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吉林省长春市2012届高三第三次调研测试数学文试题


2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2012 年长春市高中毕业班第三次调研测试



学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分 150 分.考试时间为 120 分钟, 其中 第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区 域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工 整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项 .... 是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1. 若
3 ? 2i z
1 2 5 2

? 1 ? i ,则 z ?
i

A. ? 2. 3.

?

B.

1 2

?

5 2

i

C.

1 2

?

5 2

i

D. ?

1 2

?

5 2

i

若集合 A ? { ? 2, ? 1, 0,1, 2} ,则集合 { y | y ? x ? 1 , x ? A} ? A. {1, 2 , 3} B. {0,1, 2}
2

C. {0,1, 2, 3}
2

D. { ? 1, 0,1, 2, 3}
1 7
a1 0 ? a1 2 a 8 ? a1 0 ?

直线 l : x ? m y ? 2 与圆 M: x ? 2 x ? y ? 2 y ? 0 相切,则 m 的值为 A.1 或-6 B.1 或-7 C.-1 或 7
a3 , 2 a 2

D.1 或 ?

4.

各项都是正数的等比数列 { a n } 中, 3a1 , 1

成等差数列,则

2

5.

A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数比较,正确的是

相关系数为 r1

相关系数为 r2

相关系数为 r3

相关系数为 r4

A. C. 6.

r2 ? r4 ? 0 ? r3 ? r1 r4 ? r2 ? 0 ? r3 ? r1

B. D.
x ? lo g 2 x ? 1 2

r4 ? r2 ? 0 ? r1 ? r3 r2 ? r4 ? 0 ? r1 ? r3

函数 f ( x ) ? 3 co s A.2

?
2

的零点个数为 C.4 D.5

B.3

7.

一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是

1 63

,则

8.

判断框内应填入的条件是 A. i <4 B. i >4 C. i <5 D. i >5 ? 函数 f ( x ) ? A sin ( ? x ? ) (? ? 0) 的图像与 x 轴的交点的横坐
6

标构成一个公差为

?
2

的等差数列,要得到函数 g ( x ) ? A cos ? x

的图像只需将 f ( x ) 的图像 A.向左平移 9.
?
6

B.向右平移
?
3
3

?
3

C.向左平移

2? 3

D.向右平移

2? 3

若满足条件 AB= 3 ,C= A. ? 1, 2 ? B. ?
2,

的三角形 A B C 有两个,则边长 BC 的取值范围是

?
1 2

C. ?

3, 2

?

D. ?

2,2

?

10. 现有 2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛,共有 2 道备选题目,若每位选手从中有放回地 随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为 A.
1 3
2 2

B.
x a ? y b
2 2

2 3

C.

D.

3 4

11. 双曲线

过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M 、 两 N ? 1( a ? 0, b ? 0 ) ,
? ON

点,O 是坐标原点,满足 O M A.
1? 2 7

,则双曲线的离心率为 C.
1? 2 3

B.

1? 2

5

D.

1? 2

2

12. 四棱锥 S ? A B C D 的所有顶点都在同一个球面上,底面 A B C D 是正方形且和球心 O 在同一 平面内,当此四棱锥的体积取得最大值时,它的表面积等于 4 ? 4 3 ,则球 O 的体积等于 A.
4 2 3

?

B.

8 2 3

?

C.

16 2 3

?

D.

32 2 3

?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 平面区域 ?
?? 1 ? x ? y ? 1 ?? 1 ? x ? y ? 1

的周长为_______________.
6 5

14. 某长方体的三视图如右图,长度为 1 0 的体对角线在正视图中的长度为
6 , 在侧视图中的长度为 5 , 则该长方体的全面积为________________.
正视图 侧视图

15. 等差数列 { a n } 的首项为 a ,公差为 d ,其前 n 项和为 S n ,则数列 { S n } 为递 增数列的充分必要条件是________________. 2a ? x ? 1 y 4 ?( a ? 0 b0? , b 16. 如 果 直 线
f( ?) x
x ?1

和 0 函) 数

俯视图

?m (m ? 1

m ? , 的图像恒过同一个定点,且该定点始终落在圆 0 1 )
2

( x ? a ? 1) ? ( y ? b ? 2 ) ? 2 5 的内部或圆上,那么
2

b a

的取值范围是_______________.

