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高2017届第一轮复习----5----基本初等函数综合


高 2017 届第一轮复习----5----基本初等函数综合
【目标】 1.理解并掌握几个基本初等函数的概念、 性质; 2.会用函数性质解决简单问题; 3.理解函数思想、 化归与转化、 分类讨论等数学思想及其应用。 思考:下列所给函数中是幂函数的是( A) (A) y ? x ?3 (B) y ? ? x3 (C) y ? 2x3 (D) y ? x3 ? 1 【例 1

】函数 f ( x) ? (m2 ? m ? 1) x m 是幂函数,且在区间 (0,??) 上单调递增,则实数 m 的值是() (A) ? 1 (B)2 (C)3 (D) ? 1或2

?m 2 ? m ? 1 ? 1, ? m ? 2. 函数的结构形式特征? 【解析】由题意可得 ? ?m ? 0
【思考】1.设 T1 ? ( ) 3 , T2 ? ( ) 3 , T3 ? ( ) 3 ,则下列关系式正确的是( A.T1<T2<T3 B.T3<T1<T2 C.T2<T3<T1
1 3 2 2? 3

1 2

2

1 5

2

1 2

1

)

D.T2<T1<T3

2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 【解析】转化为指数相同 T3 ? ( ) ? ( ) ?( [ )] ? ( ) 即可。 2 2 2 2

2.给定下列函数: ① y ? 2x ; ② y ? log2 x ; ③ y ? x2 ; ④ y ? log1 x .当 x2 ? x1 ? 0 时, 使 f(
2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

成立的是.(答案:②) 3.设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f (

a?b 1 ) , r ? ( f (a ) ? f (b)) ,则下列关系式中正确的是() 2 2

A. q ? r ? p B. q ? r ? p C. p ? r ? q D. p ? r ? q 【答案】 C p ? f ( ab ) ? ln ab ?

1 a?b a?b 1 1 ln ab ; q ? f ( ) ? ln ; r ? ( f (a) ? f (b)) ? ln ab 2 2 2 2 2

因为

a?b a?b ? ab ,由 f ( x) ? ln x 是增, f ( ) ? f ( ab ) 所以 q ? p ? r ,选 C 考点:函数单调性的应用. 2 2
x?m

【例 2】 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2 则 a, b, c 的大小关系为()

( m 为实数) 为偶函数, 记 a ? f (log0.5 3), b ? f (log2 5), c ? f (2m) , ?1

(A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 函 数 f ? x? ? 2
x ?m x ?1 为 偶 函 数 , 所 以 m ? 0 , 即 f ? x? ? 2 ?1 , 所 以

a ? f( l o0g . 5

? ? 3) f ? ?

1? l 2o ? ?g 3?

1 l o2 g 3

? 2 ?

l o2 g

3 1? 2 ? ? ? 1

3

1

2,

b ? f ?log2 5? ? 2log2 5 ? 1 ? 4, c ? f ? 2m? ? f (0) ? 20 ? 1 ? 0 所以 c ? a ? b ,故选 C.
【Ex】1.已知 a ? 2 , b ? log2
? 1 3

1 1 , c ? log1 ,则(C) (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a 3 2 3

2.函数 f ( x) 是偶函数,且在区间 [0,2] 单调递减,则(B)

1

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(A) f (?1) ? f (log 0.5

1 1 ) ? f (lg 0.5) (B) f (lg 0.5) ? f (?1) ? f (log 0.5 ) 4 4

(C) f (log 0.5

1 1 ) ? f (?1) ? f (lg 0.5) (D) f (lg 0.5) ? f (log 0.5 ) ? f (?1) 4 4

? ? ? 【思考】根据统计,一名工作组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f ( x) ? ? ? ? ?

c , x ? A, x (A,C 为常数) 。 c ,x ? A A

已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 C 和 A 的值分别是 (A)75,25 (B)75,16 (C)60,25 (D)60,16

【解析】由条件可知, x ? A 时所用时间为常数,所以组装第 4 件产品用时必然满足第一个分段函数,即

f (4) ?

c 60 ? 30 ? c ? 60 , f ( A) ? ? 15 ? A ? 16 ,选 D 。 4 A

【例 3】设函数 f ( x) ? ?

? 3x ? 1, x ? 1, f (a) 则满足 f ( f (a)) ? 2 的 ? 取值范围是 x 2 , x ? 1. ?
可知 f (a) ? 1 ,则 ?

