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高中物理竞赛实验的基础知识课件


(1879-1955)


§1-2 测量与误差


4 7

§1-1 物理实验课的基本程序和要求

§1-3 系统误差
§1-4 偶然误差

9 11

§1-5 实验中的错误与错误数据
§1-6 测量结果的不

确定度 15 §1-7 有效数字 23 §1-8 数据处理的基本方法
30

14

结束放影

§1-1 物理实验课的基本程序和要求 在实验前必须预习,弄清实验原理和内容,并 对测量仪器和测量方法有所了解。在此环节,重 点解决三个问题: (1)做什么(这个实验最终要达到什么目的); (2) 根据什么去做(实验课题的理论依据和

实 验方法);
(3)怎么做(实验方案、条件、步骤和 实验关键要领) ( 1 , 2 ) 实验过程的
(一)实验预习 → 预习报告
→ 实验报告
结束放影

(二)实验操作 → 实验数据
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三个环节 (三)撰写报告

实验操作
(1)正确安装、调试与使用仪器; (2)仔细观察物理现象,正确测量物理量; (3)正确记录实验条件和原始实验数据。

几点说明
(1)“三先三后”原则:

先观察后测量,先练习后测量,先粗测后细测。
(2)实验数据须教师审阅、认可;

(3)实验结束后,整理好仪器与用具。
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目录

实验报告( 1、2)
(1)实验项目

(2)实验目的
(3)仪器 用具

(4)实验原理
(5)实验内容 (6)数据处理与分析

(7)实验结果的讨论与误差分析
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目录

§1-2 测量与误差
1.测量 1)直接测量 2)间接测量
1 2 V ? ? (d12 ? d 2 )h 4

测量值包括两部分:数值和单位。

h = 25.96 mm
2.真值与误差

测量误差=测量值-真值
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3. 测量的任务
1) 给出被测量真值的最佳估计值; 2) 尽量减少测量中的误差,对残存误差的大 小给出估计值; 3) 给出真值最佳估计值的可靠程度的估计。 4. 误差的分类

1)系统误差 2)偶然误差(随机误差) 3)粗大误差(测量错误)
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§1-3 系统误差
1. 系统误差的特点:误差的绝对值和符号(正 负)总保持不变或总按某一特定的规律变化。 2. 系统误差的产生原因: 1) 实验原理和实验方法不完善。 a) 应用单摆周期公式求重力加速度。
T ? 2? l g ? 4? 2 g ? l 2 T

b) 伏安法测量电阻
R ? U I
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2)仪器结构不完善 3)未按规定条件使用仪器。 4) 环境条件的改变。 5)测量者生理、心理因素的影响。 3. 研究系统误差的目的: (1)探索系统误差的来源,设计实验方案 消除或削减该项误差; (2)估计残存系统误差的可能的范围。
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§1-4 偶然误差
1. 偶然误差的特点:误差的时大时小,时正时 负,以一种不可预测的方式随机地变化。 2. 偶然误差的统计规律(正态分布)

服从正态分布(高斯分布)的偶然误差的特征:
1) 单峰性; 2) 对称性; 3) 有界性;

4) 抵偿性。
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3. 测量结果的最佳值--算术平均值 4. 多次测量的偶然误差估计

1 n N ? ? Ni n i ?1

测量列的标准偏差
?N ?

? (N
i ?1

n

i

? N )2

n ?1

标准偏差?N所表示的意义是:任作一次 测量,测量值误差落到-?N到+?N之间的 可能性为68.3%.
算术平均值的标准偏差
?N ? ?N
n ?

? (N
i ?1

n

i

? N )2

n(n ? 1)

实验中一般取:6≤n≤10
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标准误差所表示的统计意义 对物理量A 任做一次测量时,测量误差

落在-? 到+?之间的可能性为68.3%,
落在-2? 到+2?之间的可能性为95.5%, 而落在-3?到+3?之间的可能性为99.7 % .
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§1-5 实验中的错误与错误数据
数据分析是发现错误的重要方法 例如 测量单摆摆动50个周期的时间t=50T:
98.4s; 96.7s; 97.7s. T≈2s 98.4-96.7=1.7s; 97.7-96.7=1.0s

误差在半个周期以上。 这显然是测量错误。 1. 剔除错误数据拉依达准则( 3? 准则)
x ? x ? 3? (n ? 10)
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*( 2. 肖维涅准则 , 3. 罗布斯判据 )
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§1-6 测量结果的不确定度
1. 什么是不确定度