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分)

在△ A B C 中,向量 m ? ( 2 co s B ,1) ,向量

??

?? ? ?? ? ? n ? (1 ? sin B , ? 1 ? sin 2 B ) ,且满足 m ? n ? m ? n .

⑴求角 B 的大小; ⑵求 sin A ? sin C 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 2012 年 2 月份,从银行房贷部门得到好消息,首套住房 贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发 放贷款的情况统计如图所示: ⑴求本周该银行所发放贷款的贷款年限的标准差; .... ⑵求在本周内一位购房者贷款年限不超过 20 年的概率; ⑶求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限 (取过剩 近似整数值). 19. (本小题满分 12 分) 已知四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, A A1 ?
?

底 面 ABCD

,
D1
C1

? A D C ? 9 0 , A B ?? C D , A D ? C D ? D D 1 ? 2 A B ? 2 .

⑴求证: A D 1 ? B1C ; ⑵求四面体 A1 B D C 1 的体积.
A1

B1

20. (本小题满分 12 分) 已知 F1 , F 2 分别为椭圆
x a
2 2

D

C

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0) 的左右焦点, M , N 分别
A B

为其左右顶点,过 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点. 当直线 l 与 x 轴垂直 时,四边形 A M B N 的面积等于 2,且满足 M F2 ? ⑴求此椭圆的方程;
????? ??? ? ???? ? 2 A B ? F2 N .

⑵当直线 l 绕着焦点 F2 旋转但不与 x 轴重合时,求 M A ? M B ? N A ? N B 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ln x . ⑴讨论函数 f ( x ) 的单调性; ⑵对于任意正实数 x ,不等式 f ( x ) ? kx ?
1 2

???? ????

??? ??? ? ?

恒成立,求实数 k 的取值范围;
x

⑶求证:当 a ? 3 时,对于任意正实数 x ,不等式 f ( a ? x ) ? f ( a ) ? e 恒成立. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. M 自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 P A , 切点为 A , 为 P A 点 , 过 点 M 引 圆 O 的 割 线 交 该 圆 于 B,C 两 点 , 且
? B M P ? 1 0 0 , ? B P C ? 40 .
? ?





⑴求证: ? MBP 与 ? MPC 相似; ⑵求 ? M P B 的大小.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系 xO y 中,曲线 M 的参数方程为 ?
? x ? sin ? ? co s ? ? y ? sin 2?

( ? 为参数),若以该直角坐标

系 的 原 点 O 为 极 点 , x 轴 的正 半 轴 为 极轴 建 立 极坐标 系 , 曲 线 N 的 极 坐 标方程 为 :
? sin (? ? ?
4 )? 2 2 t

(其中 t 为常数).

⑴若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,求 t 的取值范围; ⑵当 t ? ? 2 时,求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f ( x ) ? | x ? 1 | ? | 2 x ? 2 | . ⑴解不等式 f ( x ) ? 5 ; ⑵若关于 x 的方程
1 f (x) ? 4 ? a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围.

2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2012 年长春市高中毕业班第三次调研测试 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.C 3. B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.A 9.C 10.C 11.B 12.B 简答与提示: 1. 2. 3. C C B 由已知 z ?
3 ? 2i 1? i ? 1 2 ? 5 2
m ?3 m
m ? ? 7 或 1 . 故选 B.
2

i . 故选 C.

将 x ? ? 2 , ? 1, 0 ,1, 2 逐一带入 y ? x ? 1 ,得 y=0,1,2,3,故选 C. 圆 的 方 程 化 为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 , 由 直 线 与 圆 相 切 , 可 有
2 2

?

?1

2 ,解得

4.

