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【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教A版必修1):第2章-基本初等函数Ⅰ-章末复习课.-新课标人教A版


章末复习课

1.熟练地进行指数式与根式的互化,对含有指数式(或根式)的乘除运算要善于利用幂的运 算法则, 注意表达式中出现的数量之间的关系, 利用分数指数幂进行根式运算的顺序是先把 根式化为分数指数幂,再根据幂的运算性质进行运算. 2.应用指数函数 y=ax 的图象和性质时,若底数含有字母,要特别注意 a>1 还是 0<a<1. 3.比较大

小问题:先判断幂与 1 的大小,然后分类比较.同底数的幂用指数函数单调性比 较;同指数的幂用幂函数的单调性比较,也可以利用图象比较大小. 4.准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提,利用对数运算可以把乘、除、 乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算,从而显示了对数计算的优越性. 5.一般当给出的等式是指数形式时,通常对等式两边取对数,这是一种常用的解题技巧. 6.应用换底公式时,应注意选择恰当的底,既要善于“正用” ,还要注意它的“逆用” . 7.比较对数大小时,应先区分各对数值是正还是负,再区分是大于 1 的数还是小于 1 的正 数,然后分类比较.同底数的对数大小比较,利用对数函数单调性;不同底数同真数的对数 大小比较可取倒数,化为同底数比较,亦可使用图象;真数、底数都不同的对数比较大小要 借助中介值或图象比较大小.

一、比较大小的方法 比较几个数的大小是幂、指数、对数函数的又一重要应用,常用的方法有:单调性法、搭桥 法、图象法、特殊值法、作差法、作商法等. 例 1 比较三个数 0.32,log20.3,20.3 的大小. 分析 根据三个数式的特点, 选择 y=x2, y=log2x, y=2x 三个函数的图象和性质加以比较. 解 方法一 ∵0.32<12=1,log20.3<log21=0,20.3>20=1, ∴log20.3<0.32<20.3. 方法二 作出函数图象如图所示,由图象即可看出 log20.3<0.32<20.3. 点评 比较幂函数、指数函数、对数函数型的数值间的大小关系时要注意:(1)若指数相同, 底数不同,则利用幂函数的单调性;(2)若底数相同,指数不同,则利用指数函数的单调性; (3)若底数不同,指数也不同,以及一些对数函数型数值等,应寻找媒介数(常用 0,1)进行比 较;(4)作差比较和作商比较是常用技巧.

二、换元法的应用

研究函数除了几种基本初等函数外, 还要研究由它们进行复合而形成的复合函数的性质, 这 些函数性质在研究时,常用换元的思路,使问题转化为已知的问题. 例 2 f(x)=9x+-3x+a,x∈[1,2]的最大值为 5,求其最小值. 解 f(x)=32x+1-3x+a. 设 3x=t,则 t∈[3,9]. ∴f(x)=g(t)=3t2-t+a =32+a-,t∈[3,9]. ∴f(x)max=g(9)=3·92-9+a=5,∴a=-229, ∴f(x)min=g(3)=24+a=-205. 点评 利用换元法求值域必须先求出新元的取值范围作为新函数的定义域.

三、数形结合思想的应用 数学的本质是数与形的统一, 数形结合的思想始终是数学研究中最重要的思想方法之一. 研 究和应用指数函数、对数函数的性质,图象是个有力的工具;并且,由于这两类函数的图象 都比较单一,也容易画出,因此,利用它们的图象来进行比较大小,讨论方程根的情况等题 目比较普遍. 例 3 方程 a-x=logax (a>0 且 a≠1)的实数解的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 本例可用数形结合法画出 y=a-x 与 y=logax 的图象,观察交点个数,要注意对 a 分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论. 当 a>1 时, 在同一坐标系中画出 y1=logax 的图象和 y2=a-x 的图象如图(1), 由图象知两函 数图象只有一个交点;同理,当 0<a<1 时,由图象(2)知,两图象也只有一个交点.因此, 不论何种情况,方程只有一个实数解.

