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数学 必修四 第二章 章末检测


章末检测
一、选择题 1.与向量 a=(1, 3)的夹角为 30° 的单位向量是( 1 3 3 1 A.( , )或(1, 3) B.( , ) 2 2 2 2 C.(0,1) D.(0,1)或( 答案 D → → → → 2.若四边形 ABCD 满足AD=BC且|AD|=|AB|,则四边形 ABCD 的形状是( A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 答案 D

→ → → → 解析 ∵AD=BC,∴AD 綊 BC,∴四边形 ABCD 为平行四边形,又|AD|=|AB|, ∴AD=AB,∴四边形 ABCD 为菱形. 3.已知三个力 f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物 体保持平衡,现加上一个力 f4,则 f4 等于( ) ) 3 1 , ) 2 2 )

A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 答案 D 解析 根据力的平衡原理有 f1+f2+f3+f4=0, ∴f4=-(f1+f2+f3)=(1,2). → → → 4.已知正方形 ABCD 的边长为 1,AB=a,BC=b,AC=c,则 a+b+c 的模等于( A.0B.2+ 2C. 2D.2 2 答案 D → → → → → 解析 |a+b+c|=|AB+BC+AC|=|2AC|=2|AC|=2 2. 5.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于( 1 3 1 3 A.- a+ bB. a- b 2 2 2 2 3 1 3 1 C. a- bD.- a+ b 2 2 2 2 答案 B ) )

解析

?λ+μ=-1, ? 令 c=λa+μb,则? ?λ-μ=2, ?

?λ=2 ∴? 3 ?μ=-2,
)

1

1 3 ∴c= a- b. 2 2 6.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)· c=30,则 x 等于( A.6B.5C.4D.3 答案 C 解析 ∵a=(1,1),b=(2,5), ∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3). 又∵(8a-b)· c=30, ∴(6,3)· (3,x)=18+3x=30.∴x=4. → → 7.向量BA=(4,-3),向量BC=(2,-4),则△ABC 的形状为( A.等腰非直角三角形 B.等边三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 答案 C → → 解析 ∵BA=(4,-3),BC=(2,-4), → → → ∴AC=BC-BA=(-2,-1), → → ∴CA· CB=(2,1)· (-2,4)=0, → → → → ∴∠C=90° ,且|CA|= 5,|CB|=2 5,|CA|≠|CB|. ∴△ABC 是直角非等腰三角形. → → 8.设点 A(1,2)、B(3,5),将向量AB按向量 a=(-1,-1)平移后得到A′B′为( A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,7) 答案 B → → → → → 解析 ∵AB=(3,5)-(1,2)=(2,3),平移向量AB后得A′B′,A′B′=AB=(2,3). → → → 9.已知 D,E,F 分别是△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且BC=a,CA=b,AB=c,则 1 1 1 1 → → → → → → ①AD=-b- a;②BE=a+ b;③CF=- a+ b;④AD+BE+CF=0.其中正确的等式的 2 2 2 2 个数为( ) ) )

A.1B.2C.3D.4 答案 D

解析

1 → → → → 1→ → 1→ ①如图可知AD=AC+CD=AC+ CB=-CA- BC=-b- a,故①正确. 2 2 2 → → → → 1→ ②BE=BC+CE=BC+ CA 2 1 =a+ b,故②正确. 2 1 → → → → 1→ ③CF=CA+AF=CA+ AB=b+ (-a-b) 2 2 1 1 =- a+ b,故③正确. 2 2 → → → → → → ④AD+BE+CF=-DA+BE+CF → → → → =-(DC+CA)+BE+CF 1 1 1 1 =-( a+b)+a+ b- a+ b=0,故④正确. 2 2 2 2 → → → 10.设 0≤θ<2π,已知两个向量OP1=(cosθ,sinθ),OP2=(2+sinθ,2-cosθ),则向量P1P2长 度的最大值是( )

A. 2B. 3C.3 2D.2 3 答案 C → → → 解析 ∵P1P2=OP2-OP1 =(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ), → ∴|P1P2|= ?2+sinθ-cosθ?2+?2-cosθ-sinθ?2= 10-8cosθ≤3 2. 二、填空题 11.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 答案 -1 解析 ∵a=(2,-1),b=(-1,m),∴a+b=(1,m-1). ∵(a+b)∥c,c=(-1,2),∴2-(-1)· (m-1)=0. ∴m=-1. → → → 12.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2),若 A,B,C 三点能构成 三角形,则实数 k 应满足的条件是________. 答案 k≠1

解析 若点 A,B,C 能构成三角形, → → 则向量AB,AC不共线. → → → ∵AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), → → → AC=OC-OA=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1), ∴1×(k+1)-2k≠0,解得 k≠1. 13.已知非零向量 a,b,若|a|=|b|=1,且 a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),则实数 k 的值为 ________. 答案 6 解析 由(2a+3b)· (ka-4b)=2ka2-12b2 =2k-12=0,∴k=6. 14.

