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导数(3)导数在实际生活中的应用


专题
一、目标要求:

导数在实际生活中的应用

1、了解什么是最优化问题及最优化问题的类型(经营利润最大、生产效率最高、用力最省、用料最少、 消耗最省等) ; 2、了解解决最优化问题的常用方法:判别式法、均值不等式法、线性规划法、二次函数、导数法等) ; 3、掌握利用导数解决生活中最优化问题的一般步骤: (1)建立数学模型,写出函数解析式 y ? f ? x ? ,并 确定定义域; (2) 求出函数的导函数 f ' ? x ? , 找出 f ' ? x ? ? 0 的点, 即极值的可能点; (3) 比较函数 y ? f ? x ? 区间端点和极值可能点的函数值的大小,写出最大(小)值; (4)根据实际问题的意义写出答案;

二、例题讲解:
例题 1、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层,某栋建筑物要 建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元,该建筑物每年的能源消耗费用 C (单 位:万元)与隔热层厚度 x (单位: cm )满足关系: C ? x ? ?

k ? 0 ? x ? 10 ? ,若不建隔热层,每年 3x ? 5

能源消耗为 8 万元,设 f ? x ? 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗之和; (1)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ? x ? 到达最小,并求最小值;

例题 2、如图,在半径为 30cm 的半圆形( O 为圆心)铝片上截取一块矩形材料 ABCD ,其中点 A, B 在直 径上,点 C , D 在圆周上,若将所截得的矩形铝片 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不 计裁剪和拼接损耗) ,应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子体积最大?并求最大体积;

O

1

例题 3、统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y L 关于行驶速度 x km/h 的解析式可以 表示为: y ?

1 3 x3 ? x ? 8 ? 0? x ? 120 ? ,已知甲、乙两地相距 100km; 128000 80

(1)当汽车以 40km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的油耗最少?最少为多少升?

例题 4、两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的 ? AB 上选择一点 C 建造垃圾处理厂, 对其城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对县城 A 和县城 B 的总影响度为县城 A 和县城 B 影响 度之和,记 C 点到县城 A 的距离为 xkm,建在 C 处的垃圾处理厂对县城 A 和县城 B 的总影响度为 y,统 计调查表明:垃圾处理厂对县城 A 的影响度与所选地点到县城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对 县城 B 的影响度与所选地点到县城 B 的距离平方成反比, 比例系数为 k, 当垃圾处理厂建在 ? AB 的中点时, 对县城 A 和县城 B 总影响度为 0.065 ; (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)讨论(1)中函数的单调性,并判断 ? AB 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对县城 A 和县城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到县城 A 的距离,若不存在,说明理由。

例题 5、 某分公司经销某种品牌产品, 每件产品的成本为 3 元, 并且每件产品需向总公司交 a 元 ? 3 ? a ? 5? 的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元 ? 9 ? x ? 11? 时,一年的销售量为 ?12 ? x ? 万件,
2

(1)求分公司一年的利润 L 万元与每件产品的售价 x 的函数关系; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q ? a ? ;

2

三、巩固练习:
1、某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩, 经预测, 一个桥墩的工程费用为 256 万元, 距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 ? 假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素,记余下工程费用为 y 万元, (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m ? 640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

?

x x 万元,

?

2、某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千 克)满足关系式: y ?

a 2 ? 10 ? x ? 6 ? ,其中 3? x?6, a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可 x?3

售出该商品 11 千克, (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得利润最大;

3、如图,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN ,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且 对角线 MN 过 C 点, AB ? 3m, AD ? 2m ; (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32m ,则 AN 的长应在什么范围内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 面积最小?并求出最小面积; (3)若 AN 的长度不小于 6 m , 则当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 面积最小?并求出最小面积;
N P
2

D

C

A

B

M

3


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