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应用均值不等式解竞赛题


?

课 外 园地 ?  

数 学通 讯 —— 2 0 0 9 年第5 、 6期 ( 上半月)  

8 5  

应 用均 值不 等 式 解 竞赛 题 
吴祥成  
( 湖北省沙市中学 , 4 3 4 0 0 0 )  
, 

均值不等式是一个重

要 的不等式 . 在 各 种 数 学 

竞 赛 中 经 常 出现 与 之 有 关 的题 目 , 灵 活 而 巧 妙 地 应 
用 均值 不 等 式 , 往 往 可 以使 一 些 难 题 迎 刃 而 解 .  

号 ) , 求 函 数   一  
与拆项技巧 , 将 
C C O  OS S . X  Z '

+   的 最 小 值 .  
拆 成 —  + 
cOsx  CoS  

分 析  不 能 直 接 应 用 均 值 不 等 式 , 应 采 用 添 项 
, 为 T@J L +

均 值 不 等 式  设 口 - , n z , …, 口  都 是 正数 , 则 

± ! ±: : :   !  
当且 仅 当 n  一   一 … 一n  时 等 号 成 立 .  

式子的乘 积 产 生 常 数 , 根 据 式 子 的特 征 , 应 添 上 
ks i n   X+ k c os 。  .  

利用均值不等式 . 可得到以下常用结论 :  

讲 解  因 z ∈ ( o , 号 ) , 所 以 s i n x > O , c o s x >  
0 , 设 k> 0 , 则 
一  

1 ) 设 n , 6 ∈ R   。 则 丢 + ÷≥   4;  
( 2 ) 设4 , b , C∈ R  , 则 

i n 2 x +上
C O SX

+上
C OS X

+ c o s 2 x一 

丢 +  + ÷≥  

;  

是 ≥1 5 √   +3 拓一  
当且仅当丽 2 2 5  一奄 s i D 2 7 5且  t
,.

① 
一七 c o s 2  . 即 

( 3 ) n . 6 ,  ∈ R 十 ’ 则 詈+  ≥  + 十   )  
应 用 均 值 不 等 式时 常 用 的 技巧 有: 常 数 代 挚, 添  
项, 拆项 , 引入参 数 , 变量 代换 , 反 复使 用, 结 构 的 
变形.   例1 ( 2 0 0 8 年 江 苏 赛 区 复 赛 试题 ) 已知 a , 6 , c ,  

s i n2 x 

 ̄9 C O S 2 X :   1   时 ? ① 式 等 号 成 立 ? 此 时 ,  
2 1   ,  

1 5   .  

十丽 一L  
设  , 则 2 t ‘ +1 5 t   一 2一 o , 而 

d为正 实 数 . 且a +b +c +d一 4 , 求证 :  
n 。 X+b I z d a+ c 2 d a+ d 。 幻≤ 4 .  


2   + 1 5 t 3— 2 = 2t 4一  。+ 1 6 t 3— 2  

分析  左 端 为 四项 的和 , 可先 变为 乘积 的形 
式, 再使用均值不等式.  
讲 解  a 。  +6 。 d a+ C 2 d a+ d  
一 a b( a c+ b d)+ c d( a c+ b d)  


一 t   ( 2 t 一 1 )+ 2 ( 2 t 一 1 ) ( 4 £ 。+ 2 t + 1 )  


( 2 t 一 1 ) ( £ 3+ 8 d. 4 - 4 t 4 - 2 ) .  

故( 2 £ 一 1 ) (  4 - 8 t 。 4 - 4 t +2 )一 0 .  

注 意 到 O<  一 T 1≤ 1 ? 易 知 满 足 限 制 条 件 的 

( o h+ c d) ( a c+ b d)  


c+ b d) 。 ≤ ( a b + c d+ a


根 只 有   = ÷ .  
. 



 

z  

≤ 1(  

)  


.  

. 

当 f 一 ÷ 时 。   =   1 — 6 4 , 不 等 式 ① 取 得 等 号 .  
n   +  n   的 最 小 值 为  所 以 函 数  一   n CO  SX
4Sl r r Z 
, t -  

评 注  左 端 是 四项 之 和 , 应想 到因式 分解 , 把 

它变成乘积 的 形 式 , 这 是 本 题 应 用 均 值 不 等 式 的 
关键.  
例 2 ( 2 0 0 7年 湖 北 省 预 赛试 题 )设  ∈ ( O ,  

1 5瓜

+3   酉 一6 4: 6 8 .  