如图所示,半圆的直径 AB=2,O 为圆心,C 是半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P 为半 → → → 径 OC 上的动点,则(PA+PB)· PC的最小值是________. 1 答案 - 2 → → → 解析 因为点 O 是 A,B 的中点,所以PA+PB=2PO, → → 设|PC|=x,则|PO|=1-x(0≤x≤1). → → → → → 所以(PA+PB)· PC=2PO· PC=-2x(1-x) 1 1 =2(x- )2- . 2 2 1 1 → → → 所以当 x= 时,(PA+PB)· PC取到最小值- . 2 2 三、解答题 15.已知 a,b,c 在同一平面内,且 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c; (2)若|b|= 5 ,且(a+2b)⊥(2a-b),求 a 与 b 的夹角. 2

解 (1)∵c∥a,∴设 c=λa,则 c=(λ,2λ). 又|c|=2 5,∴λ=± 2,∴c=(2,4)或(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)· (2a-b)=0.

∵|a|= 5,|b|=

5 5 ,∴a· b=- . 2 2

a· b ∴cosθ= =-1,又∵0° ≤θ≤180° ,∴θ=180° . |a||b| 16.已知⊙O 的直径为 10,AB 是⊙O 的一条直径,长为 20 的线段 MN 的中点 P 在⊙O 上 运动(异于 A,B 两点). → → (1)求证:AM· BN与点 P 在⊙O 上的位置无关; → → → → (2)当MN与AB的夹角 θ 取何值时,AM· BN有最大值? (1)证明 ∵AB 为⊙O 的直径,P 为圆上一点, → → → → ∴AP⊥BP,∴AP⊥BP,即AP· BP=0. → ∵P 为 MN 的中点,且|MN|=20, → → → → ∴MP=PN,|MP|=|PN|=10, → → → → → → ∴AM· BN=(AP+PM)· (BP+PN) → → → → =(AP-PN)· (BP+PN) → → → → → → → → =AP· BP+AP· PN-PN· BP-PN· PN 1→ → → → → =PN· (AP-BP)-100= MN· AB-100. 2 → → → → ∴AM· BN仅与MN,AB的夹角有关,而与点 P 在⊙O 上的位置无关. (2)解 由(1)得, → → 1→ → AM· BN= MN· AB-100=100cosθ-100. 2 → → ∵0≤θ≤π,∴当 θ=0 时,AM· BN取得最大值 0. → → → → 17.在△ABC 中,AB· AC=0,|AB|=12,|BC|=15,l 为线段 BC 的垂直平分线,l 与 BC 交 于点 D,E 为 l 上异于 D 的任意一点. → → (1)求AD· CB的值; → → (2)判断AE· CB的值是否为一个常数,并说明理由. → → 解 (1)∵AB· AC=0,∴AB⊥AC. → → → 又|AB|=12,|BC|=15,∴|AC|=9. → 1 → → → → → 由已知可得AD= (AB+AC),CB=AB-AC, 2 → → 1 → → → → ∴AD· CB= (AB+AC)· (AB-AC) 2

1 → 1 63 → = (AB2-AC2)= (144-81)= . 2 2 2 → → (2)AE· CB的值为一个常数. → → 理由: ∵l 为线段 BC 的垂直平分线, l 与 BC 交于点 D, E 为 l 上异于 D 的任意一点, ∴DE· CB =0. → → → → → → → → → → → 63 故AE· CB=(AD+DE)· CB=AD· CB+DE· CB=AD· CB= . 2 18.已知正方形 ABCD,E、F 分别是 CD、AD 的中点,BE、CF 交于点 P.求证: (1)BE⊥CF;(2)AP=AB. 证明

如图建立直角坐标系 xOy,其中 A 为原点,不妨设 AB=2, 则 A(0,0),B(2,0),C(2,2), E(1,2),F(0,1). → → → (1)BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2), → → → CF=OF-OC=(0,1)-(2,2) =(-2,-1), → → ∵BE· CF=-1×(-2)+2×(-1)=0, → → ∴BE⊥CF,即 BE⊥CF. → → (2)设 P(x,y),则FP=(x,y-1),CF=(-2,-1), → → ∵FP∥CF,∴-x=-2(y-1),即 x=2y-2. → → 同理由BP∥BE,得 y=-2x+4,代入 x=2y-2. 6 8? 6 8 解得 x= ,∴y= ,即 P? ?5,5?. 5 5 6?2 ?8?2 → →2 ∴AP2=? ?5? +?5? =4=AB , → → ∴|AP|=|AB|,即 AP=AB.


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