D

2 由已知 a 3 ? 3 a1 ? 2 a 2 于是 q ? 3 ? 2 q ,由数列各项都是正数,解得 q ? 3 ,

a1 0 ? a a8 ? a

1 2 1 0

? q ? 9 . 故选 D.
2

5. 6.

A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知 r2 ? r4 ? 0 ? r3 ? r1 . 故选 A B 在同一坐标系内画出函数 y ? 3 co s
?
2 x 和 y ? lo g 2 x ? 1 2

的图像,可得交点个数为 3. 故

7.

选 B. C 初 始 值 i ? 1, T ? 0 , P ? 15 , 第 一 次 循 环 后 i ? 2, T ? 1, P ? 5 , 第 二 次 循 环 后
i ? 3, T ? 2, P ? 1 ,第三次循环后 i ? 4, T ? 3, P ?
1 7

,第四次循环后 i ? 5, T ? 4, P ?
?
6

1 63

,因此

循环次数应为 4 次,故 i ? 5 可以作为判断循环终止的条件. 故选 C. 8. A 由条件知函数 f ( x ) 的周期为 ? ,可知 ? ? 2 ,即函数 f ( x ) ? A sin ( 2 x ?
?
2
),

g ( x ) ? A co s 2 x ,可将 g ( x ) 化为 g ( x ) ? A sin ( 2 x ?

) ,由此可知只需将 f ( x ) 向左平移

?
6

个单位即可获得 f ( x ? 9. C

?
6

) ? A sin[ 2 ( x ?

?
6

)?

?
6

] ? A sin( 2 x ?

?
2

) ? A cos 2 x

.故选 A.
BC sin A ? AB sin C ? 2,

若满足条件的三角形有两个,则应

3 2

? sin C ? sin A ? 1 ,又因为

故 BC ? 2 sin A , 3 ? B C ? 2 . 故选 C. 10. C 11. B 通过将基本事件进行列举,求得概率为 由题意可有: c ?
b
2

1 2

. 故选 C.
5

,由此求得 e ?

1? 2

. 故选 B.

a

12. B 由题意可知四棱锥 S ? A B C D 的所有顶点都在同一个球面上,底面 A B C D 是正方形且和 球心 O 在同一平面内,当体积最大时,可以判定该棱锥为正四棱锥,底面在球大圆上,可得 知底面正方形的对角线长度为球的半径 R ,且四棱锥的高 h ? R ,进而可知此四棱锥的四个 侧面均是边长为 2 R 的正三角形,底面为边长为 2 R 的正方形,所以该四棱锥的表面积为
2R ? 4 ?(
2

1 2

?

2R ?

2 R sin 6 0 ) ?

?

(2 ? 2 3 ) R ? 4 ? 4 3
2

,于是 R 2 ? 2 , R ?

2

,进而球 O 的体积

V ?

4 3

?R ?
3

4 3

? ?2 2 ?

8 2? 3

. 故选 B.

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 4 2 简答与提示: 13. 画出图形,可得该区域图形为边长为 2 的正方形,故其周长为 4 2 . 14. 由体对角线长 1 0 ,正视图的对角线长 6 ,侧视图的对角线长 5 ,可得长方体的长宽高 分别为 5 ,2,1,因此其全面积为 2 ( 5 ? 1 ? 15. 由 S n ?1 ? S n ,可得 ( n ? 1) a ?
( n ? 1) n 2 d ? na ?
5 ? 2 ? 1? 2) ? 4 ? 6 5 .

14. 4 ? 6 5

15. d ≥ 0 且 d ? a ? 0

16. [ , ]
4 3

3 4

n ( n ? 1) 2

d ,整理得 dn ? a ? 0 ,而 n ? N ? ,

所以 d ≥ 0 且 d ? a ? 0 . 因此数列 { S n } 单调递增的充要条件是: d ≥ 0 且 d ? a ? 0 . 16. 根据指数函数的性质,可知函数 f ( x ) ? m x ? 1 ? 1( m ? 0, m ? 1) 恒过定点 ( ? 1, 2) . 将点 ( ? 1, 2) 代入 2 ax ? by ? 14 ? 0 ,可得 a ? b ? 7 . 由于 ( ? 1, 2) 始终落在所给圆的内部或圆上,所以 a 2 ? b 2 ? 2 5 . 由?
?a ? b ? 7 ?a ? b ? 25
2 2

,解得 ?
b a

?a ? 3 ?b ? 4

或?