评 注  本 题 的 关 键 是 根 据 式 子 的 特 征 拆 项 与 
添项 . 再 抓 住 等 号 成寺 的条 件 求 出参 数 k的值 .  

8 6  
例 3

数 学通 讯 —— 2 O 0 9年 第 5 、 6期 ( 上 半 月)  
( 2 0 0 7 年 厂 西 赛 区 预 赛 试 题 ) 已 知 
步 厦 用均 值不 辱 式 .  

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AA B C 的 三边 长 分 别 为 a, 6 . c 且 满足 a b c= 2 ( a一  

讲 解 

由条 件 有 

+  

.  

( 1 ) 是 否存 在 边 长 均 为 整 数 的 / x A B C? 若 存在 ,  

令 a+ b   z 。 b + c— y . c + a= z , 则 
口 =

求 出三边长 } 若不存 在 . 说明理 由.  
( 2 )若 a> 1 , b > 1 , C >1 , 试求 AA B C周 长 的 
最小值.   分 析  为 突 出本 文 的 主题 , 只考虑第( 2 ) 问. 根 

x+ z- - y 6一 x+ y - z . c=   2 2




.  

从 而 条件 转 化 为 
x + y 一 
_


+— z +





V 

1  

① 

据 已 知 等 式 的 结 构 特 征 , 可 先 将 它 变 形 为 专= ( 1 -  
a   ) ( 1 一 ÷) D   ( 1 一  ) C   . 由 均 值 不 等 式 求 出  + a   {+ D   

根据均 值不 等 式 及 前 面 介绍 的 常见 结 论 ( 1 )  
可得 

暨 +— z + — x 一三 +三 +上 +三 
≥ 三 + 三 + 2≥ 
z   Y  z十 

÷ 的 最 大 值 ? 再 由 卅 ¨ c ≥  {  求 得  
AA B C周 长 的最 小 值 .   讲 解  由a b e一 2 ( a 一1 ) ( 6 —1 ) ( f —1 )得 
1 2 一 ( 1 - 1 ) ( 1   1 ) ( 1- 1 )
c .  

+2  

② 

q z+ y 一 £ 则由① 和② 得 £ ≥  + l 。 解 得 


t ≥ 
故 

或r ≤ 
一 
Z  

( 舍 
=  t一  1
‘  

根 据 均 值 不等 式 . 有 
( 1 一  ) ( 1一  ) ( 1一  )  

a  十   c 

≥ 

哩 

.  

评 注  当分 母 是 多 项 式 时 , 采 用换元 , 使分母 

( 1一  )+ ( 1一 下 1)+ ( 1
一  

成为单项式, 更容易发现解决问题的方法。 在本题 
)  

≤[ ——  ——— 

—————三 - - ] a .  

中. 还 要 善 于 观 察, 利 用 熟 知 的 结 论 

+ 1 ≥ 

故 吉 + ÷ + ÷ ≤ s 一   3 .  
又( 口 +6 +c ) ( 上 +_ 1+ 上 ) ≥9 . 所 以 

÷


(   ,  ∈l t + ) 解决 问题.  
V 

例5

( 2 0 0 2年 湖 南省 预 赛 试 题 ) 设 长方 体 的 

长、 宽、 高 分别 为 n ? b ? c ? 其对 角 线 长 为 Z , 试证 :  

¨  1 { 1  1  

( f .一 a ‘ ) ( Z  一  ) (   —c . )≥ 5 1 2 a ‘ 6 . c . .  

分 析  根 据 式 子 的结 构 特 征 。 可 变形 为 
(   l 4


≥ 毒一  ?  
故 △AB c 周 长 的 最 小 值 为  . 当且仅 当 n  


1 ) ( 等 一 1 ) (   一 1 ) ≥ 5 1 2 .  

再 由a 。 +6 z +f 2 一z 。 . 想到换元法 , 再 由均 值 不  等 式 证得 结论 .   讲 解  原 不 等 式 等 价 于 

6= c=

矗时 ? 取 得 此 最 小 值 .  
( z o o s 年 湖 南 省预 赛试 题 ) 若正数 口 . b .  

(   一 1 ) (   一 1 ) (   l 4


1 )≥ 5 1 2 .  

