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2016年甘肃省兰州市数学中考题


2016 年甘肃省兰州市初中生毕业学业考试 数学(A)
注意事项: 1.本试卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填(涂)在答题卡上。 3.考生务必将答案直接填(涂)写在答题卡的相应位置上。 一、选择题:本大题 15 小题,每小题 4 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。 1. (2016 兰州,1,4 分)如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体,该几何体的主视图是( )

A 【答案】A 2. (2016 兰州,2,4 分)反比例函数 y= A. 第一、二象限 【答案】B

B

C

D

2 的图像在( x

) D. 第二、四象限

B. 第一、三象限

C. 第二、三象限

3. (2016 兰州,3,4 分)已知Δ ABC∽Δ DEF,若Δ ABC 与Δ DEF 的相似比为 应中线的比为( ) A.

3 ,则Δ ABC 与Δ DEF 对 4

3 4

B.

4 3

C.

9 16

D.

16 9

【答案】A 4. (2016 兰州,4,4 分)在 RtΔ ABC 中,∠C=900,sinA= ,BC=6,则 AB=( ) A. 4 【答案】D 5. (2016 兰州,5,4 分)一元二次方程 x2+2x+1=0 的根的情况是( A. 有一个实数根 C. 有两个不想等的实数根 ) B. 6 C. 8 D. 10

3 5

B. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

1

【答案】B 6. (2016 兰州,6,4 分)如图,在Δ ABC 中,DE//BC,若

AD 2 AE = ,则 =( ) DB 3 EC

A.

1 3

B.

2 5

C.

2 3

D.

3 5

(第 6 题)

【答案】C 7. (2016 兰州,7,4 分)如图,在⊙O 中,点 C 是弧 AB 的中点,∠A=500, 则∠BOC=( )

A. 400 【答案】A

B. 450

C. 500

D . 600 (第 7 题)

8. (2016 兰州,8,4 分)二次函数 y=x2-2x+4 化为 y=a(x-h)2+k 的形式,下列正确的是( ) A. y=(x-1)2+2 【答案】B 9. (2016 兰州,9,4 分)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区 域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了 1m,另一边减少了 2m,剩余空地的面积为 18m2,求原正方形空地的边长,设原正方形的空地的边长为 x m,则可列方程为( ) B. y=(x-1)2+3 C. y=(x-2)2+2 D. y=(x-2)2+4

A. (x+1) (x+2) =18 C. (x-1) (x-2) =18 【答案】C

B. x 2-3x+16=0 D. x2+3x+16=0

10. (2016 兰州,10,4 分)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,四边形 ABCD 是平行 四边形,则∠ADC=( )
2

A. 450 【答案】C

B. 500

C. 600

D. 750 (第 10 题)

11. (2016 兰州,11,4 分)点 P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数 y=-x2+2x+c 的图 像上,则 y1,y2,y3 的大小关系是( A. y3 > y2 >y1 【答案】D ) C. y1>y2>y3 D. y1=y2>y3

B. y3>y1=y2

12. (2016 兰州,12,4 分)如图,用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升,滑轮上 一点 P 旋转了 1080,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了( )

A. π cm 【答案】C

B. 2π cm

C. 3π cm

D. 5π cm (第 12 题)

13. (2016 兰州,13,4 分)二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示,对称轴是直线 x=-1,有以下结论:①abc>0;②4ac<b ;③2a+b=0;④a-b+c>2.其中正确的结论的个 数是( )
2

A. 1 【答案】C

B. 2

C. 3

D. 4

(第 13 题)

14. (2016 兰州,14,4 分)如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE//BD,DE//AC, AD=2 3 ,DE=2,则四边形 OCED 的面积为( )
3

A. 2 3 【答案】A

B. 4

C. 4 3

D. 8 (第 14 题)

15. (2016 兰州,15,4 分)如图,A,B 两点在反比例函数 y=

k1 的图像上,C,D x

两点在反比例函数 y=

k2 的图像上,AC⊥x 轴于点 E,BD⊥x 轴于点 F,AC=2,BD=3, x
(第 15 题)

EF=

10 ,则 k2-k1=( ) 3

A. 4 【答案】A

B.

14 3

C.

