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思科数学第5讲函数的单调性与最值


第 5 讲 函数的单调性与最值

基础梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时, ①若 f(x1)<f(x2),则 f(x)在区间 D 上是增函数; ②若 f(x1)>f(x2),则 f(x)在区间 D 上是减函数. (2)单调性、单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 区间 D 叫做 f(x)的单调区间. 2.函数的最值 (1)设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M,满足: ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 则称 M 是 f(x)的最大值. (2)设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M,满足: ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 则称 M 是 f(x)的最小值.

一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 y= 分别在(-∞, x 0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调 递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接. 两种形式 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 x1-x2 ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b] 上是减函数. 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数. (3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图象法:利用图象研究函数的单调性. 双基自测 1.(2011· 扬州中学冲刺)函数 f(x)=ln(x2-2x)的单调递增区间是________. 解析 由 x2-2x>0,得 x<0 或 x>2,又 y=x2-2x=(x-1)2-1 在(2,+∞)上单调递增. 所以 f(x)的单调递增区间为(2,+∞). 答案 (2,+∞) 1 1 2.(2011· 山东省青岛市模拟)下列四个函数:①y= x;②y= ;③y=- 1-x;④y=x , x 3 其在区间(0,1)上是减函数的是________.

1 解析 y= x,y=- 1-x,y=x 分别是[0,+∞),(-∞,1],(-∞,+∞)上的增函数, 3 1 从而是(0,1)上的增函数,y= 是(0,1)上的减函数. x 答案 ② 1 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f??x ??<f(1)的实数 x 的取值范围是________. ?? ?? 1 ? 1 x≠0. 解析 由 f(x)为 R 上的减函数且 f??x ??<f(1),得??x ?>1,? x≠0, 即{|x|<1,? ?? ?? ?? ? ∴0<x<1 或-1<x<0. 答案 (-1,0)∪(0,1) 4.(2011· 镇江市调研)函数 f(x)=2x+log2x(x∈[1,2])的值域为________. 解析 因为 2x 与 log2x 都是[1,2]上的增函数,所以 f(x)=2x+log2x 是[1,2]上的增函数,所以 f(1)≤f(x)≤f(2),即 2≤f(x)≤5. 答案 [2,5] x 5.(2011· 济南外国语学校检测)函数 y= 2 的单调递增区间是________. x -3x+2 1 2 解析 x≠0 时,由 y= ,x2-3x+2≠0,且 x+ 2 x x+ -3 x 在(- 2,0)和(0, 2)上递减,得 f(x)增区间为(- 2,1)和(1, 2). 答案 (- 2,1)和(1, 2)

考向一 函数单调性的判断 a 【例 1】?判断函数 f(x)=x+ (a>0)在(0,+∞)上的单调性. x [审题视点] 可采用定义法或导数法判断. 解 法一 设 x1>x2>0,则 a a a a a?x2-x1? a f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ?=(x1-x2)+?x -x ?=(x1-x2)+ =(x1-x2)?1-x x ?. ? ? ? ? ? 1 2? ? x1x2 1 2 1 2? a 当 a≥x1>x2>0 时,x1-x2>0,?1-x x ?<0, ? 1 2? 有 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+ (a>0)在(0, a ]上为减函数; x a 当 x1>x2≥ a时,x1-x2>0,?1-x x ?>0, ? 1 2? 有 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+ (a>0)在( a,+∞)上为增函数; x a 综上可知,函数 f(x)=x+ (a>0)在(0, a ]上为减函数;在[ a,+∞)上为增函数. x a a 法二 f′(x)=1- 2,令 f′(x)>0 则 1- 2>0, x x a ∴x> a或 x<- a(舍).令 f′(x)<0,则 1- 2<0, x ∴- a<x< a,∵x>0, ∴0<x< a.∴f(x)在(0, a)上为减函数; 在( a,+∞)上为增函数,也称为 f(x)在(0, a ]上为减函数;在[ a,+∞)上为增函数. 对于给出具体解析式的函数, 证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)可以结 合定义(基本步骤为取值、 作差或作商、 变形、 判断)求解; (2)可导函数则可以利用导数解之. 但

