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三角函数的周期性


高一数学必修四第一章 A37

三角函数的周期性
一.教学目标:1、了解周期函数的概念 2、会判断一些简单的、常见的函数的周期性,并会求一些简单三角函数的周期 二.重点:周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性 三.难点:周期函数的概念 四. (一)自主学习单 1.奇函数,偶函数的定义 如果函数 f ( x) 对于定义域内的每一个值 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么 f ( x) 叫做偶函数; 如果函数 f ( x) 对于定义域内的每一个值 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么 f ( x) 叫做奇函数; 2.每年都有春、夏、秋、冬,每星期都是从星期一到星期日,地球每天都绕着太阳自转,公共汽车沿 着固定线路一趟又一趟地往返??,这一些都给我们循环、重复的感觉,可以用“周而复始”来描述, 这就叫 周期现象 . 3.由单位圆中的三角函数线可知,正余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少) 2? , 所得角的终边与原来角的终边相同, 故两角的正余弦值也分别相同. 函数所具有的这种性质称为 函 数的周期性 . 一、建构数学 1.周期函数的定义 (1)对于函数 f ( x) ,如果存在一个 非零 的常数 T ,使得 定义域 内的每一个 x 值,都满 足

f ?x ? T ? ? f ?x ? ,那么函数 f ?x ? 就叫做 周期函数 ,非零常数 T 叫做这个函数的 周期 .

那么这个最小的正数就叫做 f ?x ? 的 最小正周期 .今后无特别说明的话,函数的周期都是指最小正 周期. 【思考】若函数 f ( x ) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x ) 的周期吗?为什么?
*

(2)对于周期函数 f ?x ? ,它的周期不止一个,如果在它所有周期中,存在一个 最小的正数 ,

答:是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) .

2? ? 2? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 3 6 3 6 2? 2? ) ? sin x 才能说明 答:不能,周期函数是对定义域内的每一个 x 值,都有 sin( x ? 是它的周期. 3 3
【思考】对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin(

?

?

2. 三角函数的周期 (1)正弦函数 y ? sin x ( x ? R )的周期是 (2)正弦函数 y ? cos x ( x ? R )的周期是

2k? (k ? Z , 且k ? 0) 2k? (k ? Z , 且k ? 0)

,最小正周期是 ,最小正周期是

2? 2?

; ;

(3)函数 y ? A sin ??x ? ? ? 或 y ? A cos??x ? ? ? (其中 A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0, x ? R ) 的周期为

T?

2?

?



(4) 函数 y ? A tan??x ? ? ? (其中 A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0, x ? R ) 的周期为 注:⑴周期函数是函数的整体性质,即对定义域中的每一个 x 都满足 ⑵不是每一个函数都有周期 ⑶函数的周期不止一个 (4) 周期函数不一定有最小正周期。如 f (x)=C (5) 不加特别说明,函数的周期一般是指函数的最小正周期

T?

? ?



高一数学必修四第一章 A37

3 求下列函数的周期: ⑴ y ? 2 cos3x ⑵ y ? sin

(4)若函数 f ( x ) ? sin( kx ? (二)合作探究单 例 1.见书 P.25 例 1

?
5

1 x 3

⑶ y ?| sin x |

) 的最小正周期为

2? ,则正数 k= 3

例 2.求下列函数的周期 ⑴ f ( x) ? cos 2 x ⑵ g ( x) ? 2 sin(

x ? ? ) 2 6

由例 2 得出(一)自主学习单的结论 例 3 已知函数 y ? f ( x), x ? R ,且对任意 x ? R 都有 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,问 y ? f ( x) 是否为周期函 数? 【变题】已知函数 y ? f ( x), x ? R ,且对任意 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? ? 期函数?

1 ,问 y ? f ( x) 是否为周 f ( x)

例 4.已知奇函数 f (x)满足对任意 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,①求证:f (x)是以 4 为周期的周期函
x 数.②若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 ,求 f (7.5) (思考:若 3 ? x ? 4 ,求 f (x) )

例 5.定义在 R 上的函数 f (x)满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 3) ,且 f ( ? x) ? f ( x ?

?0,10?上有四个根。⑴求 f (x)的周期;⑵方程 f (x)=0 在 ?0,10?上有四个根的和。

5 2

5 ) ,且方程 f (x)=0 在 2

练习:书 P.25-26 六. (三)达成检测单 《教学与测试》及《测试与反馈》


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