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2012年湖北省八市高三三月联考数文


2012 年湖北省八市高三三月联考试卷



学(文科)

本试卷共4页.全卷满分150分,考试时间120分钟. ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后, 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效. 3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答 在试题卷上无效.

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. i 是虚数单位,复数 A. ?1 ? i

1? i 等于 i3 B. 1 ? i

C. ?1 + i

D. 1 + i

2.若集合 A = 1, m 2 ,集合 B = {2,4} ,则“m=2”是“ A I B = {4} ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

{

}

3.已知向量 AB = (4, 2) , CD = (6, y ) ,且 AB ∥ CD ,则 y 等于 A.-3 B.-2 C.3 D.2

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

? y ? 1 ≤ 0, ? 4.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x + y ≥ 0, 则 z = 2 x ?4 y 的最大值为 ? x ? y ? 2 ≤ 0, ?
A.16 B.32 C.4 5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 则输出的结果是 A. 3 B. D.2
开始 s=0,n=1

3 2

n≤2012? 是 s=s+ sin



C. ? 3 D.0

nπ 3

输出 s 结束

n= n +1 第 5 题图

6.从 1,2,3,4,5 中随机取出二个不同的数,其和为奇数的概率为 A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5
A1 B1 D N M A B

7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M、N 分别在 AB1、BC1
C1 -1-

D1

C 第 7 题图

1 1 上,且 AM= AB1,BN= BC1,则下列结论:①AA1⊥MN; 3 3
②A1C1// MN;③MN//平面 A1B1C1D1;④B1D1⊥MN,其中, 正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

8.已知直线 l1 : (k ? 3) x + (4 ? k ) y + 1 = 0 ,与 l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y + 3 = 0 平行,则 k 的值是 A.1 或 3 B.1 或 5 9.下列函数中,最小值为 2 的函数是 A. y = x 2 + 2 + C.3 或 5 B. y = D. y = D.1 或 2

1 x2 + 2

x2 + 1 x x2 + 2 x2 + 1

C. y = x(2 2 ? x)(0 < x < 2 2)

10. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x + 2) = 2 f ( x) , x ∈ [0, 当 2]时,f (x) = (3x ?1)(3x ? 9) . f ( x) 若 在 [?2n, ?2n + 2] (n ∈ N ? ) 上的最小值为-1,则 n= A.5 B.4 C.3 D.2

二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 5 分,满 35 分,把答案填在答题卡上对应题号后的 横线上) 11.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如图 所示,现规定不低于 70 分为合格,则合格人数是 ▲ .
频率 组距 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O 40 50 60 70 80 90 100 分数

12.设抛物线的顶点在原点,其焦点 F 在 y 轴上,抛物线上的点 P (k , ?2) 与点 F 的距离为 4, . 则抛物线方程为 ▲ a a a 13.如果数列 a1 , 2 , 3 ,…, n ,…是首项为 1,公比为 ? 2 的等比数列, a1 a2 an ?1 则 a5 等于 ▲ 14.一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 2 π ,则球的表面积为 ▲ y 15.如图,曲线 y = f ( x) 在点 P (5, f (5)) y=-x+8 处的切线方程是 y = ? x + 8 ,则 P f (5) + f ′(5) = ▲ . 16.若将函数 y = sin(ω x + .

第 11 题图

5π )(ω > 0) 的图象 6
O -25 第 15 题图 x

π π 个单位长度后,与函数 y = sin(ω x + ) 3 4 的图象重合,则 ω 的最小值为 ▲ . 17.如图所示:有三根针和套在一根针上的 n 个金属片,按下列规则,把金属片从一根针上 全部移到另一根针上. (1)每次只能移动一个金属片; (2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能 放在较小的金属片上面.将 n 个金属片从 1 号针 移到 3 号针最少需要移动的次数记为 f ( n) ; 第 17 题图 则: (Ⅰ) f (3) = ▲ (Ⅱ) f ( n) = ▲
向右平移 三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0,| ? |<

π , x ∈ R) 2

y 2 1

的图象的一部分如下图所示. (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)求函数 y = f ( x) + f ( x + 2) 的最大值与最小值. 19. (本小题满分 12 分) 一个多面体的直观图和三视图如图所示:

-1 0 -1 -2

1

2

3

4

5

6

7

x

第 18 题图

(I)求证:PA⊥BD; 第 19 题图 (II)连接 AC、BD 交于点 O,在线段 PD 上是否存在一点 Q,使直线 OQ 与平面 ABCD 所 DQ 的值;若不存在,说明理由. 成的角为 30o?若存在,求 DP 20. (本小题满分 13 分) 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他 们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的 发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x( C) 发芽数 y(颗)
o

3月1日 10 23

3月2日 11 25

3月3日 13 30

3月4日 12 26

3月5日 8 16

(I)从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m,n,求事件“m,n 均小于 25”的概率;

? ? ? (II)请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y = bx + a ;
(III)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认 为得到的线性回归方程是可靠的,试问(II)所得的线性回归方程是否可靠?

-3-

? ? ? ? (参考公式:回归直线方程式 y = bx + a ,其中 b =

∑x y
i =1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

∑x
i =1

? ? , a = y ? bx )

2 i

21. (本小题满分 14 分) 设椭圆 C:

x2 y2 + = 1(a > 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,A 是椭圆 C 上的一点, a2 2

uuuu uuuu r r 1 AF2 ?F1 F2 = 0 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 . 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F (?1,0) ,交 y 轴于点 M,若

uuuu r uuur | MQ |= 2 | QF | ,求直线 l 的斜率.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = a ln x ? ax ? 3(a ∈ R ) . (I)当 a = 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 y = f ( x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45o,问:m 在什么范围取 值时,对于任意的 t ∈ [1, 2] ,函数 g ( x) = x3 + x 2 [ 值?

m + f ′( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极 2

-4-

2012 年湖北省八市高三三月联考

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,10 小题共 50 分) 1.D 2.A 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9.D 10.B

二、填空题(每小题 5 分,满 35 分) 11.600 12. x 2 = ?8 y 13.32 14.12 π 15.2 16.

7 4

17.(1)7(3 分)

(2)2n ? 1 (2 分)

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分) 18. (I)由图象,知 A=2, ∴ω =



ω

=8.

π π ,得 f ( x) = 2sin( x + ? ) .……………………………………………2 分 4 4 π π 当 x = 1 时,有 × 1 + ? = . 4 2 π ∴? = . ………………………………………………………………4 分 4 π π ∴ f ( x) = 2sin( x + ) . …………………………………………… 5 分 4 4 π π π π (II) y = 2sin( x + ) + 2sin[ ( x + 2) + ] 4 4 4 4 π π π π = 2sin( x + ) + 2cos( x + ) ……………………………7 分 4 4 4 4 π π = 2 2 sin( x + ) 4 2 π = 2 2 cos x …………………………………………………10 分 4
∴ ymax = 2 2 , ymin = ?2 2 . ………………………………………12 分

19. (I)由三视图可知 P-ABCD 为四棱锥,底面 ABCD 为正方形,且 PA=PB=PC=PD, 连接 AC、BD 交于点 O,连接 PO . ………………………………………2 分

因为 BD⊥AC,BD⊥PO,所以 BD⊥平面 PAC,………………………………4 分 即 BD⊥PA. ………………………………………………………………6 分

(II)由三视图可知,BC=2,PA=2 2 ,假设存在这样的点 Q, 因为 AC⊥OQ,AC⊥OD, 所以∠DOQ 为直线 OQ 与平面 ABCD 所成的角
Q

……8 分
O
o

在△POD 中,PD=2 2 ,OD= 2 ,则∠PDO=60 ,

-5-

在△DQO 中,∠PDO=60o,且∠QOD=30o.所以 DP⊥OQ. 所以 OD= 2 ,QD= 所以

……10 分

2 . 2
……………………………………………………………12 分

DQ 1 = . DP 4

20. (I)m,n 构成的基本事件(m,n)有: (23,25)(23,30)(23,26)(23,16)(25, , , , , 30)(25,26)(25,16)(30,26)(30,16)(26,16) , , , , , ,共有 10 个. ………………………………………………………………2 分 其中“m,n 均小于 25”的有 1 个,其概率为 (II)∵ x = 12, y = 27,