?a ? 4 ?b ? 3
3 4 4 3

,这说明点 ( a , b ) 在以 A (3, 4) 和 B ( 4, 3) 为端点的线

段上运动,所以

的取值范围是 [ , ] .

三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简,并且考查利用三角函数 的变换与辅助角公式求取三角函数的值域等有关知识. 【试题解析】解:⑴由 m ? n ? m ? n ,可知 m ? n ? m ? n ? 0 . 然而 m ? ( 2 co s B ,1), n ? (1 ? sin B , ? 1 ? sin 2 B ) ,所以有
?? ? 1 ? m ? n ? 2 cos B ? sin 2 B ? 1 ? sin 2 B ? 2 cos B ? 1 ? 0 ,得 co s B ? , B ? 6 0 .(6 分) 2
??

??

?

??

?

??

?

?? ?

?

⑵ sin A ? sin C ? sin A ? sin( 120 ? ? A ) ?

3 2

sin A ?

3 2

cos A ?
?

3 sin( A ? 30 ) .(9 分)
?

又 0 ? ? A ? 1 2 0 ? ,则 3 0 ? ? A ? 3 0 ? ? 1 5 0 ? , 所以
3 2 ? sin A ? sin C ?

1 2

? sin ( A ? 3 0 ) ? 1 ,
3 2 3 ] .(12 分)

3 ,即 sin A ? sin C 的取值范围是 (

,

18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到统计图的应用、平均值的 求取以及概率的初步应用. 【试题解析】解:⑴贷款年限依次为 10,15,20,25,30,其平均值 x ? 2 0 .
s ?
2

(1 0 ? 2 0 ) ? (1 5 ? 2 0 ) ? ( 2 0 ? 2 0 ) ? ( 2 5 ? 2 0 ) ? (3 0 ? 2 0 )
2 2 2 2

2

? 50 ,

5

所以标准差 s ? 5 2 . ⑵所求概率 P ? P1 ? P2 ? P3 ? ⑶平均年限 n ?
? ? ? . 80 80 80 16 10 ? 10 ? 10 ? 15 ? 20 ? 25 ? 25 ? 20 ? 15 ? 30 80 10 10 25 9

(4 分) (8 分)
? 2 2 (年).

(12 分) 19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面的垂直关系以及几何体 体积的求法. 【试题解析】解:⑴由四边形 ADD 1 A1 是正方形,所以 AD 1 ? A1 D .又 AA 1 ? 平面 A B C D ,
? 所以 AA 1 ? DC , AD ? DC , AA 1 ?AD 而 ? ADC ? 90 ,

A ?

, 所以 D C ? 平面 AA 1 D 1 D ,

AD 1 ? DC . 又 A1 D ? D C ? D , 所 以 AD 1 ? 平 面 A1 D C B , 从 而 AD 1 ? B 1 C . 1

(6 分) ⑵设所给四棱柱的体积为 V,则 V ? S ABCD ? AA 1 ? 6 ,又三棱锥 A1 ? ABD 的体积等于三棱 锥 B ? A1 D 1 C 1 的体积, 记为 V 1 ,三棱锥 D ? A1 D 1 C 1 的体积又等于三棱锥 C 1 ? CBD 的体积, 记为 V 2 .而 V 1 ?
1 3 ? 1 2 ? 2 ?1? 2 ? 2 3

,V 2 ?

1 3

?

1 2

?2?2?2 ?

4 3

,所以所求四面体的体积为

(12 分) 20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到椭圆 的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识. 【试题解析】解:⑴当直线 l 与 x 轴垂直时,四边形 AMBN 面积: 又 M F2 ? a ? c , A B ?
a ? c ? 1 ,解得 a ?
2 2

V ? 2V 1 ? 2V 2 ? 2 .

