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安徽省安庆市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷


安庆一中 2015-2016 学年度第一学期期末考试 高二数学(理科) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的.) 1.抛物线 y ? 2 x 的焦点坐标是(
2

) C. ( , 0)

A. (0, )

1 4

/>B. (0, )

1 8

1 8

D. ( , 0) )

1 4

2. a =(1-t,1-t,t) , b =(2,t,t) ,则| b - a |的最小值是( A. 3.若椭圆 ( ) A. y ? ? B. C. D.

x2 y2 x2 y2 1 的离心率为 ,则双曲线 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1 的渐近线方程为 2 a2 b2 a2 b2

3 x 2

B. y ? ? 3 x )

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

4.下列命题中正确的是(

A.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题 B.“ a ? 0 , b ? 0 ”是“

b a ? ? 2 ”的充分必要条件 a b

C .命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 1 或 x ? 2 ,则

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”
2 D.命题 p : ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0

5.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线 A1B 与

AC 所成角的余弦值是 (

).

1

A.

6 5

B.

6 4

C.

6 3

D.

6 6
) .

6. 设 F( 0) , F( 0) 为定点, 动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8, 则动点 M 的轨迹是 ( 1 -4, 2 4, A.椭圆 B.直线
2

C.圆

D.线段

7.若直线 y ? kx ? k 交抛物线 y ? 4 x 于 A,B 两点,且线段 AB 中点到 y 轴的距离为 3,则

AB ? (
A、12

) B、10 C、8 D、6

8.已知双曲线 C: - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为 C 的右支上一点,且|PF2|= 4 5 → → |F1F2|,则PF1·PF2等于( A.24
2 2

x2 y2

) C.50 D.56

B.48

x y 3 9.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1、F2,b=4,离心率为 .过 F1 的直线交椭圆于 a b 5 A、B 两点,则△ABF2 的周长为(
A.10 B.12 ) C.16 D.20

10.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦 等于( A. ). B.

6 4

10 4

C.

2 2

D.

3 2

11.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7,0),直线 y=x-1 与其相交于 M,N 两点,

MN 中点的横坐标为- ,则此双曲线的方程是(
A. - =1 3 4

2 3

) D. - =1 4 3

x2 y2

B. - =1 2 5

x2 y2

C. - =1 5 2

x2 y2

x2 y2

12.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A , B 是抛物线上的两个动点,且满足
?AFB ?

| MN | 2? ,设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N ,则 的最大值是( | AB | 3



A. 3

B.

3 2

C.

3 3

D.

3 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确的答案填在答题卡的相应位 置上) 13.已知命题 p : ?x ? R , ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 .若命题 ? p 是真命题,则实数 a 的取值范
2

围是



14 . 已 知 a ? (2, ?1, 2) , b ? (?1,3, ?3) , c ? (13, 6, ? ) , 若 向 量 a, b, c 共 面 , 则

??



15.设 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 是 C 的右支上的 a 2 b2
1 | F1 F2 | , 3

点,射线 PT 平分 ?F1 PF2 ,过原点 O 作 PT 的平行线交 PF1 于点 M ,若 | MP |? 则 C 的离心率为 .
2 2

16. 已知 ABCD-A1B1C1D1 为正方体, ①( A1 A + A1 D1 + A1 B1 ) =3 A1 B1 ; ② A1C ·( A1 B1 - A1 A ) = 0 ; ③ 向 量 AD1 与 向 量 A1 B 的 夹 角 是 60° ; ④ 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的 体 积 为 | AB · A1 A · AD |.其中正确命题的序号是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17. (本小题满分 10 分)已知命题 p :实数 m 满足 m 2 ? 7 am ? 12a 2 ? 0 (a ? 0) ,命题 q : 实数 m 满足方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,若 ?q 是 ?p 的充分不必要条 m ?1 2 ? m

件,求 a 的取值范围. 18. (本小题满分 10 分)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 ,且过点 D . F ( ? 3, 0) (2, 0) (1)求该椭圆的标准方程; (2)设点 A( ,若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程. 1 ,) 19. (本小题满分 12 分)在边长是 2 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为

1 2

AB, A1C 的中点. 应用空间向量方法求解下列问题.

