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高三数学二轮总复习专题22:运用数形结合的思想方法解题


专题二十二
【典题导引】

运用数形结合的思想方法解题

例 1.(数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题) (1)函数 f ( x) ?

1 ? ? x ? 2? ? 3
2

x ?1

的值域为



1

2y 的取值范围是_________. ? x2 x (3) y ? (cos? ? cos ? ? 3)2 ? (sin ? ? sin ? ? 2)2 的最大值为 .
(2)若实数 x 、 y 满足条件 x2 ? y 2 ? 1 ,则 u ? (4)若实数 a 、 b 、 c 、 d 满足 值为 .
2

a2 ? 2ln a 3c ? 4 2 2 ? ? 1 ,则 u ? ? a ? c ? ? ?b ? d ? 的最小 b d
2

解:(1)令 y ? 1 ? ? x ? 2 ? ,则 ? x ? 2? ? y2 ? 1( y ? 0) ,设点 P( x, y ) , A(?1, ?3) ,

y ?3 2 ? kPA ,从而问题化归为半圆 ? x ? 2? ? y2 ? 1( y ? 0) 上的动点 P( x, y ) 与 x ?1 3 9 ? 17 定点 A(?1, ?3) 连线的斜率 k PA 的取值范围.结合图形易求得 ? k PA ? . 4 8 1 2 y x2 ? y 2 2 y y2 2 y (2) x2 ? y 2 ? 1 ,?u ? 2 ? ? ? ? ? ? ?1, x x x2 x x2 x y 令 t ? ,则 t 为双曲线 x2 ? y 2 ? 1 上动点 ( x, y ) 与坐标原点连线的斜率,结合图形 x 易求得 ?1 ? t ? 1 ,?u ? ?t 2 ? 2t ? 1, ?1 ? t ? 1 ,其值域为 (?2, 2) .
则 f ( x) ?
B (3)令 A(cos ? ,sin ? ) ,B(cos ? ? 3,sin ? ? 2) , 则 y ?A
2
2

, 从而问题化归为求圆 x2 ? y 2 ? 1

上点 A 与圆 ? x ? 3? ? ( y ? 2)2 ? 1 上点 B 距离平方的最大值.结合图形易求得

ABmax ? 2 ? 13 ,

2 ? ymax ? ABmax ? (2 ? 13)2 ? 17 ? 4 13 .

(4)令 A(a, b) , B(c, d ) ,则 u ? ? a ? c ? ? ?b ? d ? ? AB2 ,且点 A(a, b) , B(c, d ) 分别在
2 2

函数 y ? x2 ? 2ln x ,y ? 3x ? 4 的图象上. 结合图形易知 ABmin 为函数 y ? x2 ? 2ln x 图 象与直线 y ? 3x ? 4 平行的切线的切点与直线 y ? 3x ? 4 的距离,可求得切点
10 例 2.(数形结合解决隐含轨迹问题)

(2, 4 ? 2ln 2) ,? ABmin ?

2(1 ? ln 2)

2 ?[ , umin ? ABmin

2(1 ? ln 2) 10

]2 ?

2(1 ? ln 2) 2 . 5

(1)已知 OB ? ? 2, 0 ? , OC ? ? 2, 2 ? , CA ? 夹角的取值范围为

?

2 cos ? , 2 sin ? ? 0 ? ? ? 2? ? ,则 OA 与 OB 的

?



(2)已知 A(2cos? , 3sin ? )、B(2cos ? , 3sin ? )、C(?1,0) 是平面上三个不同的点,若 存在实数 ? ,使得 CA ? ? BC ,则 ? 的取值范围是 . (3) 设 D 是等腰 ?ABC 腰 AC 的中点, 若 BD ? 2 , 则 ?ABC 面积的最大值为 解: (1) CA ? .
2

?

2 cos ? , 2 sin ? ? 0 ? ? ? 2? ? , OC ? ? 2,2? , ? 点 A 是圆 ? x ? 2? ? ( y ? 2) ? 2
2

?