评 注  本 题 需 将 结 构 改 变 。 再 应 用 均 值 不 等  式. 改变 结 构 . 应 抓 住 式 子 的 特 征.  
例4

设 z=   a 2

.  



笋 。   :  . 则 z +   + z — l ,  
① 

且 原 不 等 式 可 变 成  (   一1 ) (   一1 ) (   一. 1 ) ≥5 1 2  

满 足   =   一 南 枷  ≥  

.  
由   一  =  

?

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1  ±兰 !   兰±= 兰 ±   .   _ - 兰  


● 

≥   1 ? 3  

= 寻 .  

评 注  本 题 是 一道 分式 不 等 式 , 利 用 取 等 号 的 
≥ 

条 件 恰 当配 式 使 它 转 化 为 整 式 不 等 式 的证 明 . 在 整  个证明过程 中? 始 终 保 持 等号 成 立 的 条件 不 变 ? 这 是 
.  r  

8:  
= ———  — —  :—— — 一

证 明分 式 不 等 式 的一 个 重 要 技 巧 .   其 中等 号 当且 仅 当  — Y—   时取到.  
例7 ( 2 0 0 0q - 江 苏省 预 赛 试 题 )  , Y . = 是 正 实 

同 理有   一1 ≥   巫 yZ



。  

数 . R i  ̄ / g   x ' + y ' +  一 1 , 求 曰 X 3   + 与 +  
南 的 最 小 值 .  
分 析  因为条件 中出现 了   , 所 以把 
5 i z .  

?≥ 

.  

以上 三 式 相 乘 , 即得 
(   一1 ) (   一 1 ) (   一 1 )

≯ 变 

为 
解决.   讲 解 

, 再求 出 z ( i -z   )的最 大 值 ? 问题 即告  

评注

① 式左端是乘 积 . 又 是 比较 大 的 一 边 ,  

不 能 直 接 应 用均 值不 等 式 , 故而考虑每一个式 子 , 使  分 子 出 现 和 的形 式 , 再应用均值不等式.  
例6   ( 第3 6 届I MO 试 题 ) 设a , b . c 为正数 . 且  满足 a b c= 1 , 试证 :  

X 3  



 



由均 值 不 等 式 得 

z 。 ( 1一  。 ) 。  


÷ ? 8 x s ( 1 一   。 ) ( 1 - x s ) … 一 ( 1 - x s )  
] 。  

口 。 ( 6 _ l + c ) + ’     b   。   + 口 ) + 。   c 。 ( n + 而 6 ) ≥ / ,  ‘ 三 2 .  
分析 这是一个对称不等式 。 易 知 a— b —c =  

≤ 1 ? [  



1 等 号 成 立 , 这 时 , 不 等 式中 三 项 均 为 丢, 抓 住 这 一  
特点 , 可 采 用 添项 技 巧 来 证 .  
讲 解 
. 

吉  导  

a b c= 1 ,  
1 ( a b e ) 。   b 。 c 2  

. . .   ( 1 - x s ) ≤ 寺?   同 理 :   ( 1 - y 8 ) ≤ 寺, V   o     ( 1 - 2 . . 8 ) ≤   V   8 o     ? 则  
’  
X3



a 3 ( b +c )一 a 3 ( b +c )  



+ 

+ 

因 为   譬  +  
b z   c 2   ≥ 


≥ 6 c 。  
一  

+ 

+ 

÷ 4 ( 6 + c ) ,  
.  

≥ 

?  

从 而 

≥  一 T 1口 ( 6 +c )


号 范 

同 理 ,  

≥ ∞ 一 ÷ 6 ( c + n ) .  
≥ n 6一 I   c ( n+ 6 )
.  

以 上 三式 相 加 , 得 
1   .   1   .   1  

当   — z 一 去 时 , 上 式 取 等 号 ' 因 此 ’ 所 求   的 最 小 值 为 詈 掘   ?  
评 注  本 题 抓 住 条 件 式,将 r  变 为 

n 。 ( 6+ f ) 。b 。 ( f + 4)   f   ( 口+ 6 )  

≥ ( n 6+  + ∞)一  ( 乜 6+ & + ∞ )  
( a b+ b c+ ∞ )  



再 得 到 局 部 不 等 式  

≥ 罕, 这  



8 8  
练 习题 

数 学通 讯 —— 2 O 0 9年 第 5 、 6期( 上半月)  