【解析】由 f ( f (a)) ? 2

f (a)

? a ? 1 ?a ? 1 2 或? ,解得 a ? . a 3 ?2 ? 1 ?3a ? 1 ? 1
. ( ( ,?? )

【思考】若 (a2 ? a ? 2) x ? (a 2 ? a ? 2)1? x ,则 x 的范围为

1 2



【例 3-1】如图,函数 f ? x ? 的图象为折线 ACB ,则不等式 f ? x ? ≥ log2 ? x ? 1? 的解集是(C) A. ?x | ?1 ? x ≤ 0? B. ?x | ?1 ≤ x ≤1? C. ?x | ?1 ? x ≤1? D. ?x | ?1 ? x ≤ 2?
y 2 C

【Ex】1.方程 log2 x ? x ? 0 的根所在大致范围是(B)
A -1 O B 2 x

1 (1,2) (A) (B) (0,1) (C) ( ,1)和(3,4) (D) (2,??) 2
x ? (D ) 2.设函数 f ( x) 的图象向右平移 1 个单位所得图象与函数 y ? e 的图象关于 y 轴对称,则 f ( x)
x ?1 x ?1 ? x ?1 ? x ?1

(A) e

(B) e

(C) e

(D ) e

【例 4】已知函数 f ( x) ? e 【解析】 (??,1] . Ex:1.函数 y ? 2
x2 ?4 x ?5

x ?a

,若 f ( x) 在 [1,??) 上是单调递增函数,则实数 a 的取值范围是. (a为常数)

的增区间为,减区间为

. .
2

2.函数 y ? log2 ( x ? 4 x ? 5) 的增区间为,减区间为
2

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【例 5】函数 (A)

f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则()

f ( x ) 是偶函数(B) f ( x ) 是奇函数(C) f ( x ) ? f ( x ? 2) (D) f ( x ? 3) 是奇函数 f ( x ? 1) 是奇函数可以从两方面理解:①函数 f ( x ? 1) 的图象是有函数 f ( x ) 的图象向左平移一个单

【解析】函数 位得到的, 函数

f ( x ? 1) 是奇函数,则其图象关于原点对称,因此函数 f ( x ) 的图象是关于点 (1,0) 对称的一条曲线;②

f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) 是奇函数, 则函数 f ( x ) 的图象是关于点 (1,0) 成中心对称.同理函数 f ( x ? 1) 是奇函

数,则点 ( ?1,0) 是它的对称中心. 因为

f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1), f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,

? f ( x ? 3) ? f [( x ? 2) ? 1] ? ? f [?( x ? 2) ? 1] ? ? f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 4) ? f ( x) , f (? x ? 1) ? - f ( x ? 1) ? - f [(x ? 4) ? 1] ? ? f ( x ? 3). f (? x ? 3) ? f [?( x ? 4) ? 1] ? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 3). 即 f ( x ? 3) 为奇函数.
【思考】函数

f ( x) ?

ax ? b 1 2 f ( ) ? . ( ? 1 , 1 ) 是定义在 内的奇函数,且 2 5 1 ? x2

(1)确定函数 (3)解不等式

f ( x) 的解析式; (2)用定义证明函数 f ( x) 在 (?1,1) 内是增函数; f (t ? 1) ? f (t ) ? 0.

? b ?1 ? 0 ? 0, ? f (0) ? 0, ? ?a ? 1, ? ?a x ?? . 1 2 ?? ? b 【解析】 (1)依题意可得 ? ,所以解析式为 f ( x ) ? 2 2 b?0 f( )? 1 ? x 2 ? ? ? ? ? 2 5 ?1? 1 5 ? ? 4
(2)任取 ? 1 ?

x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

x2 x1 ( x ? x1 )(1 ? x1 x2 ) ? ? 2 2 2 2 2 1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

2 2 ? ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 ? x2 ? x1 ? 0,1 ? x1 ? 0,1 ? x2 ? 0,?1 ? x1 x2 ? 1,

?1 ? x1 x2 ? 0, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即函数 f ( x ) 在 ( ?1,1) 上为增函数.

