动时摆球在做振动,但它是不是在做简谐运动?

如图,细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器,注射器向下喷出一细束墨水。沿着与摆动方向垂直的方向匀速拖 动一张白纸,白纸上的墨迹便画出振动图象( x ? t 图象) 。注射器的摆动是不是简谐运动? 单摆的回复力 我们在一般条件下研究单摆是不是做简谐运动,最简单的方法是看它的回复力是否满足 F ? ? kx 的条件。 摆球静止在 O 点时,悬线竖直下垂,摆球受到的重力 G 与悬线的拉力 F? 平衡。小球受的合力为零,可以保持静 止,所以 O 点是单摆的平衡位置。拉开摆球,使它偏离平衡位置,放手后摆球所受的重力 G 与拉力 F? 不再平衡。 在这两个力的合力的作用下,摆球沿着以平衡位置 O 为中心的一段圆弧 AA? 做往复运动,这就是单摆的振动。因为 摆球沿圆弧运动,因此可以不考虑沿悬线方向的力,只考虑沿圆弧方向的力。当摆球运动到某点 P 时(如图) ,摆 球在圆弧方向上受到的只是重力在这个方向的分力 F ? mg sin ? ,这就是它的回复力。

在偏角很小时,摆球对于 O 点的位移 x 的大小,与 ? 角所对的弧长、 ? 角所对的弦都近似相等,因而 sin? ? 所以单摆的回复力为 F ? ?

x , l

mg x ,其中 l 为摆长, x 为摆球偏离平衡位置的位移,负号表示回复力 F 与位移 x 的方向 l mg 相反。由于 m、g、l 都有确定的数值, 可以用一个常数 k 表示,于是上式写成 F ? ? kx ,可见,在偏角很小的情 l 况下,摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比,方向总是指向平衡位置,因此单摆做简谐运动。 单摆的周期 最早发现单摆具有周期性的是伽利略,后来荷兰物理学家惠更斯通过详尽的研究单摆的振动,发现单摆做简谐 运动的周期 T 与摆长 l 的二次方根成正比,与重力加速度 g 的二次方根成反比,而与振幅、摆球质量无关。惠更斯

确定了计算单摆周期的公式: T ? 2π

l g

这个公式很容易用简谐振动公式推导,这里就不做推导了。 第四部分 简谐振动的拓展(选件) 如本讲最开始所述,广义上,任何一个物理量随着时间作周期性的变化,都可以看成一种振动,要把对简谐振动 规律的认识拓展应用出去,需要做两步的工作: 1. 振动量的判定 方法主要有两个: 一是分析状态:列出状态方程,如果方程得到类似简谐振动的方程,某个量与关于时间的二阶导数成线性并方向相 反,则为简谐量。 二是分析守恒:简谐振动中动能与势能守恒,其中势能正比于位移的平方,动能正比于位移一阶导的平方。如果其 他物理量也具备此规律,也是简谐量。 2. 方程的类比 此步要做的是找出振动量与简谐振动对应的 A,K,m 三个参数,写出三角函数的解析式即可。 第一部分 机械波的产生

知识点睛
1. 实例引入: 如图为一粒石子落入水中后发生的事情,石子在水面上某处引起振动,由于相邻水分子间有力的作用,以及水 的重力,周围的水也连带振动起来了。这是人类最早意识到的“波”。 (可以计算,浅水中波速 v 满足 v ? h 为水的深度) 。

gh ,其中

如图为艺术体操上的长绸舞,人只要抖起一端,整根绳子在绳张力的带动下就都运动起来了。越往右的绳子启 动的时间就越晚,所以在绳子上就形成了波形图。

如图为人浪,在足球赛场上比较常见,当某人因为某种情绪决定开始上下振动的时候,他旁边的人受到他的感 染也开始上下振动,振动依次传染出去,大家的头顶形成的图形就叫“波形” ,波形平移就叫波的传播,平移的速 度就叫波速。

【思考】有个成语叫“随波逐流” ,那么“波”真的是我们看到的物质在“流”么,上面人浪问题中,形成波的人 群的头,是否因为波的传播在平移? 2. 机械波的形成 通过上述实例,我们认识到:机械振动在介质中的传播形成机械波,波传递的是振动和能量,而介质本身并不 迁移。 机械波产生条件为:

1)振源; 2)能传递振动的介质。 在宏观上,可将气体、液体或固体当作连续体,其体内各个相邻的质元间以相互作用力维系着。这些物质都可 以看做是介质。 如图:研究机械波常用的建模方法是把介质看成具备相互作用力的质点,通过对局步列动力学方程研究波形的 形成与传播。由于数学上难度较大,本讲讲义就不从力的角度给大家推导波形形成的规律了,直接引入振动函数进 行推导。

下面我们用一串质点演示一列波的形成: t=0 时刻,一列质点处于平衡位置,但是 x=0 位置的质点已经开始向上运动.

t?