1 . 10

………………………4 分

11 × 25 + 13 × 30 + 12 × 26 ? 3 × 12 × 27 5 = . ………………………6 分 112 + 132 + 122 ? 3 × 122 2 5 于是, a = 27 ? × 12 = ?3 . ……………………………………………8 分 2 5 ? 故所求线性回归方程为 y = x ? 3 . …………………………………………9 分 2 5 ? (III)由(2)知 y = x ? 3 , 2
∴b = 当 x=10 时,y=22;当 x=8 时,y=17. ………………………………………11 分 与检验数据的误差均为 1,满足题意. 故认为得到的线性回归方程是可靠的.
2 2

…………………………13 分

21.(Ⅰ)由题意知 F1 ( ? a ? 2, 0) , F2 ( a ? 2, 0) ,其中 a > 由于 AF2 ?F1 F2 = 0 ,则有 AF2 ⊥ F1 F2 , 所以点 A 的坐标为 F1 ( a ? 2, ±
2

2,

uuuu uuuu r r

uuuu r

uuuu r

2 ), a

……………………………………… 2 分

故 AF1 所在的直线方程为 y = ± (

1 + ), a a2 ? 2 a

x

所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为

a2 ? 2 a2 ?1

……………………………… 4 分

uuur a2 ? 2 1 2 2 又 | OF1 |= a ? 2 ,所以 2 = a ? 2 ,解得 a = 2 . a ?1 3
故所求椭圆 C 的方程为

x2 y 2 + =1 4 2

………………………………………… 7 分

(Ⅱ) 由题意知直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的斜率为 k , 直线 l 的方程为 y = k ( x + 1) , ……………………… 8 分

-6-

则有 M(0,k) , 设 Q ( x1 , y1 ) ,由于 Q, F,M 三点共线,且 | MQ |= 2 | QF | , 根据题意,得 ( x1 , y1 ? k ) = ±2( x1 + 1, y1 ) ,
2 ? x =? , x1 = ? 2, ? 1 ? 3 解得 ? 或? ? y1 = ? k k ? ?y = ? 1 3 ? 又点 Q 在椭圆上,

uuuu r

uuur

………………………………………………… 10 分

(?2) 2 (? k )2 所以 + = 1或 4 2

2 k (? ) 2 ( ) 2 3 + 3 =1 4 2

…………………………

13 分 14 分

解得 k = 0, k = ±4 .综上,直线 l 的斜率为 k = 0, k = ±4 .

…………………

22. f ′( x) =

a ? a ( x > 0) x
1 1? x ?1 = , x x
…………………………………2 分 ……4 分

(I)当 a = 1 时, f ′( x) =

令 f ′( x) > 0 时,解得 0 < x < 1 ,所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增;

令 f ′( x) < 0 时,解得 x > 1 ,所以 f ( x) 在(1,+∞)上单调递减. ………6 分 (II)因为函数 y = f ( x) 的图象在点(2, f (2) )处的切线的倾斜角为 45o, 所以 f ′(2) = 1 .

?2 + 2 . ………………………………………………8 分 x m 2 m g ( x) = x3 + x 2 [ + 2 ? ] = x 3 + ( + 2) x 2 ? 2 x , 2 x 2
所以 a = ?2 , f ′( x) =

g ′( x) = 3x 2 + (4 + m) x ? 2 ,

……………………………………………10 分

因为任意的 t ∈ [1,2] ,函数 g ( x) = x3 + x 2 [

m + f ′( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值, 2

? g ′(2) < 0, 所以只需 ? ? g ′(3) > 0,
解得 ?

……………………………………………………12 分

37 < m < ?9 . 3

………………………………………………………14 分

命题:天门市教研室 黄石市教研室 黄石四中 审校:荆门市教研室

刘兵华 孙建伟 彭 强 方延伟

仙桃市教研室 黄石二中 荆门市龙泉中学

曹时武 叶济宇 杨后宝 袁 海

-7-

-8-


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