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4.数学归纳法(一)


4.数学归纳法(一)
主编 杨尧平 班 审核人 组 姓名 使用时间: 2013 年 3 月 20 日星期三 选修 2-2 第一章 NO 7

[学习目标]了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归 纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数 学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点:能用数学归纳法证明 教学难点:理

解数学归纳法证思路 [自主学习] 新知:1.数学归纳法:数学归纳法是用来证明 种方法。 2.数学归纳法的步骤: (1) (2) 思考:1、数学归纳法的归纳中 n0 一定等于 1 吗? 2 、 为 什 么 可 以 先 假 设 n=k (k ≥ n0,k ∈ N*) 时 命 题 成 立 ? “ 假 设 ” 怎么可以作为条件来使用呢? 试一试:1.如何证明首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ?an ? 的通项公式 2. 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 有关的数学命题的一

1

探究一
S n ? na1 ?

证 明 : 首 项 为 a1 , 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 公 式
n(n ? 1)d 对于每一个 n 都成立。 2

变式:证明:首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列 ?an ? 的通项公式 an ? a1q n?1 对于每 一个 n 都成立。

探究二

1? 3 ? 6 ???

n(n ? 1) n(n ? 1)( n ? 2) ? (n ? N ? ). 2 6 n(n ? 1)( n ? 2) 3

同类: 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) ?

探究三

已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? 用数学归纳法证明。

an ,试猜想 ?an ? 的通项公式, 2a n ? 1

变式:在数列 ?a n ? 中, a n ? 0, 且 S n ?

1? 1 ? ? a n ? ? 。(1)求 a1 , a2 , a3 ; ? 2? an ? ?

(2)猜测出 an 的关系式并用数学归纳法证明。

课堂检测: 1. 观察式子 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…

2

猜想第 n 个式子为 3. 用数学归纳法证明:
12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?



n(n ? 1)( 2n ? 1) 。 6

4.用数学归纳法证明:
1? 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 ? n ?1 . 2 2 2 2

6.已知数列

1 1 1 1 , , ,, ? ,?, 计算 S1 , S 2 , S 3 , S 4 , 根据计算 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 ( n ? 2)(3n ? 1) 3

结果,猜想 S n的表达式 ,并用数学归纳法进行证明。 我的收获:

3


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