? 5? 上的任意一点,结合图形易求得 OA 与 OB 的夹角的取值范围为 [ , ] . 12 12 2 2 x y (2)题设有点 A 、 B 是椭圆 ? ? 1 上的点, C 为其左焦点,且 A , B , C 三点共线, 4 3 CA 结 合 图 形 知 CA 与 BC 同 向 , ? 由 CA ? ? BC 得 ? ? .由椭圆的焦半径性质得 BC

y
B
O D

A
x

BD ? 2 ,? 以 BD 中点 O 为原点, 5 16 建立如图所示的直角坐标系,易求得点 A 的轨迹方程为 ( x ? )2 ? y 2 ? , 3 9 1 4 8 ? (S?ABC )max ? 2(S?ABD )max ? 2 ? ? 2 ? ? . 2 3 3 例 3. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 1 , g ( x) ? a | x ? 1| . (1)若关于 x 的方程 | f ( x) |? g ( x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值.
解: (1)方程 | f ( x) |? g ( x) ,即 | x2 ?1| ? a| x ?1| ,变形得 | x ? 1| (| x ? 1| ?a) ? 0 ,显然, x ? 1 已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程 | x ? 1|? a ,有且仅有一个等 于 1 的解或无解 ,结合图形得 a ? 0 ;

1 ? ? ?3. 3 (3)不妨设 AB ? AC ,则 S?ABC ? 2S?ABD , AB ? 2AD .

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? 1), ? (2)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x ? 1| ?a | x ? 1| = ?? x 2 ? ax ? a ? 1, (?1 ? x ? 1), ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ?
2

a ? 1,即a ? 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 . a a ② 当 0 ? ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ?1] , [? ,1] 上递减, 2 2 a a2 a 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h(? ) ? ? a ? 1 , 2 2 4 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 . a a ③ 当 ?1 ? ? 0 ,即 ?2 ? a ? 0 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ?1] , [? ,1] 上递减, 2 2 a a a2 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h(? ) ? ? a ? 1 , 2 4 2 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 . 3 a a a ④ 当 ? ? ? ?1 ,即 ?3 ? a ? ?2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ] , [1, ? ] 上递减, 2 2 2 2 a a 在 [ ,1] , [? , 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 , h(2) ? a ? 3 ? 0 ,经比较,知此时 2 2 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 . a 3 当 ? ? ,即a ? ?3 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递增,在 [1,2] 上递减, 2 2 故此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 h(1) ? 0 .
① 当

综上,当 a ? 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 ; 当 ?3 ? a ? 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 ;

当 a ? ?3 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 0 . 例 4.(2010 江苏改编)设 f ( x) 是定义在区间 (1, ??) 上的函数,其导函数为 f ?( x) .如果 存在实数 a 和函数 h( x) ,其中 h( x) 对任意的 x ? (1, ??) 都有 h( x) ? 0 ,使得
f ?( x) ? h( x)( x2 ? ax ? 1) ,则称函数 f ( x) 具有性质 P(a) .

已知函数 g ( x) 具有性质 P(2) ,给定 x1 , x2 ? (1, ??) , x1 ? x2 ,设 m 为实数, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1 , ? ? 1 ,若
| g ?? ?-g ? ? ? ? g ? x1 ?-g ? x2 ? | ,求 m 的取值范围.