四、分类讨论思想的应用 指数函数与对数函数的性质渗透了分类讨论的数学思想方法. 由于指数函数 y=ax,对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的性质都与 a 的取值有密切的联系,a 变化时,函数的性质也随之改变;因此,在 a 的值不确定时,要对它们进行分类讨论. 例 4 若-1<loga <1,求 a 的取值范围. 解 -1<loga <1, 即 loga =-1<loga <1=loga a. (1)当 a>1 时,有 loga 为增函数,<<a. ∴a>,结合 a>1,故 a>. (2)当 0<a<1 时,有 loga 为减函数,>>a. ∴a<,结合 0<a<1,故 0<a<. ∴a 的取值范围是∪.

点评 解含参数的不等式或方程时常常要对参数进行讨论, 讨论是自然产生的, 不要为了讨 论而讨论. 还需明确的就是分类的目的是什么, 分类之后就等于将整个一个大问题划分为若干个小问题, 每个小问题可以解决了,整个大问题也就解决了. 一、选择题 1.已知集合 A={y|y=logax,x>0,a>0 且 a≠1},B=,则 A∩B 等于( A.{x|x≥-1} B.{x|x≤-1} C.{x|x≥0} D.{x|x>0} 答案 B 解析 ∵A=R,B=(-∞,-1],B ? A, ∴A∩B=B=(-∞,-1]. 2.设 a>b>1,0<x<1,则有( ) A.xa>xb B.bx>ax C.logax>logbx D.logxa>logxb 答案 C 解析 画图象可知. 3.若 logm2<logn2<0,则实数 m、n 的大小关系是( ) A.1<n<m B.0<n<m<1 C.1<m<n D.0<m<n<1 答案 B 解析 画图象可知. 4.函数 y=(|x|)的图象可能是下列四个图中的( )

)

答案 D 解析 由 y=(|x|)知函数为偶函数,且 0<x<1 时,y>x. 5.函数 y=2+log2x (x≥1)的值域为( ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.[2,+∞) D.[3,+∞) 答案 C 解析 x≥1 时,log2 x≥0,∴y≥2. 二、填空题 6.设 f(x)=,则满足 f(x)=的 x 值为________. 答案 3, 解析 ∵f(x)=,当 3-x=时,x=log3 4?(-∞,1],,∴log81 x=,即 x===3∈(1,+∞),, 综上可知,满足 f(x)=的 x 的值是 3. 7.=________., 答案 -4, 解析 原式====-4. 8.已知 a>1,0<x<1 且 alogb(1-x)>1,那么 b 的取值范围是______________. 答案 (0,1), 解析 ∵alogb(1-x)>a0,且 a>1.,∴logb(1-x)>0.,又∵0<x<1,∴0<1-x<1.∴0<b<1., 三、解答题, 9.证明 f(x)=在其定义域内是减函数

证明 ∵函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞), 设 x1,x2 为区间(-∞,+∞)上任意两个值,且 x1<x2, 则 f(x2)-f(x1)=-(x2-x1),=-(x2-x1) =(x2-x1) ∵x2>x1,∴x2-x1>0,且>0., 又∵对任意 x∈R,都有, ∴x-<0,∴x1-<0,x2-<0,,∴f(x2)-f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1).,所以,函数 f(x)=在其定义 域 R 内单调递减., 10.若 f(x)=1+logx 3,g(x)=2logx 2,试比较 f(x)与 g(x)的大小. 解 f(x)-g(x)=logx 3x-logx 4=logx .,当 0<x<1 时,logx x>0,f(x)>g(x); 当 x=时,f(x)=g(x);,当 1<x<时,logx x<0,f(x)<g(x). 当 x>时,logx x>0,f(x)>g(x). 综上所述, 当 x∈(0,1)∪ (, +∞))时, f(x)>g(x); ,当 x=时, f(x)=g(x); ,当 x∈ (1, )时, f(x)<g(x).


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