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函数的单调性与奇偶性专题训练


函数的单调性与奇偶性专题训练
一.选择题 1 如果函数 f ( x ) 在 ? a, b? 上单调递增,那么对于任意的 的是( A )

x x ??a, b? ( x ? x ) ,下列结论中不正确
1, 2 1 2

f ( x1) ? f ( x 2)

x ?x
1

?0

B

( x1 ? x2) ? f ( x1) ? f ( x 2) ? ? 0 ? ?

2

C

f (a) ? f ( x1) ? f ( x2) ? f (b)

D

x ?x ?0 f (x ) ? f (x )
2 1 2 1

2 函数 f ( x ) 在区间 ? a, b ? 和 ? c, d ? 上都是增函数, 若 A

x ? (a, b), x ?(c, d ), 且 x ? x
1 2 1 2

2

那么 (



f ( x1) ? f ( x2)

B f(

x ) ? f (x )
1 2

C f(

x ) ? f (x )
1

D 无法确定。 )

3 已知 f ( x ) 是 R 上的增函数,令 F ( x) ? f (1 ? x) ? f (3 ? x) ,则 F ( x) 在 R 上是( A 增函数 4 若 f ( x) ? ? A B 减函数 C 先增后减 D 先减后增

x

2

? 2ax 与 g ( x) ?
B

a 在区间 ?1, 2? 上都是减函数,则 a 的取值范围是( x ?1
C



? ?1,0? ? ? 0,1?

? ?1,0? ? ? 0,1?

? 0,1?

D

? 0,1?


5 已知函数 f ( x) ? 4 A f (1) ? 25

x

2

? mx ? 5 在区间 ? ?2, ?? ? 上是增函数,则 f (1) 的取值范围是(
C

B f (1) ? 25

f (1) ? 25


D f (1) ? 25

6 下列函数中是奇函数且在 ? 0,1? 上递增的函数是( A f ( x) ? x ?

1 x

B

f ( x) ?

x

2

?

1 x

C f ( x) ? 1 ? )

x

2

D f ( x) ?

x

3

7 若 f ( x ) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( A f (x) ? f ( ?x) 是奇函数 C f ( x) ? f (? x) 是偶函数 8 若 f ( x) ? a

B f ( x) ? f ( ? x) 是奇函数 D f ( x) ? f (? x) 是偶函数
3 2

x

2

? bx ? c (a ? ) 偶函数,则 g ( x) ? a x ? b x ? cx 是(



A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既是奇函数又是偶函数 9 下列说法正确的是( ) A 偶函数的图像一定与 y 轴相交 B 奇函数的图像一定过原点 C 没有既是奇函数又是偶函数的 函数 D 偶函数的图像关于 y 轴对称 10 已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,其图像与 x 轴有四个交点,则方程 f ( x) ? 0 的所有实根之和是 ( )

A 0 二. 填空题 11 函数 y ? ? 。 12

B
2

1

C

2

D

4

x

? 6 x ? 9 在区间 ? a, b? ( a ? b? 3)上有最大值 9,最小值-7,则 a ?



b?

f ( x) ?

ax ? 1 在区间(-2,+ ? )上单调递增,则 a 的取值范围是 x?2



13 已知下列四个命题:
1 ○ 若 f ( x ) 为减函数,则 ? f ( x) 为增函数;

2 ○若 f ( x ) 为增函数,则函数 g ( x ) ?

1 在其定义域内为减函数; f ( x)

3 4 ○ f ( x ) 与 g ( x) 均为 ? a, b ? 上的增函数,则 f ( x) ? g ( x) 也是区间 ? a, b ? 上的增函数 ○ f ( x ) 与

g ( x) 在 ? a, b ? 上分别是递增与递减函数,且 g ( x) ? 0 ,则
其中正确命题的序号是 。

f ( x) 在 ? a, b ? 上是递增函数。 g ( x)

14 已知等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 对于任意实数 x, y 都成立,则 f ( x ) 是 “偶”). 15. 设函数 f ( x)( x ? R) 为奇函数, f (1) ?

函数(填“奇”或

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) 的值为 2

16.已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在 ? ??,0? 上是减函数,若 f (a) ? f (2), 则实数 a 的取 三 值范围是 解答题 。
2

17.如果函数 f ( x) ? 大小。

x

? bx ? c, 对于任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ), 比较 f (1), f (2), f (4)的

18.定义在正实数集上的函数 f ( x ) 满足条件:
1 2 3 ○ f (2) ? 1; ○ f ( xy) ? f ( x) ? f ( y); ○当 x ? y 时, f ( x) ? f ( y), 求满足 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 有

的 x 的取值范围。

19 作出函数 f ( x) ?

x

2

? 6x ? 9 ?

x

2

? 6 x ? 9 的图像,并指出函数 f ( x) 的单调区间

20.设函数 f ( x ) 是 R 上的增函数,令 F ( x) ? f ( x) ? (2 ? x). (1)求证: F ( x) 在 R 上是增函数(2)若 F (

x ) ? F ( x ) ? 0, 求证: x ? x ? 2
1 2 2 1

21.若 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,求函数 f ( x ) 的解析式

22.函数 f ( x), x ? R, 若对于任意实数 求证: f ( x ) 为偶函数

x ,x
1

2

,都有 f (

x ? x ) ? f ( x ? x ) ? 2 f ( x ) ? f ( x ).
1 2 1 2 1 2

23.已知函数 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上有定义,当且仅当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0, 且对于任意 x, y ? ? ?1,1? 都有

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) 1 ? xy
1 求证 :○ f ( x ) 为奇函数 2 ○ f ( x ) 在 ? ?1,1? 上单调递减。

24 已知 f ( x ) 是定义在 ??1,1? 上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,当 a,b ???1 , ? ?b ?0 时,有 ,1 a 城立。
1 ○判断 f ( x ) 在 ??1,1? 上的单调性;

f (a ) ? f (b) ?0 a?b

2 ○解不等式: f ( x ? ) ? f (

1 2

1 ); x ?1

3 ○若 f ( x) ?

m

2

? 2am ? 1 对所有的 a???1,1? 恒成立,求实数 m 的取值范围。


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