所谓不确定度,可简单理解为测量值不确 定的程度,是对测量误差大小取值的测度。它 合理地说明了测量值的分散程度和真值所在范 围的可靠程度。不确定度亦可理解为,一定置 信概率下误差限的绝对值。测量不确定度是测 量质量的指标,是对测量结果残存误差的评估。
测量结果 Y ? N ? ?N Y代表待测物理量,N为该物理量的测量值,?N 是一个恒正的量,代表测量值N不确定的程度。
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2. 测量结果的含义
?? N -e ? ~ ? N +e ?? 范围包括真值的概率为100%. ? ?

e为极限不确定度。表示真值一定在[ N-e ,N+e ]中.
?? N -? N ? ~ ? N +? N ?? 范围包括真值的概率为68.3%. ? ?

? N 为测量列算术平均值的标准误差.
? 数值 物理实验中的物理量的三要素 ? ? 单位 ? 不确定度 ?
不确定度 相对不确定度= 测量值
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3. 不确定度的估计方法 1)对直接测量结果不确定度的估计 (1) 相同条件下多次测量情况 测量结果的最佳值--算术平均值 N
n

1 n ? ? Ni n i ?1

测量列的标准不确定度
算术平均值
?N ?
N

?N ?

2 ( N ? N ) ? i i ?1

n ?1

的标准不确定度(A类分量 uA ( N ) )
?

?N
n

? (N
i ?1

n

i

? N )2

n(n ? 1)

测量结果报道

Y ? N ?? N
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* 标准不确定度(B类分量)
*合成标准不确定度

uB ( N ) ?

?仪 3

2 2 uC ( N ) ? u A ( N ) ? uB (N )

(2) 单次测量的误差估计(取B类分量)
e ?= 3 e

为极限不确定度。

e的取法一般有两种: 一种是取仪器出厂时的允差; 另一种是根据仪器结构、环境条件、测量对象、 测量者本人感官灵敏度作估计(两者取一即可)
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1)对间接测量结果不确定度的估计 (1)引言 测量圆柱体体积
1 V ? ? d 2h 4 1 ?Vh ? ? d 2 ?h 4 ?Vh 1 ? ?h V h

高度误差引起体积误差

相对误差
直径误差引起体积误差

1 1 2 2 ?Vd ? ? h ? ( d ? ?d ) ? d ? ? ? h ? 2?d ? ? 4 4 ?Vd 2 ? ?d 相对误差 V d
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总误差(误差的合成) 算术合成方式
1 1 2 ?V ? ?Vh ? ?Vd ? ? d ?h ? ? h ? 2?d 4 4 ?Vh ?Vd ?V 1 2 ? ? ? ?h ? ?d V V V h d

方和根合成法
?V ? (?Vh ) ? (?Vd ) ?
2 2

1 1 2 2 2 ( ? d ) (?h) ? ( ? h ? 2) 2 (?d ) 2 4 4
2

?V ? V

? ?Vh ? ? ?Vd ? ? ? ?? ? ? V ? ? V ?

2

?

?1 ? ?2 ? ? h ? ? d ? ? ? ? ?h ? ?d ?
结束放影

2

2

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(2)间接测量量的不确定度的合成 算术合成方式
eV 1 1 2 ? eVh ? eVd ? ? d eh ? ? h ? 2ed 4 4 eVh eVd eV 1 2 ? ? ? eh ? ed V V V h d

测量结果报道 Y ? V (d , h ) ? eV 标准不确定度的方和根合成方式
? V ? (? V )2 ? (? V )2 ? ( ? d 2 )2 (? h )2 ? ( ? h ? 2)2 (? d )2
h d

1 4

1 4

?V
V

?

测量结果报道 Y ? V (d , h ) ? ?V
结束放影

? ? Vh ? ? ? Vd ? ? ? ?? ? V V ? ? ? ?
2

2

?

?1 ? ?2 ? ? ? ? h ? d ? ? ? h d ? ? ? ?