16 3

D. 6

二、填空题:本大题共 5 小题 ,每小题 4 分,共 20 分.
16. (2016 兰州,16,4 分)二次函数 y=x2+4x-3 的最小值是_____________________. 【答案】-7 17. (2016 兰州,17,4 分)一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其中有 6 个黄 球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复上述试验后发现,摸到黄 球的频率稳定在 30%,由此估计口袋中共有小球_________________________个. 【答案】 20 18. (2016 兰州,18,4 分)双曲线 y= 范围是__________________. 【答案】m<1

m -1 在每个象限内,函数值 y 随 x 的增大而增大,则 m 的取值 x

19. (2016 兰州,19,4 分)平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且 AC⊥BD,请添加一 个条件:_____________________,使得平行四边形 ABCD 为正方形. 【答案】AC=BD 或∠A=900 或∠B=900 或∠C=900 或∠D=900 20. (2016 兰州,20,4 分)对于一个矩形 ABCD 及⊙M 给出以下定义:在同 一平面内,如果矩形 ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等,那么称这个矩 形ABCD是⊙M 的“伴侣矩形”.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:y= 3 x-3
4

交 x 轴于点 M,⊙M 的半径为 2,矩形 ABCD 沿直线l运动(BD在直线l上), BD=2,AB//y,当矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时,点 C 的坐标为_________.

(第 20 题)

【答案】( 3 -

1 3 3 3 3 ,)或( 3 + , ) 2 2 2 2

三、解答题:本大题共 8 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.
21. (2016 兰州,21,10 分) (1)(2016 兰州,21(1),5 分) 8 +( )-1-2cos450-(π -2016)0

1 2

解:原式= 2 2 ? 2 ? 2 ?

2 ?1 ? 2 ? 1 。 2

(2016 兰州,21(2),5 分)2y2+4y=y+2 【答案】原方程可化为 2,2+3y-2=0,解得 y1=2;y2=-2 22. (2016 兰州,22,5 分)如图已知⊙O,用尺规作⊙O 的内接正四边形 ABCD.(写出结论,不写作法, 保留做题痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑.)

【答案】如图,四边形 ABCD 即为所求。

5

23. (2016 兰州,23,6 分)小明和小军两人起做游戏,游戏规则如下:每人从 1,2,…,8 中任意选择 一个数字,然后两人各转动一次如图所示的转盘(转盘被分为面积相等的四个扇形),两人转出的数字之 和等于谁事先选择的数,谁就获胜;若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数,就在做一次上述游 戏,直至决出胜负,若小军事先选择的数是 5,用列表或画树状图的方法求他获胜的概率.

【答案】 列表法: 小军 小亮 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 树状图:

小军获胜的概率为:

1 4

24. (2016 兰州,24,7 分)如图,一垂直于地面的灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定,CD 与地面成 450 夹角 (∠CDB=450),在 C 点上方 2 米处加固定另一条钢缆 ED,ED 与地面成 530 夹角(∠EDB=530),那么钢缆 ED 的长度约为多少米? (结果精确到 1 米,参考数据:sin530≈0.80,cos530≈0.60,tan530≈1.33)

【答案】10 解:设 BD=xm,则 BC=x m,BE =(x+2)m 在 RtΔ BDE 中:

BD =tan∠EDB ED



x ? 2

x

=1.33,x=6.06



BE =SIN===sin∠EDB ED

∴ED=

EB
sin∠EDB

=

2 ? 6.06 =10.1≈10 0.80

6

答:钢缆 ED 的长度约为 10 米.

25. (2016 兰州,25,10 分)阅读下面材料: 在数学课上老师请同学思考如下问题:如图 1,我们把一个四边形 ABCD 的四边形中点 E,F,G,H 依次 连接起来得到四边形的 EFGH 是平行四边形吗? 小敏在思考问题是,有如下思路:连接 AC
点E,F分别是A B,AC的中点

三角形 中位线定理

EF//AC

1 EF= AC 2
GH//AC GH=

点 G , H 分别是 CD,AD 的中点

三角形 中位线定理

1 AC 2

? ? ? ? ? ? ? ? ?

EF//GH EF=GH







EFGH 是平 行四边形

结合小敏的思路作答: (1)若只改变图 1 中四边形 ABCD 的形状(如图 2),则四边形 EFGH 还是平行四边形吗?说明理由; 参考小敏思考问题的方法,解决一下问题: (2)如图 2,在(1)的条件下,若连接 AC,BD. ①当 AC 与 BD 满足什么条件时,四边形 EFGH 是菱形,写出结论并证明; ②当 AC 与BD满足什么条件时,四边形 EFGH 是矩形,直接写出结论.