?? 1 ? t ? 1, 1 ? (3) f (t ? 1) ? ? f (t ) ? f ( ?t ) ,因为函数 f ( x ) 在 ( ?1,1) 上为增函数所以 ?? t ? 1, ,即 0 ? t ? . 2 ?t ? 1 ? ?t ?
【ex】1.设奇函数

f ( x ) 在 (0,??) 上为增函数,且 f (1) ? 0, 则不等式
3

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为(D) x

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(A) ( ?1,0) ? (1,??) (B) ( ??,?1) ? (0,1) (C) ( ??,?1) ? (1,??) (D) ( ?1,0) ? (0,1) 2.定义在 ( ?2,2) 上的函数 的实数 m 的取值范围.

f ( x) 是奇函数,并且在 ( ?2,2) 上是增函数,求满足条件 f (2 ? m) ? f (1 ? 2m) ? 0

【解析】

?2 ? m ? 2m ? 1, 1 ? f (2 ? m) ? f (2m ? 1) ? ?2 ? m ? 2, ? ? ? m ? 0. 2 ?2m ? 1 ? ?2 ?

【思考】1.用二分法求函数 f ( x) ? x3 ? 5 的零点可以取的初始区间是(A) (A) [?2,1] (B) [?1,0] (C) [0,1] (D) [1,2] 【解析】 f (?2) ? ?3 ? 0, f (1) ? 6 ? 0 2.函数 f ( x) ? ax ? 2a ? 1在 (?1,1) 内有零点,那么实数 a 的取值范围是 【解析】 f (?1) f (1) ? (3a ? 1)( a ? 1) ? 0 ? ?1 ? a ? ? . 【例 6】若 a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别位于区间(A) A、 ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 B、 ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 C、 ? b, c ? 和 ? c, ??? 内 D、 ? ??, a ? 和 ? c, ??? 内 .

1 3

【解析】? f (a) ? (a ? b)(a ? c) ? 0, f (b) ? (b ? c)(b ? a) ? 0, f (c) ? (c ? a)(c ? b) ? 0, ? 选A. 【ex】已知函数 f ( x) ? x ? 2x ? b(a ? 0) 的两根为 x1 , x2 ,则 x1 , x2 不可能为()
2

(A) ? 5,7 (B) - 3,1 (C) ? 3,5 (D) 0,2 【思考】 m 为何值时,函数 f ( x) ? x ? 2mx? 3m ? 4 .
2

(1)有且仅有一个零点?(2)有两个零点且均比-1 大?
2 【解析】 (1)有且仅有一个零点 ? ? ? (2m) ? 4(3m ? 4) ? 0 ? m ? 4或m ? ?1.

y

? f (?1) ? m ? 5 ? 0, ?m ? ?5, ? ? ? ?5 ? m ? ?1. ? ?m ? 1, (2)有两个零点且均比-1 大 ? ?? m ? ?1, ?? ? (2m) 2 ? 4(3m ? 1) ? 0 ?m ? ?1或m ? 4 ? ?
2 【例 7】设定义域为 (0,??) 的单调函数 f ( x ) 对任意的 x ? (0,??) 都有 f [ f ( x) ? x ] ? 6 , x0 是

–1

O
x=-m

x

方程 f ( x) ? f ?( x) ? 4 的一个正根,且 x0 ? (a, a ? 1)(a ? N ) ,则实数 a ? .
2 2 【解析】根据单调函数 f ( x ) 对任意的 x ? (0,??) 都有 f [ f ( x) ? x ] ? 6 ,可设 f (m) ? 6 ,则必有 f (m) ? m ? m ,

所以 m ? m ? 6 ? 0, m ? ?3 或 m ? 2
2

4

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即可得 f ( x) ? x2 ? 2 ,所以 f ( x) ? f ?( x) ? x2 ? 2x ? 2 ? 4 得 x1.2 ? 1 ? 3 ? a ? 2. 【思考】已知函数 f ( x ) 在 (0,??) 上为增函数,且 ?x ? (0,??), f [ f ( x) ? ln x] ? 1 ? e, 则 f (1) ? . 【解析】 :由 ?x ? (0,??), f [ f ( x) ? ln x] ? 1 ? e, 可知 ?a ? (0,??), f (a ) ? 1 ? e. (函数的定义) 又因为函数 f ( x ) 在 (0,??) 上为增函数,所以 ?x ? (0,??), f ( x ) ? ln x ? a. (函数的单调性) 所以 f (a ) ? ln a ? a, 即 f (a ) ? ln a ? a, 所以 ln a ? a ? 1 ? e, 而 ln e ? e ? 1 ? e, 又函数 r ( x ) ? ln x ? x 的单调性,可得 a ? e. 所以 ?x ? (0,??), f ( x) ? ln x ? e, 即 f ( x) ? ln x ? e, f (1) ? e.

5


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