3

z D1

C

y

x

A

(1)求 EF 的长; (2)证明: EF // 平面 AA1 D1 D ; (3)证明: EF ? 平面 A1CD . 20. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,设动点 P 到定点 F (1,0) 的距离与到定直线

l : x ? ?1 的距离相等,记 P 的轨迹为 ? , 又直线 AB 的一个方向向量 d ? (1,2) 且过点
(1,0) , AB 与 ? 交于 A、B 两点,求 | AB | 的长.
21. (本小题满分 13 分)如图,平面 ABEF ? 平面 ABC , 四边形 ABEF 为矩形, AC ? BC . O 为 AB 的中点,

OF ? EC .
(1)求证: OE ? FC ; (2)若

AC 3 时,求二面角 F ? CE ? B 的余弦值. ? AB 2

22. (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C1:

x2 ? y 2 ? 1 , x 轴被曲线 C2 : y ? x 2 ? b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长. 4

(1)求实数 b 的值; (2)设 C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A、B,直线 MA、MB 分别 与 C1 相交于点 D、E.

4

①证明: MD ? ME ? 0 ②记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S 2 , 若

S1 ? ? ,求 ? 的取值范围. S2

5

高二理科数学答案 一、选择题 12.C. 【解析】 设 AF ? a, BF ? b 则 MN = 1-5BCADD 6-10DCCDA 11-12BC

a?b 2

AB ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos

2? | MN | a?b ? a 2 ? b 2 ? ab ,∴ ? 2 3 | AB | 2 a ? ab ? b 2
1 1? a ?b ab
2 2

1 a 2 ? b 2 ? 2ab 1 ab 1 ? ? 1? 2 ? 1? 2 2 2 2 a ? ab ? b 2 a ? ab ? b 2

?

1 1 3 , 1? ? 2 1? 2 3

当且仅当 a ? b 时,等号成立,故

3 | MN | 的最大值是 . | AB | 3

二、填空题 13、[0,1) 三、解答题 17、解:由 m ? 7 am ? 12a ? 0(a ? 0) ,则 3a ? m ? 4a ,即命题 p : 3a ? m ? 4a
2 2

14、3

15、

3 2

16、①②

x2 y2 ? ?1 由 m ?1 2 ? m 表示焦点在 y 轴上椭圆可得: 2 ? m ? m ? 1 ? 0 ,
1? m ?


3 3 q :1 ? m ? 2 ,即命题 2

6

?3a ? 1 ? ? 3 4a ? ? 2 由 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,则 p 是 q 的充分不必要条件,从而有: ?
1 3 ?a? 8 ∴3
18、(1)由已知得椭圆的半长轴 a ? 2 ,半焦距 c ?

3 ,则半短轴 b ? 1 . 又椭圆的焦点在

x2 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为 ? y 2 ? 1 . 4
(2)设线段 PA 的中点为 M(x , y) ,点 P 的坐标是 , (x0 , y0 )

x0 ? 1 ? ?x ? 2 ? x0 ? 2 x ? 1 2 ( 2x ? 1 ) 1 2 ? ? 由? ? ( 2y ? ) ? 1, 1 ,得 ? 1 ,由点 P 在椭圆上,得 4 2 y0 ? y0 ? 2 y ? ? ? 2 2 ? ?y ? 2 ?
2 2 ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 (x ? ) ?4 (y ? ) ? 1.

1 2

1 4

19、解(1)如图建立空间直角坐标系 z

y

x

A1 ? (2, 0, 2)

, A ? (2, 0, 0) , B ? (2, 2, 0) , C ? (0, 2, 0) , D1 ? (0, 0, 2)

E ? (2,1, 0) , F ? (1,1,1)

EF ? (?1, 0,1) ,| EF |? 2
而 EF ? 面ADD1A1

(2)

AD1 ? (?2, 0, 2)

? AD1 EF

7

? EF / / 平面 AA1 D1 D (3) EF ? CD ? 0, EF ? A1D=0 ? EF ? CD, EF ? A1D
又 CD ? A1D=D

? EF ? 平面 A1CD .
20、 由抛物线的定义知,动点 P 的轨迹 ? 是抛物线,方程 y ? 4 x .
2

直线 AB 的方程为
2

x ?1 y ? ,即 y ? 2 x ? 2 . 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) , y ? 2 x ? 2 代 1 2