2

2

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表1.1 不确定度合成的常用公式 函数表达式
N ? x? y
N ? xy或 N ? x/ y

方和根合成方式
?N ?
?N
N ?
2 2 ?x ?? y

算术合成方式
eN ? ex ? ey

??y ? ??x ? ? ? ? ? ? ? x ? ? y ?
2

2

ey eN e ? x ? N x y

N ? kx (k为常数)

?N ? k ?x
?N
N ? k

eN ? k ex
eN e ? k x N x

N?x

k

?x
x

(k为常数)
N ?x y
k l

?N

(k,l为常数) N

?

? l ? ?k ? ? ? ? x ? y ? ? ? ?x ? ? y ?

2

2

eN k l ? ex ? ey N x y
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§1-7 有效数字
1. 仪器读数、记录与有效数字

一般地讲,仪器上显示的数字均为有效数字, 均应读出(包括最后一位的估读)并记录。 仪器上显示的最后一位数是“0”时,此“0” 也是有效数字,也要读出并记录。 有效数字总是由若干位准确数和最后一位欠 准数(有误差的数)构成的。 有效数字是表示不确定度的一种粗略的方法, 而不确定度则是对有效数字中最后一位不确定 程度的定量描述。它们都表示含有误差的测量 结果。
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有效数字的位数与小数点的位置无关。例如, 1.23与123同是3位有效数字。

从左往右数,以第一个不为零的数字为准, 其左边的“0”不是有效数字,其右边的“0” 是 有效数字. 例如,0.0123是3位有效数字,0.01230 是4位有效数字.作为有效数字“0”,不可省略不写 有效数字的意义

有效数字表示测量值的大小和测量结果的不 确定度。例如12.8mm 与 12.84mm , 前者的不确 定度、相对不确定度均比后者大。例如2.3mm与 22.3mm,1.28mm与112.8mm……。
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2. 如何确定有效数字 1)当给出(或求出)不确定度时,测量结果的 有效数字由不确定度确定。 确定测量值有效数字位数的两条基本原则: 1)先确定不确定度的有效数字位数,一般情况 下,不确定度只取一位有效数字 2)由不确定度确定测量值有效数字的位数, 即 两者的末位必须对齐! 例如,赣州市的重力加速度: g = 9.7925 m· s-2 u (g) = 0.0176 m· s-2
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g = ( 9.79 ± 0.02 ) m· s-2

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2)当未给出(或未求出)不确定度时,运算结 果的有效数字的位数也不能任意选取. 加减类型的运算,运算结果的末位应与末位 最高的数的末位取齐. 例如, 432.3+0.1263-2=430

乘除类型的运算,运算结果的末位应与有效 数字位数最少的分量相同. 例如,
48 ? 3.2345 ? 52 2 (1.73)

当运算结果的第一位数是1,2,3时,可以多 保留一位有效数字.例如 6.3×4.3=27.7
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3. 数值的修约规则 四舍六入五凑偶 (1)四舍:开始要舍去的第一位数是1、2、

3、4时就舍去。2.14346→2.143
(2)六入:开始要舍去的第一位数是6、7、

8、9时,在舍去的同时进1。 2.14372→2.144
(3)五凑偶: 要舍去的一位是5,而保留的最后 一位为奇数,则舍去5进1;如果要保留的最后一 位为偶数,则舍去5不进位,但是5的下一位不是 “0”时仍然要进位。 2.14350→2.144; 2.14450→2.144; 2.14351→2.144 结束放影
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[例题] 测定一个合金圆柱体的密度 ? ,并求 其标准不确定度 ? ? . em ? 0.04 g 物理天平称质量 m ? 14.00 g 用螺旋测径器测量直径D,用游标卡尺测高度H.
D/cm H/cm 1.0502 2.000 1.0488 2.002 1.0516 1.998 1.0480 2.000 1.0495 2.000 1.0470 2.002

[解] (1)计算D的算术平均值 D 及其标准差 ? D
D ? 1.04918cm

? D ? 0.0007cm

D ? (1.0492 ? 0.0007)cm

(2)计算D的算术平均值 H 及其标准差 ? H
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H ? H ? ? H ? (2.003 ? 0.0006)cm

(3)计算 ? m
0.04 ?m ? g ? 0.02 g 3

m ? ? m ? (14.00 ? 0.02) g
?

(4)计算合金圆柱体的密度

4m 4 ?14.00 3 ?? ? g/cm ? D 2 H 3.1416 ? (1.0492)2 ? 2.0003

(5)计算
?? ? ?

??
2 2 2

? 2? D ? ??H ? ? ?m ? ? ? ? 0.0020 ? ? ? ? ? ? ? m ? ? D ? ? H ?

