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4 三角函数的图像和性质


精品题库试题

理数 1. (2014 大纲全国,3,5 分)设 a=sin 33° ,b=cos 55° ,c=tan 35° ,则( A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b [答案] 1.C [解析] 1.∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a. )<

br />
又∵c=tan 35°=

>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选 C.

2.(2014 浙江,4,5 分)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数 y= ( )

cos 3x 的图象

A.向右平移 个单位 [答案] 2.C

个单位

B.向左平移

个单位

C.向右平移

个单位

D.向左平移

[解析] 2.因为 y=sin 3x+cos 3x=

cos

,要得到函数 y=

cos

的图象,

可以将函数 y=

cos 3x 的图象向右平移

个单位,故选 C.

3.(2014 辽宁,9,5 分)将函数 y =3sin 的函数( )

的图象向右平移

个单位长度,所得图象对应

A.在区间

上单调递减

B.在区间

上单调递增

C.在区间

上单调递减 [答案] 3.B

D.在区间

上单调递增

[解析] 3.函数 y=3sin

的图象向右平移

个单位长度所得图象对应的函数为

y=3sin

=3sin

.因此该函数的递增区间为

x 2kπ-

≤2x-

≤2kπ+

,k∈Z ,即为 kπ+

,kπ+

(k∈Z).故选 B.

4.(201 4 课表全国Ⅰ ,6,5 分)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的 始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离 表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( )

[答案] 4.C

[解析] 4.由题图可知:当 x=

时,OP⊥OA,此时 f(x)=0,排除 A、D;当 x∈

时,OM=cos x,设

点 M 到直线 OP 的距离为 d,则

=sin x,即 d=OMsin x=sin xcos x,

∴f(x)=sin xcos x=

sin 2x≤

,排除 B,故选 C.

5. (2014 天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试, 8) 已知函数 的最小正周期为 ,则该函数 的图象( )

(A) 关于直线

对称

(B) 关于点(

) 对称

(C) 关于直线 [答案] 5. B

对称

(D) 关于点(

) 对称

[解析] 5. 函数

的最小正周期为

,解得

. 函数函



的对称轴

应满足

,解得

,故可排除选项 A、C;其对称中心(

,0)应满足

,解得

,故选 B.

6.(2014 安徽合肥高三第二次质量检测,5) 为了得到函数 函数 的图像( )

的图像,可将

A. 向左平移

B. 向右平移

C. 向左平移

D. 向右平移

[答案] 6. C

[解析] 6.因为



把其图象平移

个单位长得函数

图象,

所以

,解得

,故可将函数

的图像向左平移

得函数

的图像.

7. (2014 北京东城高三第二学期教学检测,4) 将函数 移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 的一个可能取值为(

的图象沿 轴向左平 )

A. [答案] 7.C

B.

C.

D.

[解析] 7. 平移后的函数为

,由已知此函数是偶函

数,则

,从而

,所以选 C.

8. (2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题,7) 函数



最小正周期是 ( )

,若其图象向右平移

个单位长得到的函数为奇函数,则函数

的图象

A. 关于点

对称

B. 关于直线

对称

C. 关于点



称 [答案] 8.D

D. 关于直线

对称

[解析] 8.因为函数

的最小正周期为

,所以

,把函数

把函数

的图象向右移动

得函数

的图象,此时函数为奇

函数,所以

,令

,所以

,即







,令

,所以

,即函数

关于直

线

对称.

9.(2014 山东潍坊高三 3 月模拟考试数学(理)试题,6)函数 且 ) 在同一直角坐标系下的图象可能是( )



(

[答案] 9. D

[解析] 9. 因为函数 间 得函数 故选 D. 为减函数,函数 在区间

是偶函数,可排除选项 A;当 0<a<1 时,可得函数

在区

的周期大于 2π,此时可排除选项 B;当 a>1 时,可 为增函数, 函数 的周期小于 2π, 此时可排除选项 C,

10.(2014 湖北八市高三下学期 3 月联考,4) 若 x= 的一条对称轴,则 A.4 [答案] 10. C B.8 可以是( ) D.1

是 f(x)=

sin

+

的图象

C.2

[解析] 10.因为

,所以其对称轴方程为

,而

是一条对称轴,所以

,令

,则

,故选C.

11. (2014 江西七校高三上学期第一次联考, 10) 已知函数 不相等,且 A. [答案] 11. C B. ,则 C. 的取值范围是( D. )

若 、 、 互

[解析] 11. 由于函数 设 ,则 ,

的周期是 2,当 ,故 ,

时,它的图象关于直线

对称,

再由正弦函数的定义域和值域可得
网]

,故

,解得



[来源:学科

综上可得:

.

12. (2014 江西七校高三上学期第一次联考, 4) 要得到函数 的图象( )

的图象, 只需将函数

A. 向左平移

B. 向左平移

C. 向右平移

D. 向右平移 [答案] 12. A

[解析] 12. 长得

, 即把函数 ,即

的图象向左平移 的图象, ,

个单位

,故向左平移

.

13. (2014 江西七校高三上学期第一次联考, 2) 设 A. B. C. D. [答案] 13. C





,则(



[解析] 13.







.

14. (2014 兰州高三第一次诊断考试, 3) 将函数

的图象上所有的点向左平

移 个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,则所得的图象的解析式为 ( )

A.