入 y ? 4 x ,整理,得

x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 . 所以 | AB |? 2 ? x1 ? x 2 ? 5 .
21、 (1)证明:连结 OC,因 AC=BC,O 是 AB 的中点,故 OC ? AB . 又因平面 ABC ? 平面 ABEF, 故 OC ? 平面 ABEF, 于是 OC ? OF . 又 OF ? EC , 所以 OF ? 平面 OEC,所以 OF ? OE ,又因 OC ? OE ,故 OE ? 平面 OFC ,所以 OE ? FC . (2)由(1) ,得 AB ? 2 AF ,不妨设 AF ? 1 , AB ? 2 ,取 EF 的中点 D,以 O 为原点, OC , OB , OD 所在的直线分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系,设 OC ? k ,则

F (0, ?1,1), E (0,1,1), B (0,1, 0), C (k , 0, 0) ,
在的直线分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系, 则 F (0, ?1,1), E (0,1,1), B(0,1, 0), C ( 2, 0, 0), 从而 CE ? (? 2,1,1), EF ? (0, ?2, 0), 设平面

? ?CE n ? 0 FCE 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,由 ? ,得 n ? (1, 0, 2) , EF n ? 0 ? ?
同理可求得平面 CEB 的法向量 m ? (1, 2, 0) ,设 n, m 的夹角为 ? ,则 cos ? ?

1 ? , n m 3

nm

由于二面角 F ? CE ? B 为钝二面角,则余弦值为 ? 22、 (1)由题意知:半长轴为 2,则有 2 b ? 2

1 3

? b ?1

(2)①由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为.

? y ? kx ? y ? x 2 ? 1 x 2 ? kx ? 1 ? 0 由? 得 ,



A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实

8

根,于是

x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 。又点 M 的坐标为 (0, ?1) ,所以
y1 ? 1 y2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ?k 2 ? k 2 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ?1

kMA ? kMB ?

故 MA ? MB ,即 MD ? ME ,故 MD ? ME ? 0

? y ? k1 x ? 1 ?x ? 0 ? ? 2 k y ? k1 x ? 1 , 由 ? y ? x ? 1 解 得 ? y ? ?1 或 ② 设 MA 的 斜 率 为 1 , 则 MA 的 方 程 为
? x ? k1 1 ? ? 2 2 ? y ? k1 ? 1 ,则点 A 的坐标为 (k1 , k1 ? 1) 又直线 MB 的斜率为 k1 ,同理可得点 B 的坐 1 1 1 1 1 ? k12 1 1 2 S ? | MA | ? | MB | ? 1 ? k ? | k | ? 1 ? ? | ? |? . (? , 2 ? 1) 1 1 1 2 2 2 k k 2 | k | k k 1 1 1 1 1 标为 .于是 ? y ? k1 x ? 1 ? 2 x ? 4 y 2 ? 4 ? 0 得 (1 ? 4k12 ) x 2 ? 8k1 x ? 0 , 由?
8k1 ? ? x ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? 2 ?x ? 0 8k1 4k12 ? 1 ? y ? 4k1 ? 1 ( , ) ? 2 2 ? 1 ? 4k12 y ? ? 1 1 ? 4 k 1 ? 4 k ? ? 1 1 D 解得 或 ,则点 的坐标为 ;

?8k1 4 ? k12 1 ( , ) 2 2 4 ? k 4 ? k k 1 1 1 又直线 MB 的斜率为 ,同理可得点 E 的坐标
?

S2 ?
于是

32(1 ? k12 )? | k1 | 1 | MD | ? | ME |? 2 (1 ? 4k12 )(4 ? k12 )
k12 ?

1 k12 1 k? ? k1 ? ? S1 1 ? 4 2 1 k1 ? ? 4k1 ? 2 ? 17 ? k1 ? ? S 2 64 ? k k1 1 ? ? ,又由点 A, B 的坐标可知, 因此 ,平方

??
后代入上式,所以

S1 4k 2 ? 25 25 ? ? S2 64 64

? 25 ? , ? ?? ? ? 故 ? 的取值范围为 ? 64

9


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