? ? ? 8.09 ? 0.0020g/cm3 ? 0.016g/cm3 ? 0.02g/cm3
3 ? ? ? ? (8.09 ? 0.02) g/cm (6)测量结果为 ?
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§1-8 数据处理的基本方法

1. 列表法 列表应遵循的原则 (1)各栏目均应标明物理量名称及其单位,单 位写在标题栏中,不要重复记在每个数字上。 (2)列入表中的数据主要是原始数据,数据处 理过程中的一些重要的中间结果(比如,平均值, 标准偏差)也可列入表中。 (3)栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计 算顺序,力求简明、齐全、有条理。 (4)表中的数据要正确反映测量结果的有效数 字,客观真实。 (5)若有两个以上的数据表,宜在每个表上方 标记名称(即表头).
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2. 作图法 作图基本原则 (1)作图须用坐标纸。一般选用直角坐标 纸(毫米方格纸)。 (2)坐标的横轴为自变量,纵轴为因变量。 (3)坐标原点不一定和变量的零点一致, 但原点一定要取比较整齐的数。 (4)宜使坐标纸中的一小格对应于实验数 据的最后一位的一个单位、二个单位或五个单 位。纵轴与横轴长度之比不宜大于2。 (5)画上坐标轴并注明坐标轴所代表物理 量的名称与单位。 (6)用铅笔标记数据点并作拟合图线并标 明图线的名称。 (7)将图纸粘贴在实验报告上。 结束放影 目录

3. 图解法 作图并在直线上数据区的两端取二点(x1,y1), (x2,y2) (此两点一般不是数据点) 斜率 截距
y2 ? y1 b? x2 ? x1
a ? y2 ? bx2
y(m.s )
3.6 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 3.0 2.9 2.8 2.7 -1

自由落体运动
y = 4.906x + 1.8302 R 2 = 0.9999

x2 y1 ? x1 y2 a? x2 ? x1

2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2.0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

x(s)

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4. 逐差法

逐差法常用的表格形式
li=xi+5- xi (cm)
2.44 0.00

i Mi(kg) xi(cm)
0 0.0

1
2 3 4 5 6 7 8 9

1.0
2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

0.56
0.97 1.42 1.90 2.44 2.81 3.30 3.72 4.55

2.25
2.33 2.30 2.65

l ??l
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5. 最小二乘法
yi ? b0 ? b1 xi ? ? i
2 ? ? i ? ?? yi ? (b0 ? b1xi )? 2

?i ? yi ? (b0 ? b1xi )
令 ?? ? i2 ?b0 ?0 ; ?? ? i2 ?b1 ?0

可得

截距

b0 ? ? yi / n ? b1 ? xi / n ? y ? b1 x n? xi yi ? ? xi ? yi n? x ? (? xi )
2 i
i

斜率 b1 ?

2

?

xy ? x ? y x 2 ? ( x )2

相关系数

r?

? ( x ? x )( y ? y ) ? (x ? x ) ? ? ( y ? y)
i 2 i i

2

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令 S xx ?
S yy ?

2 ( x ? x ) ? ? i

2 2 x ? ( x ) ? i ? i /n

2 ( y ? y ) ? i ?

2 2 y ? ( y ) ? i ? i /n

S xy ? ?(xi ? x )( yi ? y ) ?

? x y ? (? x ? ? y ) / n
i i i i


b1 ?

b1 ? Sxy / Sxx

b0 ? y ? b1 ? x

r ? S xy / S xx ? S yy

xy ? x ? y x ? (x )
2 2

?

S xy S xx

?? r

xy ? x ? y ? x 2 ? ( x )2 ? ? y 2 ? ( y )2 ? ? ?? ?

?

S xy S xx S yy

?

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i 2 2 ( x ? x ) ( y ? y ) ? i ? i i ?1 i ?1
结束放影

n

n

n

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最小二乘法(用计算器, Excel表)

结束放影

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4?l 2 E? ? ab3 eE e? el e? ea eb ? ? 2? ? ? 2 E ? l ? a b

?

eE e? 2el e? ea 3eb ? ? ? ? ? E ? l ? a b

? e? ? ? 2el ? ? e? ? ? ea ? ? 3eb ? eE ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? E ? l ? a b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
结束放影

2

2

2

2

2

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