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2 时, 上式取等号, 故 所求 最小 值 为 4 .  
1 . ( 2 0 0 5 年 江 苏省 初 赛 试 题 ) 设a >b >0 , 那 么 

2 .5 (  ) 告.  
4  

2 .( 2 0 0 7 年广西预赛试题) 若 点 P( x ,  ) 在 直 线  z+ 3 y一 3 上移动 , 则 函数 f ( x,  ) 一3   +9 y 的 最 小  值 等 于 
3 .( 2 0 0 6年 湖 南 省 预 赛 试 题 )已 知 z ,  ∈  

f( x? y )一 3  + 9  


3   +9 字 一3  +3 z ( 1 一 手 ’   3   一 _ 3. 3 1 一 吾  





专? 3   + 专? 3   + 3   一 号   + 3   一 号   + 3   z 一 号 f  

( 一√   , √  , 且  一 1 , 则 

— —

+ 

的最小值 

≥ s  

。  



4 . ( 2 0 0 7年 河 南 省 预 赛 试 题 )设 a , b 是正实 数.  

s  

一 s c  



?  

则 蠢  

的 最 小 值 为 ——.  

当 且 仅 当 ÷? 3   = 3 1 - 吾   即 z =( 1 + l o g 。 2 )  
时, 上式 等 号成 立 .   ?  

5 . ( 2 0 0 6年 四 川 省 初 赛 试 题 ) z 为 实 数 ,函 数 
, (   )= 4 c o s 。 X一 3 c o s   一 6 c o s x+ 5的 最 大 值  为
.  
— —

故, ( z ,  )的最小值是 5 (  ) {.  

1 6 . ( 2 0 0 7 年 吉林 省 预 赛 试 题 ) 已 知点 P ( 2 , 1 ) , 过 

1  
●  

±  丝 
● 
, 

P作 直 线 与  轴 , Y 轴 正 半 轴 分 别 交 于 点 A, B, 则 使  AA O B( 0 为 坐 标 原 点 )的周 长 最 小 的直 线 z 的方 程 

— —

由 已 知 得  = 1   所 以 


.  

7 . ( 2 0 0 6 年 河 南省 预 赛 试 题 ) 设 a >b >0 。 则 

南十 +   南 =   =   十 + 点1 _ — 一    


+ 

的最 小 值 是

二  : ±  


=  
7  
‘  

.  
— —

4 x J -, gx 一 2    

8 . ( 2 0 0 6年 江 苏省 预 赛 试 题 )设 a 1 , 口 z . …口 z 。 0 2  




均 为 正 实 数 , 且   }   +   辛  + … +   干  一  



因为 4 x z +  ≥ 4 √  , 当且仅当 4   =  2 即  

则n t n 。 … ? ? n   的最 小 值 为

.  
— —

9 . ( 2 0 0 5年 四 川 省 初 赛 试 题 ) 设 实数 口 , b 满足 a  
= z l + 2 +X 3一 Xl X2  3 , a b   X 1 z 2 + X2  3 + 3 z l ,  



学 时 取 等 号 . 故 当 z =  时 。   +   取  
.  

得 最 小 值 

其中 z   。   。 ,  。 >0 , 求  一 
a。 一- a 

的最 大 值 .  

4 . 要 .  
垒 : ±  ±  
( 口+ 1 ) ( 6+ 1 )  

参 考 答 案 和 提 示 
1 . 4.  

由 a> b> 0 , 可 知 
一  

垒 : ±  ±   ! ±   ±  ±  ±   堡 : ±  ±   ±兰  
2 ( 口+ 1 ) ( 6 + 1 )  


o< 6 ( n -b )≤ [  

3  一 百 1  

3 n+ 3 6 + 3 口 6+ 3  


 

3  

’ 

所 以 a z +  1 一  ≥ n   +   4 ≥ 4 ,  
当且仅 当 b= n—b 且口  一 
n。  

当且 仅 当 a— b= 1 时. 上式 取 等 号 , 故 所 求 最 

即 n=√   , b=  

小 值 为 号 .  

?

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5 .  2 7
.  

数 学 通 讯 —— 2 d O 9年 第 5 、 6期 ( 上半月 . )  
64+  6 4≥


8 9  
3   =4 8
. 

+ 
8. 40 0 2。 。  .  





, (  )一 ( c o s x一 1 ) ( 4 c o s   +C O S X一 5 )  


( 4 c o s x+ 5 ) ( c o s x一 1 ) 。  

令 

一  

则 n  一 2?  