解: 由题意, 得 g?( x) ? h( x)( x2- 又 h( x) 对任意的 x ? (1, ??) 都有 h( x) ? 0 , 2x+ 1) ? h( x)( x- 1)2 , 所以对任意的 x ? (1, ??) 都有 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增. 又 ? ? ? ? x1 ? x2 , ? ? ? ? (2m ? 1)( x1 ? x2 ) . 1 m ? 1 时, ???, (? ) 1x? 1 ( ? )mx 2 , ? ? x2 ? (1 ? m) x1 ? (m ? 1) x2 , 当m ? , 且 ? ? x1? m 1 2 ?(? ? x1 )(? ? x2 ) ? ?(m ? 1)2 ( x1 ? x2 )2 ? 0 ,?? ? x1 ? x2 ? ? 或 x1 ? ? ? ? ? x2 . 若 ? ? x1 ? x2 ? ? ,则 g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (? ) ,
? | g (? ) ? g (? ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | ,不合题意.? x1 ? ? ? ? ? x2 ,

? x ? mx1 ? (1 ? m) x2 , 1 即? 1 解得 m ? 1 ,? ? m ? 1 ; 2 ?(1 ? m) x1 ? mx2 ? x2 , 1 当 m ? 时, ? ? ? , 0 ?| g (? ) ? g (? ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | ,符合题意; 2 1 当 m ? 时, ? ? ? ,且 ? ? x2 ? m( x1 ? x2 ) , ? ? x1 ? ?m( x1 ? x2 ) , 2 ? x ? (1 ? m) x1 ? mx2 , 1 同理有 x1 ? ? ? ? ? x2 ,即 ? 1 解得 m ? 0 ,? 0 ? m ? , 2 ?mx1 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

综合以上讨论得:所求 m 的取值范围是 (0,1) .

【归类总结】
1.“数”与“形”之间是有紧密联系的,既可以由“数”来研究“形”,也可以由“形”来研究“数”, 这种“数”与“形”相互转化的数学思想即为数形结合思想. 2.数形结合的思想方法的应用可以分为两种情况:一是借助于“数”的精确性和规范严密性 来阐明“形”的属性;二是借助于“形”的生动性和直观性来阐明“数”之间的关系,使抽象 思维和形象思维有机结合. 3.数形结合的途径: (1)通过坐标系形题数解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现 的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的) ;值得强调的是,形题 数解时,通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用,可以

大大缩短代数推理) . 实现数形结合,常与以下内容有关:① 实数与数轴上的点的对应关系;② 函数与图象的 对应关系;③ 曲线与方程的对应关系;④ 以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念, 如复数、三角函数等;⑤ 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义,如等式: 2 2 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 . 常见方法有: ①解析法:建立适当的坐标系(直角坐标系,极坐标系) ,引进坐标将几何图形变换为坐标间 的代数关系. ②三角法:将几何问题与三角形沟通,运用三角代数知识获得探求结合的途径. ③向量法: 将几何图形向量化, 运用向量运算解决几何中的平角、 垂直、 夹角、距离等问题. 把 抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问 题变得有章可循. (2)通过转化构造数题形解 许多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数与形进行巧妙地转化.例如,将 a ? 0 与距离互化,将 a 2 与面积互化,将 a 2 ? b 2 ? ab 与余弦定理沟通,将 a ? b ? c ? 0 且 b ? c ? a 中的 a 、 b 、 c 与三角形的三边沟通,将有序实数对(或复数)和点沟通,将二元 一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构 的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的) .另外,函数的图象也是实现数形转化 的有效工具之一,正是基于此,函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作 用. 常见的转换途径为: ①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题,并借助函数的图象 和性质解决相关的问题. ②利用平面向量的数量关系及模 AB 的性质来寻求代数式性质. ③构造几何模型.通过代数式的结构分析,构造出符合代数式的几何图形,如将 a 与 正方形的面积互化,将 abc 与体积互化,将 a2 ? c2 与勾股定理沟通等等. ④利用解析几何中的曲线与方程的关系,重要的公式(如两点间的距离 | Ax0 ? By0 ? C | ,直线的斜率,直线的 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ,点到直线的距离 d ? A2 ? B 2 截距) 、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质. 4. 研究方程根的个数、 根的范围等问题时, 经常采用数形结合的方法. 一般地, 方程 f ( x) ? 0 的根,就是函数 f ( x) 的零点,方程 f ( x) ? g ( x) 的根,就是函数 f ( x) 和 g ( x) 的图象的交点 的横坐标.
2


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