T 时刻,0 号质点已经振动到了最高点,但是 x=0 位置的质点由于启动的晚了一点,所以正努力向上振,依 4

次,越往后的质点启动越晚,向上的位移越少,而 x=3 位置的质点刚刚开始向上运动。

t?

T 时刻, 0 号质点已经完成了半次全振, 1 号质点正追随 0 号振向平衡位置, 顺次…x=6 位置的质点刚启动, 2

注意对比这张图片与上张,刚才位于 0 号位置的一个“波峰”经过四分之一周期,已经“平移”到了 3 号位置,整 个波形向右“运动”了,所以波的传播也是“波形”的平移。

t?

3T 时刻,以上规律依然成立,具体不解释。 4

t ? T 时刻,振源完成一次全振,介质上形成一个完成的振动图像,我们把这个图形的空间周期叫波长,用字

母 ? 表示。 如果介质均一, 传播速度 v 也一定, 根据 v ? 也可以记为: v ? ?f

s ? , 再结合刚才的分析, 当 t ? T 时,s ? ? , 所以有:v ? t T

其中 f 为频率,这个公式对所有的波都成立。

以后的过程是上面过程的周期性重复,这就形成了稳定的波形。

自然界存在两种简单的波:质点振动方向与波的传播方向垂直时,称为横波;与传播方向一致时,叫纵波,具 有切变弹性的介质能传播横波;具有体变弹性的介质可传播纵波,固体液体中可以同时有横波和纵波,而在气体中 一般就只有纵波存在了。如下图,分别为横波与纵波演示。

【思考】 如地球内部发生剧烈振动, 振动分别以横波与纵波传到地面, 哪种波对震中地区的房屋产生破坏要大? (勤 于思考的同学可以问问老师地震面波的形成以及破坏机理) 【总结】 对于机械波的两种理解方式: ① 每一个质点独立的做简谐振动,但是振动形式沿着介质传播,每个质点启动后“学习”前一质点的振动, 每一 个质点都可以当做后面质点的波源。 ② 波形按波速“平移” ,每一个质点根据波形的“要求”处于合适的位置。 判断波上质点振动方向: 通常用的方法有波形平移法,反向爬坡法,三角形旋转法等,由于都是总结性规律,我们就以实例介绍了 1.波动方程 如图所示,一列横波以速度 v 沿 x 轴正方向传播,设波源 O 点的振动方程为:

y ? A cos(?t ? ?0 )

y

v

O

P

x



x 轴上任意点 P 的振动比 O 点滞后时间
? ? 2?f , v ? ?f ,
f ? l T ,P 点振动方程为:

tp ?

x x ? ? ? (t ? ) ? ? 0 ? v v ,即当 O 点相位为 (?t ? ?0 ) 时,P 点的相位为 ? ? ? ,由

x ? ? y ? A cos?? (t ? ) ? ? 0 ? ? A cos( 2?ft ? ? 0 ? 2?x ) ? A cos( 2? t ? ? 0 ? 2?x ) v ? ? ? T ? 这就是波动方程,它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。当波向 x 轴负方向传播时, (2)式只 需改变 v 的正负号。由波动方程,可以
(1)求某定点 x1 处的运动规律
y1 ? A cos(

将 x ? x1 代入,得

x 2? t ? ? 0 ? 2? 1 ) T ? ? A cos(?t ? ?1 )
2?x1

其中

?1 ? ? 0 ?

?

为 x1 质点作简谐振动的初相位。

(2)求两点 x1 与 x2 的相位差 将 x ? x2 代入(2)式,得两点 x1 、 x2 的相位差 若
x2 ? x1 ?
?? ? ?1 ? ? 2 ? 2? x2 ? x1

?

