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2013版【三维设计】高中数学人教A版选修2-1【配套课件】第一章 1.2 充分条件与必要条件


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第 一 章

1.2

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应用创新演练

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某居民的卧室里安有一盏灯,在卧室

门口和床头各有一个开关,任意一个开关
都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常 用的“双刀”开关. 问题1:A开关闭合时B灯一定亮吗? 提示:一定亮. 问题2:B灯亮时A开关一定闭合吗? 提示:不一定,还可能是C开关闭合.
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充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题

推出关系
条件关系

p? q
p是q的 充分 条件 q是p的 必要 条件

p? q
P 不是 q的充分条件 q 不是 p的必要条件

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已知p:整数x是6的倍数; q:整数x是2和3的公倍数.

问题1:“若p,则q”是真命题吗?
提示:是. 问题2:“若q,则p”是真命题吗? 提示:是. 问题3:p是q的什么条件?

提示:是充分条件,也是必要条件.
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充要条件
(1)如果既有 p?q ,又有 q?p ,就记作p?q,p是q 的充分必要条件,简称 充要 条件. (2)概括地说,如果 p?q ,那么p与q互为充要条件.

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1.p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立,但是
如果没有p,q也可能成立”. 2.q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”, 或者说“若q不成立,则p一定不成立”;但即使有q成立,p 未必会成立.

3.p与q互为充要条件,也称“p等价于q”,“q当且仅当p”
等. 4.当命题“若p,则q”与其逆(或否)命题都为真时,p是q 的充要条件.
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[例1]

指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分

不必要条件” “必要不充分条件” “充要条件” “既不充分 又不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.

(2)对于实数x,y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6.
(3)在△ABC中,p:sin A>sin B,q:tan A>tan B. (4)已知x,y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x- 1)· (y-2)=0. [思路点拨] 首先判断是否有p?q和q?p,再根据定
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义下结论,也可用等价命题判断.

[精解详析] (1)在△ABC 中, 显然有∠A>∠B?BC>AC,所以 p 是 q 的充要条件. (2)因为 x=2 且 y=6?x+y=8,即綈 q?綈 p, 但綈 p? 綈 q,所以 p 是 q 的充分不必要条件.

? (3)取∠A=120°,∠B=30°,p

q, p,

又取∠A=30°,∠B=120°,q ? 所以p是q的既不充分也不必要条件.

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(4)因为p:A={(1,2)},q:B={(x,y)|x=1或y=2}, ? A?B,所以p是q的充分不必要条件. ? [一点通]
件; 若p ? q且q?p,则p是q的必要不充分条件; 若p?q且q?p,则p是q的充要条件; 若p ? q且q ? p,则p是q的既不充分也不必要条件.

(1)若p?q且q ? p,则p是q的充分不必要条

(2)判断A是B的什么条件,常用方法是验证由A能否推出
B,由B能否推出A,对于否定性命题,注意利用等价命题来 判断.
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1.下列命题中,p 是 q 的充分条件的是 A.p:a=0,q:ab=0 B.p:a2+b2≥0,q:a≥0 且 b≥0 C.p:x2>1,q:x>1 D.p:a>b,q: a> b

(

)

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解析:对 A,a=0 时,一定有 ab=0,p?q; 对 B,a2+b2≥0 时,a,b∈R,∴p ? q; 对 C,x2>1 时,x>1 或 x<-1,∴p ? q; 对 D,当 a>b>0 时,有 a> b, 而 a>0>b 或 0>a>b 时, a或 b无意义,∴p ? q.

答案:A

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2.(2012· 天津高考)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos (x+

φ)(x∈R)为偶函数”的
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

(
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:φ=0时,函数f(x)=cos(x+φ)=cos x是偶函数, 而f(x)=cos(x+φ)是偶函数时,φ=π+kπ(k∈Z). 故φ=0是函数f(x)=cos(x+φ)为偶函数的充分而不必要 条件.

答案:A
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3.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(充分不必要条件, 必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件). (1)p:△ABC中,b2>a2+c2,q:△ABC为钝角三角形; (2)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;

(3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0. a2+c2-b2 解:(1)△ABC 中,∵b2>a2+c2,∴cos B= <0, 2ac
∴B 为钝角,即△ABC 为钝角三角形.反之,若△ABC 为钝 角三角形,B 可能为锐角,这时 b2<a2+c2. ∴p?q,q ? p,故 p 是 q 的充分不必要条件.
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(2)有两个角相等不一定是等边三角形,反之一定成立,
∴p? q,q?p,故p是q的必要不充分条件.

(3)若a2+b2=0,则a=b=0,故p?q. 若a=b=0,则a2+b2
=0,即q?p,所以p是q的充要条件.

