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高中数学 (4.2.1 直线与圆的位置关系 第2课时)示范教案 新人教A版必修2 (2)


4.示范教案(4.2.1 直线与圆的位置关系 第 2 课时) 导入新课 思路 1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报: 台风中心位于轮船正西 70 km 处,受影响的范围是半径长为 30 km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 40 km 处, 如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 图2 分析: 如图 2,以台风中心为原点 O,以东西方向为 x 轴,建立直角坐标系,其中,取 10 km 为单 位长度. 2 2 则台风影响的圆形区域所对应的圆心为 O 的圆的方程为 x +y =9; 轮船航线所在的直线 l 的方程为 4x+7y-28=0. 问题归结为圆心为 O 的圆与直线 l 有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系. 推进新课 新知探究 提出问题 ①过圆上一点可作几条切线?如何求出切线方程? ②过圆外一点可作几条切线?如何求出切线方程? ③过圆内一点可作几条切线? ④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗? ⑤如何求直线与圆的交点? ⑥如何求直线与圆的相交弦的长? 2 2 2 2 讨论结果: ①过圆上一点可作一条切线,过圆 x +y =r 上一点(x0,y0)的切线方程是 x0x+y0y=r ; 2 2 2 2 过圆(x-a) +(y-b) =r 上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r . ②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆 相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有 一个实根的充要条件——Δ =0 去求出 k 的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充 分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出 k 的值. ③过圆内一点不能作圆的切线. ④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜 率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的 半径(d=r),求出 k 的值. ⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标. ⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、弦 长、半径之间的关系来求. 应用示例 思路 1 2 2 例 1 过点 P(-2,0)向圆 x +y =1 引切线,求切线的方程. 1 图3 解 : 如 图 3, 方 法 一 : 设 所 求 切 线 的 斜 率 为 k, 则 切 线 方 程 为 y=k(x+2), 因 此 由 方 程 组 ? ? y ? k ( x ? 2), 2 2 2 得 x +k (x+2) =1. ? 2 2 ? ? x ? y ? 1, 上述一元二次方程有一个实根, Δ =16k -4(k +1)(4k -1)=12k -4=0,k=± 4 2 2 2 3 , 3 所以所求切线的方程为 y=± 3 (x+2). 3 方法二:设所求切线的斜率为 k,则切线方程为 y=k(x+2),由于圆心到切线的距离等于圆的半 径(d=r),所以 d= | 2k | 1? k 2 =1,解得 k=± 3 . 3 所以所求切线的方程为 y=± 3 (x+2). 3 方法三:利用过圆上一点的切线的结论 . 可假设切点为 (x0,y0), 此时可求得切线方程为 x0x+y0y=1. 然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x0=1,从中解得 x0=- 1 . 2 再由点(x0,y0)在

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