?
2

? 2k ( k

为整数) ,则 ?? ? 2k? ,则该两点同相,它们的位移和速度都相同。若

x2 ? x1 ? (2k ? 1)

?
2

(k

为整

数) ,则 ?? ? (2k ? 1)? ,则该两点相位相反。 2.波的叠加和干涉 当空间存在两个(或两个以上)振源发出的波时,空间任一点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和,这 叫做波的叠加原理。 当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时,会出现某些地方振动增强,某些地方振动减弱的现象, 叫做波的干涉,这样的两列波叫相干波。下图是水波的干涉实验图与解释图

设有两列相干波自振源 S1 、 S2 发出,两振源的位相相同,空间任一点 P 至 S1 的距离为 r1 ,至 S2 的距离为 r2 , 则两列波在 P 点产生的振动的相位差为 当 ?? ? k ? 2? (k 为整数) ,即当波程差
?r ? r2 ? r1 ? 2k ?
?? ? 2? r2 ? r1

?

?
2 时,P 点的合振动加强;

d

{

S1

r1
r2

P

S 2 ?r

当 ?? ? (2k ? 1)? , 即当波程差

?r ? r2 ? r1 ? (2k ? 1)

?

2 时, P 点的合振动减弱, 可见 P 点振动的强弱由波程差 ?r

? r2 ? r1

决定,是 P 点位置的函数。 总之,当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的整数倍时,该点振动的合振幅最大,即其振动 总是加强的;当某一点距离两同位波源的波程差等于半波长或半波长的奇数倍时,该点振动的合振幅最小,即其振 动总是削弱的。 3.波的反射、折射 当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时,一部分返回原介质中,称为反射波;另一部分将透入第二种介 质继续传播,称为折射波,入射波的传播方向与交界面的法线成 i 角, ( i 叫入射角) ,反射波的传播方向与交界面的 法线成 i ? 角( i ? 叫反射角) 。折射波的传播方向与法线成 ? 角( ? 叫折射角) ,如图,则有 i ? i? (1)

sin i c1 ? sin r c2 (2)
式中 c1 为波在入射介质中的传播速度, c2 为波在折射介质中的传播速度, (1)式称为波的反射定律, (2)式称为波的折射定律。

C1

i

i

C2

r

弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反射,反射的波形有所不同。 设弦上有一向上脉冲波,如图,传到自由端以后反射,自由端可看成新的振源,振动得以继续延续下去,故反 身波仍为向上的脉冲波,只是波形左右颠倒。当弦上有向上脉冲波经固定端反射时,固定端也可看成新的“振源” , 由牛顿第三定律, 固定端对弦的作用力方向与原脉冲对固定端的作用力方向相反, 故反射脉冲向下, 即波形不仅左、 右颠倒,上、下也颠倒,这时反射波可看成入射波反向延伸的负值,将周期波看成一系列连续脉冲,周期波经自由

端或固定端的反射也可由此得出。 波在传播过程中遇到障碍物时,偏离原来的传播方向,传到障碍物“阴影”区域的现象叫波的衍射。当障碍物 或孔的尺寸比波长小,或者跟波长相差不多时,衍射现象比较明显;当障碍物或孔的尺寸比波长大的时候,衍射现 象仍然存在,只是发生衍射的部分跟直进部分相比,范围较小,强度很弱,不够明显而已。此外,在障碍物或小孔 尺寸一定的情况下,波长越长,衍射现象越明显。

5.多普勒效应

站在铁路旁边听到车的汽笛声,发现当列车迎面而来时音调较静止时为高,而列车迅速离去时音调较静止时为 低,此外,若声源静止而观察者运动,或者声源和观察者都运动,也 会发生 c c 收听频率和声源频率不一致的现象,这种现象称为多普勒效应。下面 分别探 c vD v 讨各种情况下多普勒频移的公式: c D D c D S (1)波源静止观察者运动情形

c
如图所示,静止点波源发出的球面波波面是同心的,若观察者以速度 向或离开波源,则波动相对于观察者的传播速度变为 c? ? c ? vD 或
? ? ? ? ? vsT

c

c
?

vD 趋
? ? ? ? ? vsT

?

c? ? c ? vD ,于是观察者感受到的频率为
f?? c?

?

?

c ? vD

?