是,对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行. ax 【训练 1】 试讨论函数 f(x)= (a>0)的单调性. x-1 解 函数 f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞), a?x-1?-ax a ∵f′(x)= =- ,∵a>0,∴f′(x)<0. ?x-1?2 ?x-1?2 故函数 f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减. 考向二 求函数的单调区间 a 【例 2】?求函数 y=x+ (a>0)的单调区间. x [审题视点] 可采用定义法或导数法,但用导数法更简捷. a 解 函数 y=x+ 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). x a ∵y′=1- 2. x 令 y′>0 得:x> a或 x<- a; 令 y′<0 得:- a<x<0 或 0<x< a. a 故函数 y=x+ (a>0)的单调增区间为: x (-∞,- a)和( a,+∞);减区间为(- a,0)和(0, a). 求函数单调区间时,一定要牢记先求函数的定义域. 1 【训练 2】 函数 y= 的单调递增区间是________. 3+2x-x2 解析 依题意 3+2x-x2>0,即-1<x<3. ∴函数的定义域为(-1,3). 又函数 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 在(1,3)上单调递减,所以原函数的单调递增区间是 (1,3). 答案 (1,3) 考向三 求函数的最值及应用 x2+2x+a 【例 3】?已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. [审题视点] (1)将 a 值代入 f(x)解析式,通过判断 f(x)的单调性求最小值;(2)分 a≥0 和 a<0 两种情况讨论. 1 1 1 解 (1)当 a= 时,f(x)=x+ +2,在? ,+∞?上为增函数,在[1,+∞)上为增函数, 2 2x ? 2 ? 7 f(x)min=f(1)= . 2 a (2)f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞). x ①当 a≤0 时,f(x)在[0,+∞)内为增函数. 最小值为 f(1)=a+3. 要使 f(x)>0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,只需 a+3>0, 即 a>-3,∴-3<a≤0. ②当 0<a≤1 时,f(x)在[1,+∞)上为增函数, f(x)min=f(1)=a+3.∴a+3>0,a>-3.∴0<a≤1. ③当 a>1 时,f(x)在[1, a]上为减函数,在( a,+∞)上为增函数,所以 f(x)在[1,+∞) 上的最小值是 f( a)=2 a+2,2 a+2>0,显然成立. 综上所述,f(x)在[1,+∞)上恒大于零时,a 的取值范围是(-3,+∞).

不等式 m>f(x)恒成立?m>f(x)max,m<f(x)恒成立?m<f(x)min. 【训练 3】 (2011· 南京模拟)定义在 R 上的函数 f(x)的图象过点 M(-6,2)和 N(2,-6),对任 意正实数 k,有 f(x+k)<f(x)成立,则当不等式|f(x-t)+2|<4 的解集为(-4,4)时,实数 t 的 值为________. 解析 由题意,f(x)是减函数,且由-4<f(x-t)+2<4, 得-6≤f(x-t)≤2.又 f(-6)=2,f(2)=-6,所以 f(2)≤f(x-t)≤f(-6),所以-6≤x-t≤2, t+2=4. 所以 t=2,故填 2. t-6≤x≤t+2,由题意,得{t-6=-4? 答案 2

难点突破 3——函数中适应性问题的求解方法 定义新的函数有关的概念, 是近几年我省高考的一大亮点, 无论填空题还是解答题都可能出 现,解这类问题关键是化归,即将不熟悉的新问题化归到一般性的常规的数学问题. 一、定义新的函数概念与已知函数原有概念的关系 【示例】 (2011· 四川)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则 称 f(x)为单函数.例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列命题:①函数 f(x)=x2(x∈R) 是单函数;②若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2);③若 f:A→B 为单函数, 则对于任意 b∈B,它至多有一个原象;④函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单 函数.其中的真命题是________(写出所有真命题的编号).

二、定义新的函数性质验证原函数是否具有该性质 【示例】 (2011· 江苏)设 f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为 f′(x),如果存 在实数 a 和函数 h(x),其中 h(x)对任意的 x∈(1,+∞)都有 h(x)>0,使得 f′(x)=h(x)(x2-

ax+1),则称函数 f(x)具有性质 p(a). b+2 设函数 f(x)=ln x+ (x>1),其中 b 为实数. x+1 (1)求证:函数 f(x)具有性质 p(a); (2)求函数 f(x)的单调区间.


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