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分类加法计数原理与分步乘法计数原理1


计数原理

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实际问题

从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路; 从甲地到丙地有3条路,从丙地到丁地有4条路, 问:从甲地到丁地有多少种走法?
甲地 乙地

丙地

丁地

要回答这个问题,就要用到计数的两个基本原理 分类计数原理与分步计数原理.

分类计数原理与分步计数原理
问题一:从甲地到乙地,可以乘火车, 也可以乘汽车,一天中,火车有3班,汽车 有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法?

因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法,每 一种走法都可以从甲地到乙地,所以共有:3+2=5(种)

1、分类计数原理 (加法原理)

做一件事情,完成它可以有n类 办法,在第一类办法中有m1种不同的 方法,在第二类办法中有m2种不同的 方法,……,在第n类办法中有mn 种不同的方法。那么完成这件事共 有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。

例1:两个袋子里分别装有40个红球,60个白
球,从中任取一个球,有多少种求法?
解:取一个球的方法可以分成两类: 一类是从装白球的袋子里取一个白球 有40种取法; 另一类是从装红球的袋子里取一个红球 有60种取法。
60 个 40 个

因此取法种数共有 40+60=100(种)

问题2:如图,由A村去B村的道路有3 条,由B村去C村的道路有2条。从A村 经B村去C村,共有多少种不同的走法?
北 A村 中 南 B村 北 南 C村

解: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。

问题3:用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯
数字,以A1,A2,?,B1,B2?的方式给教室的座位编 号.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A

9种

B

9种

6 × 9 =54

2、分步计数原理 (乘法原理)
做一件事情,完成它需要分成n个 步骤,做第一步有m1种不同的方法, 做第二步有m2种不同的方法,……, 做第n步有mn种不同的方法,那么完 成这件事有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。

例2:
解:取一个白球和一个红球可以分成 两步来完成: 第一步从装白球的袋子里取一个白球,

两个袋子里分别装有40个红球与60个白球, 从中取一个白球和一个红球,有多少种取法?
60 个

第二步从装红球的袋子里取一个红球,

40 个

练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。

分类计数与分步计数原理的区别和联系: 加法原理 乘法原理
分类计数原理和分步计数原理,回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法,关键词是“分类” 步骤,关键词是“分步”

联系
区别一

区别二

每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能独立完成 每类办法都能独立完成 这件事情,缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情,只有每 个步骤完成了,才能完成这 件事情。

区别三

各类办法是互斥的、 并列的、独立的

各步之间是相关联的

点评:
加法原理看成“并联电路”;
m1 A m2 …… mn B

乘法原理看成“串联电路”
A m1 m2 …... mn B

判断下列用分类 还是分步原理,并说出式子 1、从5名同学中选出正副班长各一名,则不同的任职 方案有多少种? 分步 5×4 2、三层书架上,上层放着10本不同的语文书,中层 放着9本不同的数学书,下层放着8本不同的英语书, (1)从书架上任取一本,有多少种取法? 分类 10+9+8 (2)从书架上任取语数外各一本,有多少种取法? 分步 10×9×8 3、在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两 分类(按十位分) 8+7+6+5+4+3+2+1 位数共有多少个? 4.某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯,问从1楼到 5楼共有多少种不同的走法?分步 3×3×3×3

例3:

某班级有男三好学生5人,女三好学生4人
(1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同 的选法? (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参 加座谈会,有多少种不同的选法?

例4:某城市电话号码由8位组 成,其中从左边算起的第1位只用 6或8,其余7位可以从前10个自然 数0,1,2,…,9中任意选取,允 许数字重复。试问:该城市最多 可装电话多少?

练习1
1、书架的第1层放有4本不同的计算机书,
第2层放有3本不同 的文艺书,第3层放有2 本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同 的取法? 4+3+2=9(种) (2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有 多少种不同的取法?4 ×3 ×2=24(种)

2、由数字1,2,3,4,5,6 可以组成多少个四位数?(各位 上的数字不重复)
6 ×5 ×4 ×3=360(个)

3、一种号码锁有4个拨号盘, 每个拨号盘上有从0到9共10个数 字, 这4个拨号盘可以组成多少 个四位数字的号码?
10 ×10 ×10 ×10=10
4

注意
有些较复杂的问题往往不是单纯 的“分类”“分步”可以解决的, 而要将“分类”“分步”结合起来 运用.一般是先“分类”,然后再 在每一类中“分步”, 综合应用分 类计数原理和分步计数原理.请看 下面的例题:

从甲地到乙 地有3条路, 从乙地到丁地 有2条路;从 甲地到丙地有 3条路,从丙 地到丁地有4 条路,问:从 甲地到丁地有 多少种走法?

实际问题
甲 乙





练习 如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点 爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?
D1 A1 D A B B1

C1

C

解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶 点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完 成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近 路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
D1

C1 B1

A1
D A

C B

讲讲练练
1.有不同的中文书9本,不同的英文书7本,不同的日 文书5本.从其中取出不是同一国文字的书2本,问有多 少种不同的取法?

2.集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4} .从A,B 中各取1个元 素作为点P(x,y) 的坐标. (1)可以得到多少个不同的点? (2)这些点中,位于第一象限的有几个?

9×7+9×5+7×5=143

3×4+4×3=24

2×2+2×2=8

3.集合A={1,2,3,4},B={5,6,7}, 从A到B的映射有多 少个?

3×3×3×3=81

小结

作业:P12 1,2,3,4


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