D

D

从而它与波源频率 f 之比为

f ? c ? vD ? f c (2)波源运动观察者静止情形
若波源以速度 vS 运动,它发出的球面波不再同心。图所示两圆分别是时间相隔一个周期 T 的两个波面。它们中 心之间的距离为 vS T,从而对于迎面而来或背离而去的观察者来说,有效的波长为 ??? ? ? ? vST ? (c ? vS )T 观察者感受到的频率为

f??

c c cf ? ? ? ?? (c ? vS )T c ? vS

因而它与波源频率 f 之比为

f? c ? f c ? vS

(3)波源和观察者都运动的情形 此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情况,这时有效波速和波长都发生了变化, 观察者感受到的频率为

f??

c? c ? vD c ? vD ? ? f ? ?? (c ? vS )T c ? vS

从而它与波源频率 f 之比为

f ? c ? vD ? f c ? vS

声波总在一定的介质中传播,上面所说的静止和运动,都是相对于介质而言的,在这里声源速度 v s 和观察者速 度 vD 在公式里的地位不对称:1)若声源和观察者相向运动时,上式中取“ ? vD ” 、 “ ? vs ” ;2)若声源和观察者相背 运动时,上式中取“ ? vD ” 、 “ ? vs ” ;3)若声源和观察者均沿波传播的方向运动时,上式中取“ ? vD ” 、 “ ? vs ” ;⑷ 若 声源和观察者均逆着波的传播方向运动时,上式中取“ ? vD ” 、 “ ? vs ” . 多普勒效应不限于声波(机械波) ,对于真空中的电磁波(光波) ,由于光速 c 与参照系无关,多普勒效应的公 式中只出现观察者对光源的相对速度 v .波的传播方向、声源速度、观察者速度三者不共线的一般情况是比较复杂 的,这里只要考虑在连线方向的速度分量即可,这里不再赘述.此外,在上述经典的多普勒效应中只有纵向效应, 没有横向效应,而在相对论中,除纵向外,还有横向多普勒效应.有兴趣的同学可以查阅相关资料. 引入: 刚体就是不考虑形状改变的物体,生活中刚体旋转的例子很多,我们本讲就是带领大家学习这些现象背后的规 律。首先我们注意观察刚体的旋转的描述方式,不难发现刚体上每一个点都在绕着一个轴运动,所有的点角速度一 致。

进一步的分析陀螺的运动我们会发现,我们用鞭子抽打,让陀螺越转越快,刚体的动力学也可以用伽利略的观 点“力是改变运动状态的原因”去理解。只不过,我们如何去定量描述呢?

知识点睛
3. 转动惯量: 先研究一个很简单的问题:一跟长为 L 的轻杆,一段可以围绕着固定点 O 无阻力的转动,另一端用一个外力 F 垂直作用在上面,现在在距离 O 点 r 远处固定一个质量为 m 的质点,质点的运动情况如何?

首先我们去描述这种运动,质点做圆周运动,F 的作用点与质点位移 x,速度 v,加速度 a 并不一样,但是它们 的转动角度 ? ,角速度 ? ,角加速度 ? (有些参考书用 α,不过这个字母太容易和 a 弄混)是一样的。 复习一下它们的关系:

v ? ?r 且 a ? ?r

注意 r 为到圆周运动圆心的距离。 那么解答这个问题并不难,可以使用牛顿定律进行计算,注意到轻杆受合外力为零,所以质点对杆的力必然向 下,设这个力大小为 N,根据力矩平衡: FL ? Nr 再隔离质点,由牛顿定律知道: N=ma 代入得:

FL ? mr2 ?

写成这样的式子原因是因为这根杆角加速度一致,用这个参数更加能高效率的描述这种加速转动。从这个方程 我们可以看出来,F 实质是一个转动体系的外作用,但决定转动加速度的是其力矩。同时 mr2 这部分是转动体系的 一种属性量,其大小会牵制外力矩的导致的角加速度。形象的结论就是质点距离圆心越远,相同的力矩对质点的角 加速度就越小。这种性质和质点力学中的质量很相似,所以我们也把 mr2 叫做质点相对与一个点的转动惯量。显然 相同的质点对不同位置的转动惯量一般不同。 总结就是:质点相对于某点的惯量(用 J 表示)定义为: J=mr2 对于很多质点的情况,我们不妨看成上面的轻杆上有很多质点

每个质点{mi}依次对杆的力为{Ni},同样的推导有: FL ? 每一个质点有: Ni=miai 最后得到: FL ? ?