方程

1 2

? 2a ?

2b a

2

? 2, 得 b 2 ? 1 .
2 ,又

?????

??? ?

2b a

2

???? ? 2 , F 2 N ? a ? c ,于是 a ? c ?

2b a

2

? a ? c ,得 ac ?

2 .因此该椭圆方程为

x

2

? y

2

? 1 . (4 分)

2

? x ? my ? 1 ? (2)设直线 l : x ? my ? 1 ,由 ? x 2 消去 x 并整理得: ( m 2 ? 2 ) y 2 ? 2 my ? 1 ? 0 . 2 ? y ?1 ? ? 2

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则有 y 1 ? y 2 ? 由 MA ? ( x 1 ?
2 , y 1 ) , MB ? ( x 2 ?

? 2m m
2

?2

, y1 y 2 ? ?

1 m
2

?2

.

(6 分)
2 , y 2 ) ,可

2 , y 2 ) , NA ? ( x 1 ?

2 , y 1 ) , NB ? ( x 2 ?

得 MA ? MB ? NA ? NB ? 2 ( x 1 x 2 ? y 1 y 2 ) ? 4 .
x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? ( my 1 ? 1)( my ? 1) ? y 1 y 2 ? ( m
2

(8 分)
? 2m m
2 2

2

? 1) y 1 y 2 ? m ( y 1 ? y 2 ) ? 1 ?
10 m
2

?1

? 2

,

所以 MA ? MB ? NA ? NB ? 2 ( x 1 x 2 ? y 1 y 2 ) ? 4 ?
???? ???? ??? ??? ? ?

? 2

.

(10 分) (12 分) 究函

由于 m ? R ,可知 M A ? M B ? N A ? N B 的取值范围是 (0 , 5 ] .

21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研 数的单调性、极值以及函数零点的情况.
( ) l ?? ,得 n 【试题解析】解:⑴令 f? x? x 1 0 x ?

1 e

.

当 x ? ( 0 , ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ? ? ) 时, f ?( x) ? 0 .
e e 1 ) 上单调递减,在 ( 1 e , ? ? ) 上单调递增. (3 分) e 1 1 () x ? n x k n? . ? ⑵由于 x ? 0 ,所以 f x?l x k? ?l x 2 2 x 1 1 2? x1 1 1 ?x 0 . 构造函数 k ( x) ? ln x ? ,则令 k( )? ? 2 ? 2 ? ,得 x ? x 2 x 2 x 2x 2 1 1 当 x ? ( 0 , ) 时, k ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ? ? ) 时, k ?( x) ? 0 . 2 2 1 1 1 ) () n k ? n 1 1l . n 所以函数k(x在点 x ? 处取得最小值,即 kx i ?( ) l ??? 2 m 2 2 2 ? ) (7 分) 因此所求的 k 的取值范围是 (? ,1?ln2 .

1

1

所以函数 f ( x ) 在 ( 0 ,

⑶ f ( a ? x ) ? f ( a ) ? e x ? ( a ? x ) ln( a ? x ) ? a ln a ? e x ? 构造函数 g ( x ) ?
x ln x e
x

( a ? x ) ln ( a ? x ) e
a?x

?

a ln a e
a

.

,则问题就是要求 g ( a ? x ) ? g ( a ) 恒成立. (9 分)
(ln x ? 1) e ? x ln x ? e
x x

对于 g ( x ) 求导得 g ? ( x ) ?

e

2x

?

ln x ? 1 ? x ln x e
x

.

令 h ( x ) ? ln x ? 1 ? x ln x ,则 h ? ( x ) ?

1 x

? ln x ? 1 ,显然 h ? ( x ) 是减函数.

当 x ? 1 时, h ? ( x ) ? h ? (1) ? 0 ,从而函数 h ( x ) 在 (1, ?? ) 上也是减函数. 从而当 x ? 3 时, h ( x ) ? h ( e ) ? ln e ? 1 ? e ln e ? 2 ? e ? 0 ,即 g ?( x ) ? 0 ,

即函数 g ( x ) ?

x ln x e
x

在区间 (3, ? ? ) 上是减函数.