【答案】 (1)四边形 EFGH 还是平行四边形,理由如下:

7

连接 AC ∵E,F 分别是 AB,AC 的中点 ∴EF//AC,EF= AC ∵G,H 分别是 CD,AD 的中点 ∴GH//AC,GH= AC ∴EF//GH,EF=GH ∴四边形 EFGH 是平行四边形. (2)①当 AC=BD 时,四边形 EFGH 是菱形,理由如下: 由(1)可知四边形 EFGH 是平行四边形 当 AC=BD 时,FG= BD,EF= ∴FG=EF ∴四边形 EFGH 是菱形. ②当 AC⊥BD 时,四边形 EFGH 是矩形. 26. (2016 兰州,26,10 分)如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x 轴于点 C,点 A( 3 ,1) 在反比例函数 y=

1 2

1 2

1 2

1 AC 2

k 的图像上. x
k 的表达式; x 1 SΔ AOB,求点 P 的坐标; 2

(1)求反比例函数 y=

(2)在 x 轴的负半轴上存在一点 P,使得 SΔ AOP=

(3)若将Δ BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 600 得到Δ BDE,直接写出点 E 的坐标,并判断点 E 是否在该 反比例函数的图像上,说明理由. 【答案】 (1)∵点 A( 3 ,1)在反比例函数 y=

k 的图像上 x

∴k= 3 ×1= 3 ∴y=

3 x

8

(2)∵A( 3 ,1) ∴OC= 3 ,AC=1 由射影定理 OC2=AC?BC 可得 BC=3,B( 3 ,-3) ∴SΔ AOB=

1 × 3 ×4=2 3 2 1 SΔ AOB 2

∵SΔ AOP=

∴SΔ AOP= 3 设 P(m,0) ∴

1 × m ×1= 3 2

∴ m =2 3 ∵P 是 x 轴的负半轴上一点 ∴m=-2 3 ∴m(-2 3 ,0) (3)E(- 3 ,-1),点 E 在反比例函数 y= ∵(- 3 )×(-1)= 3 =k ∴点 E 在反比例函数 y=

3 的图像上,理由如下: x

3 的图像上. x

27. (2016 兰州,27,10 分)如图,Δ ABC 是⊙O 的内接三角形,AB 是⊙O 的直径,OD⊥AB 于点 O, 分别交 AC,CF 于点 E、D,且 DE=DC. (1)求证:CF 是⊙O 的切线 (2)若⊙O 的半径为 5,BC= 10 ,求DE的长. 【答案】 (1)证明:连接 OC,则∠A=∠OCA ∵OD⊥AB ∴∠A+∠AEO=900 ∵DE=DC
9

∴∠DEC=∠DCE ∵∠AEO=∠DEC ∴∠AEO=∠DCE ∴∠OCE+∠DCE=900 ∴CF 是⊙O 的切线. (2)作 DH⊥EC,则∠EDH=∠A ∵DE=DC ∴EH=HC=

1 EC 2

∵⊙O 的半径为 5 ,BC= 10 ∴AB=10,AC=3 10 ∵Δ AEO∽Δ ABC ∴

AO AE ? AC AB
5 × 10 3 10 ? 5 10 3
5 10 4 10 = 3 3

∴AE=

∴EC=AC-AE=3 10 -

∴EH=

1 2 10 EC= 2 3

∵∠EDH=∠A ∴sin∠A=sin∠EDH 即

BC EH ? AB DE

∴DE=

AB ? EH ? BC

10 ?

2 10 3 = 20 3 10

28. (2016 兰州,28,10 分)如图 1,二次函数 y=x2+bx+c 的图像过点 A(3,0),B(0,4)两点,动 点 P 从 A 出发,在线段 AB 上,沿 A→B 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动,过点 P 作 PD⊥y 于点 D, 交抛物线于点 C.设运动时间为 t(秒). (1)求二次函数 y=-x2+bx+c 的表达式;

10

(2)连接 BC,当 t= 时,求Δ BCP 的面积; (3)如图 2,动点 P 从A出发时,动点Q同时从 O 出发,在线段 OA 上沿 O→A 的方向以 1 个单位长度的 速度运动,当点 P 与 B 重合时,P,Q 两点同时停止运动,连接 DQ,PQ,将Δ DPQ 沿直线 PC 折叠得到Δ DPE. 在运动过程中,设Δ DPE 和Δ OAB 重合部分面积为 5,直接写出 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围.

5 6

图1 【答案】(1)∵y=-x2+bx+c 过 A(3,0),B(0,4)

图2

? 5 ?c ? 4 ?b ? ∴ ? ,解得 ? 3 ?? 9 ? 3b ? c ? 0 ?c ? 4 ?
∴解析式为 y=-x2+

5 x+4 3 5 3

(2)当 t= 时,AP= ,BP=

5 6

10 3

∴OD=

4 4 ,C(-1, ) 3 3 1 8 ×3× =4 2 3

∴SΔ BCP=

(3)当 0 ? t ?

15 24 2 12 时,S=t + t; 5 17 25

11



5 132 2 6 36 15 t+ t+ ? t ? 时,S=17 2 125 55 11

12


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