?N r

i i

?m r

2

i i

对于质量连续分布的钢体,上面的求和会变为积分,设总外力矩为 M,则:

M ? ? ? r 2 dm

(这个式子与 F=ma 逻辑结构完全一样)

2 其中 r dm 部分为惯量 J,实际计算一般都是把 dm 转化为密度 ? 与 dr 的关系,再对含着 r 的式子积分。

?

4. 描述转动问题 首先我们要了解运动有很多种,并不仅仅是简单的平动与定轴转动两种。如下图:

我们先对一种简单的情况加以分析,刚体的平面平行运动: 刚体平面平行运动的特征是,刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆柱沿斜面的滚动,即为 平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平面的截面作为研究对象。 刚体的平面平行运动,常有两种研究方法:一种是看成随基点(截面上任意一点都可作为基点)的平动和绕基 点的转动的合运动;另一种是选取截面上的瞬时转动中心 S(简称瞬心)为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零 的点。这样,刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。 确定瞬心的方法有两种: 如左图所示, 若已知截面上两点的速度, 则与两速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。 或如右图 所示,已知截面转动的角速度及截面上某一点 A 的速度 v A ,则在与速度垂直的直线上,与 A 点距离为

v A / ? 的点即为瞬心。注意,瞬心的速度为零,加速度不一定为零。
S A

vA
vA / ?

A

B

vA

vB

S 质心的运动 跳水,无论 斜抛的抛物 质量之比,

由于质心很容易与力学原理结合,多数情况下,我们选取用 再叠加整个刚体相对质心的转动来描述复制的转动。比如高台 人在空中做的动作多么花哨,人体的质心运动的轨迹一定是一个 线,因为根据质心系牛顿定律,人质心处的加速度等于外力与

不考虑阻力的话这个加速度一定为 g。 再比如一个轮子在地面上滚动,从运动的角度,很容易用轮心的平动叠加轮子相对于轮心处的转动去描述。正 好质心的加速度一定之受外力(比如地面的摩擦)影响。

附录:一些常见物体的转动惯量
过圆环中心与环面垂直 转轴 r 的转轴的转动惯量 转轴 r 转轴沿圆环直径的转动 惯量

J ? mr 2

J?

mr 2 2

转轴 r l

过圆柱体中心轴线转轴 的转动惯量 r

转轴

通过圆柱中心且与轴线 垂直转轴的转动惯量

J?

mr 2 2

l

J ?

1 2 1 mr ? ml 2 4 12

转轴

过圆柱体中心轴线转轴 的转动惯量 l

转轴

通过圆柱中心且与轴线 垂直转轴的转动惯量

J?

1 ml 2 12
转轴

l

J ?

1 ml 3

2

转轴 2r

过球体直径转轴的转动 惯量

过球壳直径转轴的转动 2r 惯量

J?

2 2 mr 5

J?

2 2 mr 3

【补充公式】平行轴定理 对不同的转轴,刚体的转动惯量不同,实验和计算都表明,如果几个轴相互平行,其中的一个轴过质心,刚 体对此轴的转动惯量最小。若用 Jc 表示刚体对通过质心轴的转动惯量,对另一个与此平行并相距为 d 的定轴的转动 惯量则为:J=Jc+md2。 第一部 力矩的时间累积效应

知识点睛
1.角动量定理 刚体的转动定理研究了力矩在某一瞬时对刚体转动状态的影响,如果在某一变化过程中,力矩变化比较复杂, 那么,用刚体的转动定律求解问题就变得比较困难。因此,与质点动力学问题类似,我们可以考察在一个?t 时间范 围内,力矩对刚体转动状态的影响,这样,就把对刚体运动过程的跟踪变成了对刚体始末状态的研究,使问题得到 简化。这种讨论力矩在一段时间范围内的累积对刚体运动状态的影响,通常称为力矩的时间累积效应。 尽管研究力或力矩的瞬时效应和累积效应只是从不同侧面上对物体动力学规律的研究,但是,研究累积效应, 不仅可以使某些中间过程十分复杂的问题得到简化处理,更为重要的是,累积效应可以得到守恒定律,而守恒定律 是与物理规律的对称性相联系的。因此,在某种程度上,累积效应的研究更为重要。 冲量矩 作用于刚体上的力矩与力距作用时间的乘积,称为冲量矩,其数学表示为

?
角动量与角动量定理

t2

t1

Mdt

下面定量讨论冲量矩对刚体转动状态的影响。

Mdt ? J
对式两端积分

d? ? dt ? Jd? dt

?