当 a ? 3 时,对于任意的非零正数 x , a ? x ? a ? 3 ,进而有 g ( a ? x ) ? g ( a ) 恒成立,结论 得证. (12 分) 22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算,具体涉及到圆的性质以及三角形相 似等有关知识内容. 【试题解析】解:⑴因为 M A 为圆的切线,所以 M A ? M B ? M C
2

又 M 为 P A 中点,所以 M P ? M B ? M C .
2

因为 ? B M P ? ? P M C ,所以 ? B M P 与 ? P M C 相似. ⑵由⑴中 ? B M P 与 ? P M C 相似,可得 ? M P B ? ? M C P . 在 ? M C P 中,由 ? M P B ? ? M C P ? ? B P C ? ? B M P ? 180 ,
180 ? ? BPC ? ? BM P 2
?
?

(5 分)

得?M PB ?

? 20 .

?

(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面 直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等内容.
2 【试题解析】对于曲线 M,消去参数,得普通方程为 y ? x ? 1, x ?

2 ,曲线 M

是抛物线的一部分; 对于曲线 N,化成直角坐标方程为 x ? y ? t ,曲线 N 是一条直线.

(2 分)

(1)若曲线 M,N 只有一个公共点,则有直线 N 过点 ( 2 ,1) 时满足要求,并且向左下方平行运 动直到过点 ( ? 2 ,1) 之前总是保持只有一个公共点,再接着向左下方平行运动直到相切之前 总是有两个公共点,所以 ? 2 ? 1 ? t ?
t? x ? x
2

2 ? 1 满足要求;相切时仍然只有一个公共点,由
5 4

? 1 ,得 x ? x ? 1 ? t ? 0 , ? ? 1 ? 4 (1 ? t ) ? 0 ,求得 t ? ?
2

. 综合可求得 t 的取值范

围是: ? 2 ? 1 ? t ?

2 ? 1 或t ? ?

5 4

.

(6 分)
2 ,则

2 (2)当 t ? ? 2 时,直线 N: x ? y ? ? 2 ,设 M 上点为 ( x 0 , x 0 ? 1) , x 0 ?

d ?

x0 ? x0 ? 1
2

(x0 ? ?

1 2

) ?
2

3 4 ? 3 2 , 8

2
1 2

2

当 x0 ? ?

时取等号,满足 x 0 ?

2 ,所以所求的最小距离为

3 2 8

.

(10 分)

24. (本小题满分 10 分)

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及 明以及解法等内容.
? 3 x ? 1, x ? 1 ? 【试题解析】解: (1) f ( x ) ? ? x ? 3 , ? 1 ? x ? 1 ? ? 3 x ? 1, x ? ? 1 ?

不等式证

当 x ? 1 时,由 3 x ? 1 ? 5 解得: x ?

4 3

;当 ? 1 ? x ? 1 时,由 x ? 3 ? 5 得 x ? 2 ,舍去;
? ? 4? ?. 3?

当 x ? ? 1 时,由 ? 3 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? ? 2 . 所以原不等式解集为 ? x | x ? ? 2 或 x ? (5 分)

(2)由(1)中分段函数 f ( x ) 的解析式可知: f ( x ) 在区间 ? ? ? , ? 1 ? 上单调递减,在区间 ? ? 1, ? ? ? 上单调递增.并且 f ( x ) m in ? f ( ? 1) ? 2 ,所以函数 f ( x ) 的值域为 [ 2, ? ? ) .从而 f ( x ) ? 4 的取值范 围是 [ ? 2 , ? ? ) ,进而 的 方 程 (10 分)
1 f (x ) ? 1 f (x) ? 4
( f ( x ) ? 4 ? 0 ) 的取值范围是 ( ? ? , ?

1 2

] ? (0, ? ? ) .根据已知关于 x

1 ? a 的 解 集 为 空 集 , 所 以 实 数 a 的 取 值 范 围 是 (? , 0] . 4 2


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