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[例 2] 已知 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0; q:实数 x 满足 x2-x-6≤0.若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, 求实数 a 的取值范围.

[思路点拨] 解决本题可先求出命题 p 和 q 成立的条件, 再得到綈 p,利用綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,即綈 q?綈 p 求出 a 的取值范围,或利用等价条件 p?q 求得 a.

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[精解详析] 由 x2-4ax+3a2<0 且 a<0 得 3a<x<a, ∴p:3a<x<a. 由 x2-x-6≤0 得-2≤x≤3, ∴q:-2≤x≤3. ?3a≥-2, ? ∵綈 q?綈 p,∴p?q.∴?a≤3, ?a<0 ? 2 ∴a 的取值范围是[- ,0). 3 2 ?- ≤a<0, 3

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[一点通] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范 围时,可以先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件、 充要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式

(组)进行求解.

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x-1 4.集合 A={x| <0},B={x||x-b|<a}.若“a=1”是 x+1 “A∩B”≠?”的充分条件,则实数 b 的取值范围是( A.[-2,0) C.(-2,2) B.(0,2] D.[-2,2] )

x-1 解析: A={x| <0}={x|-1<x<1},B={x||x-b|<a}={x|b- x+1 a<x<b+a}, 因为“a=1”是“A∩B≠?”的充分条件, 所以- 1≤b-1<1 或-1<b+1≤1,即-2<b<2

答案:C
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5.已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0.若p是q
的充分不必要条件,求正实数a的取值范围. 解:不等式x2-8x-20>0的解集为 A={x|x>10或x<-2}; 不等式x2-2x+1-a2>0的解集为 B={x|x>1+a或x<1-a,a>0}.
? 依题意p?q但q?/ p,说明A?B. ? ?a>0, ?a>0, ? ? 于是有?1+a≤10, 或?1+a<10, ?1-a>-2 ?1-a≥-2, ? ?
所以正实数 a 的取值范围是(0,3].

解得 0<a≤3.

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[例3]

求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1

的充要条件是a+b+c=0. [思路点拨] 证明时首先搞清楚条件p和结论q分别指什

么,然后证明p?q(充分性)和q?p(必要性)成立.

[精解详析]

充分性:∵a+b+c=0,

∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中得ax2+bx-a -b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0. ∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
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∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.

∴有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件 是a+b+c=0. [一点通] (1)在证明有关充要条件的问题时,通常从 “充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时,要注意: 若证明“p的充要条件是q”,那么“充分性”是q?p,“必要性” 是p?q.若证明“p是q的充要条件”,则与之相反. (2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原 命题和其逆命题都成立.若不易直接证明,可根据命题之间

的关系进行等价转换,然后加以证明.

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6.试证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根 的充要条件是ac<0. 证明:必要性:因为方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一 c 2 负根,所以 Δ=b -4ac>0,x1x2=a<0(x1,x2 为方程的两 根),所以 ac<0. c 2 充分性:由 ac<0 可推得 Δ=b -4ac>0 及 x1x2=a<0(x1,
x2 为方程的两根).所以方程 ax2+bx+c=0 有两个相异 实根,且两根异号, 即方程 ax2+bx+c=0 有一正根和 一负根.
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7.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根

的充要条件.
1 解:当 a=0 时,x=- 符合题意. 2 当 a≠0 时,令 f(x)=ax2+2x+1. 因为 f(0)=1>0, 2 1 ∴若 a>0 时,则-a<0,a>0,∴只要 Δ=4-4a≥0, 即 a≤1,∴0<a≤1. 1 若 a<0,则a<0,Δ=4-4a>0, 方程恒有两实异号数根. 综上所述,a≤1 为所求.
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1.判断充分、必要条件时,首先要分清条件和结论,
然后进行推理和判断.常用的判断方法有以下三种: (1)定义法(直接法).
条件p与结论q的关系 p?q,但q ? p 结论 p是q成立的充分不必要条件

q?p,但p ? q
p?q,q?p,即p?q p? q,q ? p

p是q成立的必要不充分条件
p是q成立的充要条件 p是q成立的既不充分也不必要条件

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(2)集合法,即用集合的包含关系判断.设命题p,q对应 的集合分别为A,B. 若A ? B,则p是q的充分不必要条件

若B ? A,则p是q的必要不充分条件

若A=B,则p,q互为充要条件
若A B,且B A,则p既不是q的

充分条件,也不是q的必要条件
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(3)等价转化法,即利用 A?B 与綈 B?綈 A,A?B 与綈 B?綈 A 来判断.一般地,对于条件或结论是否定 形式的命题,可运用等价转化法判断. 2. 在涉及含有字母参数的充要条件的问题中, 常利 用集合的包含、相等关系来考虑.

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