t2

t1

Mdt ? J 2 ω 2 ? J1ω1

其中,J1、?1 和 J2、?2 分别表示始末状态的转动惯量与角速度。 定义刚体绕定轴转动的角动量为

L ? Jω
那么上面的推导表明:冲量矩是改变刚体转动状态的原因,冲量矩改变刚体转动状态的程度由角动量的改变量 来度量。这样,这两式就把改变刚体运动状态的原因和改变的量度联系了起来,成为关于刚体运动规律的基本动力 学方程。 2.刚体的角动量守恒定律 当外力冲量矩的矢量和为零时,刚体的角动量保持不变,这一定律,称为角动量守恒定律。其数学表述为:

J 2 ω 2 ? J1ω1
对有固定转轴的刚体,如果所受冲量矩的矢量和为零,那么,这个刚体将在转动惯性下继续作匀角速度转动。 如果绕固定转动的物体不是刚体,其质量的空间分布可以随时间变化,那么,当这个物体的转动惯量增大时,其角 速度将减小;反之,当这个物体的转动惯量减小时,其角速度将增大。但是,无论转动惯量和角速度如何变化,它 们的乘积始终保持不变。例如,芭蕾舞或花样滑冰运动员总是先伸开双臂旋转,然后在收拢双臂和腿,以减小转动 惯量(转轴通过自身质心),获得更大的角速度,在整个过程中,运动员的角动量始终是守恒的;跳水运动员在起跳 时,总是向上甚至手臂,跳到空中做翻滚动作时,又收拢腿与手臂,同样是为了减小转动惯量,而在入水前,必须 伸展身体,以减小角速度度,让身体竖直入水来控制溅起的水花。这样的例子还有龙卷风,越往里就旋转越快也是 这个道理。

对绕同一转轴旋转的质点系,如果所受外力的冲量矩矢量和为零,质点系的角动量也守恒,也就是说,质点系 内部的质点,可能由于受到内力的作用而获得角动量,那么,一定有别的质点获得反向的角动量,从而保持质点系 总角动量不变。例如:,静止在地面上的直升飞机起飞时,顶部螺旋桨因为转动而获得了角动量,机身必然获得反向 的角动量,为防止机身旋转,通常在直升机尾部加上一个侧向叶片,以保证机身总角动量为零。从高楼掉下的猫, 由于重心的原因,起初掉下时其背部向下,在下落过程中,猫不断旋转尾巴,使身体获得一个反向角动量,这样, 当它着地时,就会背部向上,避免摔伤。

与能量守恒定律一样,角动量守恒定律也是自然界最普遍适用的基本定律之一。从对称性的角度看,角动量守 恒对应物理规律的空间旋转变换不变性。 第二部 力矩的空间累积效应

知识点睛
1. 力矩做功 如图,在绕定轴转动的任意形状得刚体中取微元,外力矩对微元做功为

dW ? F ? dr ? Fr sin ?d? ? M ? d?
两边积分:

W ? ? M ? d?
?1

?2

2. 刚体的动能定理 如果刚体具有一定的转动速度,则刚体就具备了对外做功的能力,称这种由于刚体运动而具有的能量为刚体的 动能。如果力矩作用于刚体一段空间距离,那么刚体转动的速度(或动能)也将发生变化,因此,刚体动能的数学表 述可以由力矩做功的多少来推得(任何能量的数学表述总是通过做功对其改变量的大小来推得的)。

dW ? M ? d? ? dW ? J? ? d? ? J d? ?dt dt 即 dW ? J?d? ? d( 1 J? 2 ) 2 ?2 2 两端积分 W ? ? J?d? ? 1 J?2 ? 1 J?12 ?1 2 2 定义:绕固定转轴转动的刚体动能 Ek ? 1 J? 2 2
上面推导表明:合外力矩所做的功,等于刚体动能的增量,这一结论,称为刚体的动能定理;当合外力矩做功 为零时,刚体的动能守恒。 3.寇尼西定理 根据刚体动能定理与前面例题附录的平行轴定理,很容易推导出一个公式:
2 Ek ? 1 J? 2 ? 1 Mvc ? 1 J c? 2 2 2 2

既一个指点系的总动能,总是等于质心速度对应平动动能加上整个质点指点系相对与质心的动能。这个原理非常极 其特别的有用,建议大家记住。


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