B.

C. [答案] 14. B

D.

[解析] 14. 将函数

的图象上所 有的点向左平移 个单位长度的函数 的图象,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍得函数, .

15.(2014 安徽,11,5 分)若将函数 f( x)=sin y 轴对称,则 φ 的最小正值是________.

的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于

[答案] 15.

[解析] 15.根据题意设 g(x)=f(x-φ)=sin

,则 g(x)的图象关于 y 轴对

称,∴g(0)=±1,即 sin

=±1,

∴-2φ+

=kπ+

(k∈Z),∴φ= -

-

(k∈Z).

∴当 k=-1 时,φ 的最小正值为

.

16.(2014 江苏,5,5 分)已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标



的交点,则 φ 的值是________.

[答案] 16.

[解析] 16.显然交点为

,

故有 sin

=

,



π+φ=2kπ+

,k∈Z,



π+φ=2kπ+

π,k∈Z,

∴φ=2kπ-

或 φ=2kπ+

,k∈Z,

又 0≤φ<π,故 φ=

.

17. (2014 江西,16,12 分)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中 a∈R,θ∈

.

(1)若 a=

,θ=

时,求 f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;

(2)若 f

=0, f(π)=1,求 a,θ 的值.

[答案] 17.查看解析

[解析] 17.(1)f(x)=sin

+

cos

=

(sin x+cos x)-

sin x=

cos x-

sin x=sin

,

因为 x∈[0,π],从而

-x∈

.

故 f(x)在[0,π]上的最大值为

,最小值为-1.

(2)由



由 θ∈

知 cos θ≠0,

解得 18. (2014 湖北,17,12 分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数 关系:

f(t)=10-

cos

t-sin

t,t∈[0,24).

(Ⅰ )求实验室这一天的最大温差; (Ⅱ )若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? [答案] 18.查看解析

[解析] 18.(Ⅰ )因为 f(t)=10 -2

=10-2sin

,

又 0≤t<24,所以



t+

<

,-1≤sin

≤1.

当 t=2 时,sin

=1;当 t=14 时,sin

=-1.

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (Ⅱ )依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温.
[来源:学科网]

由(Ⅰ )得 f(t)=10-2sin

,

故有 10-2sin

>11,

即 sin

<-

.

又 0≤t<24,因此

<

t+

<

,即 10<t<18.

在 10 时至 18 时实验室需要降温. 19.(2014 山东,16,12 分)已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x)=a· b,且 y=f(x)的图象

过点

和点

.

[来源:学§科§网]

(Ⅰ )求 m,n 的值; (Ⅱ )将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上 各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间.

[答案] 19.查看解析 [解析] 19.(Ⅰ )由题意知 f(x)=a· b=msin 2x+ncos 2x.

因为 y=f(x)的图象经过点



,

所以



解得 m=

,n=1.

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 f(x)=

sin 2x+cos 2x=2sin

.

由题意知 g(x)=f(x+φ) =2sin

.

设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),

由题意知

+1=1,所以 x0=0,

即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2).

将其代入 y=g(x)得 sin

=1,

因为 0<φ<π,所以 φ=

.

因此 g(x)=2sin

=2cos 2x.

由 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得 kπ-

≤x≤kπ,k∈Z,

所以函数 y=g(x)的单调递增区间为

,k ∈Z.

20. (2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,17) 已知函数



(1)求

的最小正周期;

(2)求

的单调递增区间;

[来源:学科网 ZXXK]

(3)求

图象的对称轴方程和对称中心的坐标.

[答案] 20.查看解析

[解析] 20.

= (1)T=π;

= 4分

(2)由

可得单调增区间





8分

(3)由

得对称轴方程为





得对称中心坐标为



12 分

21. (2014 江西七校高三上学期第一次联考, 17) 函数 (Ⅰ )求函数 的单调递减区间;

.

(Ⅱ )将 不变)后得到 依次是

的图象向左平移 个单位,再将得到的图象横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标 的图象,若 求数列 的前 项的和. 的图象与直线 交点的横坐标由小到大

[答案] 21.查看解析

[解析] 21. (Ⅰ )

.



,所以

所以

的单调递减区间为

. (6 分)

(Ⅱ )将

的图象向左平移 个单位后,

得到 再将得到的图象的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)后得到 ,

[来源:学科网 ZXXK]

解法一:若函数

的图象与直线

交点的横坐标由小到大依次是

、 、





,则由余弦曲线的对称性,周期性可知,

.

(12 分)

解法二:若函数

的图象与直线

交点的横坐标由小到大依次是

、 、





,则



. (9 分)

由余弦曲线 的周期性可知,



所以

.

(12 分)

22. (2014 北京东城高三 12 月教学质量调研) 已知集合 (Ⅰ )若 ,请判断 是否属于 ? .



(Ⅱ )若

是方程

的解,求证:

(Ⅲ )若 [答案] 22.查看解析

属于

,求 的取值范围.

[解析] 22.解:(Ⅰ )∵ (Ⅱ )∵ ∴ ∴此时的 (Ⅲ )∵ 当 当 ∴ 时, 时, , . . 的解为

,∴ ,∴aT=T,



(3 分)

, (8 分) ,∴ , , (13 分) , ; (10 分) , , ,


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