(  一  

- - .  



2 ( 2 c  + 导 ) ( 1 - C O S X ) ( 1 - C O S X )  

2 0 0 2 ) , 且 z l+  2+ … + z 2 o o 2— 1 .  
.  

[ L  


3  
一  .  

] J  

口  口 。…

..nz o 。  一

2 z o o 。.— — —— — — —  —— 一
Xl   2   ‘’ Z2 o 0 2  

.  

( x z+  3+ … +  2 o o 2 )?   (  1+ X 3+ … + z z 0 o 2 ).- . ?  
?

z?c  

( z 1 +X 2 +…+z z 0 0 1 ) ≥2 2 o o 2 ? — X - = — — 圭 — 一 o2 ?   l   2   ‘。勋 o  
.2 0 01。   一 2 z @2× 2 001 2 o o z  

当 且 仅 当 2 c 。 s   + 号 = l — c 。 s   即 c 。 s   一 一 ÷  
时, 上式取等号.  
6 ?3 x+ 4 y一 1 0一 O ?  
.  

2 0 01。   2 001  



?



4 002 0  0 .  

L B O A 一   , £ 一 t a n 詈 , 记 △ 脚的 周 长 为  
S , 则 
s一 ( 2+ c 。 t   + ( 1+ 2 t a n   + (   +  )  

9 .因为口 =   +勋+勋 ≥3  
所 以 a≥ 3  

:3 拓,  

又3 ( x l z 2 斗  z 3 +勋z 1 ) ≤( z 1 + 2 +  3 ) 。 , 有  3 a b≤ a 。 , 即3 6 ≤n , 则 
户 = 
1 + 1




6+ 

+ 

≥ 1 0 .  

≤ 

当 且 仅 当 1 — -   t =   4 t 即 t a n 导 一 了 1 时 , 上 式  
等号成立.  

口 口 

≤ l+  3 4 3一 

① 

当 1= X 2 一z 3 。 a= 3 、 /   . 3 b— a , 即z 1一  2  


则 直线 z 的 斜 率 志一一  3 故直线 z 的方 程 为 3  
一   。 一

√   , a一 3 √   , b一 √  时. ① 式等号成立.  
.  

+4 . ) , 一 l O一 0 .  

故 P 的最 大值 为 

“ 
( 上接 第 8 4页 )  

≥ ¨ - 4 两专  
4  

( 收 稿 日期 : 2 0 0 9 —0 2 —1 9 )  

不关于 棋盘 中心对 称, 那 么旋 转 9 0   , 1 8 0 。 . 2 7 0 。 后,   分 别 与 另 外 3对 方 格 重 合 .   因此 , 不 同 的着 色 法 为 2 4 ÷2 +( C  一2 4 ) ÷4 —  
3 0 0 ( 种) .  
8 .C  .  

( 3 ) 第 二 行 染 的 黑 格 恰 有 一 个 与 第 一 行 的 黑 格 
同列 . 这 样 的 染 法 有 4种 . 而在第 一 、 第 二 这 两 行 染 

好后 , 第 三 行 染 的 黑 格 必 然 有 1个 与 上 面 的 黑 格 均 
不 同列 。 这 时 第 三 行 的 染 法 有 2种 , 第 四行 的染 法 随 
之确定.  

作对应 : ( n 1 以2 , a 3 ) 一( m。 a z 一2 , a 3 ~4 ) , 则a l   <a 2 — 2< a 3 —4 , 所以口 1 . a 2 —2 . a  一 4是 从 { l 。   2 , …, l O ) 中选 出 的 3 个数 , 共有 C } 。种选 法 . 又 上 述 

因此 , 共有染 法 6 ×( 1 +6 +4 ×2 )一 9 0种 .  
7. 3 00 .  

选一对 方格 着黄 色 。 其 余着 绿 色, 有 C i 。种 选  法. 如果这 一对方 格关 于棋 盘 中心对 称 . 那 么 旋 转 
9 0 。 . 2 7 0 。 后与另一对方格 重合 . 旋转 1 8 0 。 后 与 自己  重合 . 这种方格共有 4 8 ÷2 —2 4 对. 如 果 这 一 对 方 格 

对 应显 然是 一一 对应 . 因此 。 不 同取 法 共 有 C } 0 种.  

( 收 稿 日期 : 2 0 0 9 —0 2 —2 0 )  


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