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2011最新高中数学联赛模拟试题(一)


2011 高中数学联赛模拟考试(一) 高中数学联赛模拟考试 模拟考试(

第一试
一、填空题(每小题8分,共64分)

(上午 8:00-9:20)

1.定义在 R 上得函数 f ( x ) 满足 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + xy + 1( x, y ∈ R ) ,且 f (1) = 1 ,则 使得 f ( n) = n 的整数 n 的个数是 .

2 . 已 知 向 量 a 、 b 满 足 : a 和 b 都 是 正 整 数 , 且 ( a + b)( a + 3b) = 33 ,

r

r

r

r

r r r

r

r r r r r r ( a + b )( a + 3 b ) = 105 ,则 a 与 b 的夹角为
3.已知双曲线



x2 y 2 ? = 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , O 为坐标原点.设 P 为双曲线上任一 8 4
的最大值为 .

点,则

PF1 + PF2 PO

4 . 在 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , AB = AD = 5 , AA1 = 1 , M 为 棱 AB 上 一 点 , 且

uuuu r uuuu r r 3 AM + 2 BM = 0 ,在底面正方形 ABCD 内随机选取一点 P ,并设点 P 到直线 A1 D1 的距
离为 d1 , PM = d 2 ,则所取点 P 满足 d1 ? d 2 ≥ 1 的概率为
2 2



5.设 ?ABC 是非直角三角形,且有 [tan A] + [tan B ] + [tan C ] ≥ tan A ? tan B ? tan C ,其中 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数,则满足条件 ?ABC 的最小内角的弧度数为 .

6 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 点 集 P = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} ,

Q = {( x, y ) y ≤ x ? 4, x ≤ 10, y ≥ 2} .设点集 M = {( x, y ) x =

x1 + x2 y + y2 ,y= 1 , 2 2


( x1 , y1 ) ∈ P, ( x2 , y2 ) ∈ Q} ,则点集 M 所形成的图形的面积为

7.设有红、黑、白三种不同颜色的球各 10 个,现将它们全部放入甲、乙两个袋子红,要求每 个袋子里三种颜色的球都有, 且两个袋子里三种颜色球的个数之积相等, 则这样的放法共有 种 8.若 x 、 y 、 z 均为正实数,且 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,则 S =

( z + 1) 2 的最小值为 2 xyz



1

二、解答题
9. (本题满分 16 分)设 an =

∑ k (n + 1 ? k ) ,求证:当正整数 n ≥ 2 时, a
k =1

n

1

n +1

< an .

2

10. (本题满分 20 分)设动圆 P 过点 A( ?1, 0) ,且与圆 C : x + y ? 2 x ? 7 = 0 相切.
2 2

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ)设点 Q ( m, n) 在曲线 ? 上,求证:直线 l : mx + 2ny ? 2 = 0 与曲线 ? 有唯一的公共点; (Ⅲ)设(Ⅱ)中的直线 l 与圆 C 交于 E 、 F 两点,求证:满足 AM = AE + AF 的点必在 圆 C 上.

uuuu r

uuu uuur r

3

11. (本题满分 20 分) 已知函数 y = f ( x) = x + bx + cx + d 的图象如图所示, 直线 BD // AC ,
3 2

且直线 BD 与函数 y = f ( x) 的图象切于 B ,交于点 D ,直线 AC 与函数 y = f ( x) 的图象 切于点 C ,交于点 A ,设点 A 、 B 、 C 、 D 的横坐标依次为 x A 、 xB 、 xC 、 xD ,求证:

( x A ? xB ) : ( xB ? xC ) : ( xC ? xD ) = 1: 2 :1

4

第二试 (上午 9:40-12:10)
(本题满分 40 分)如图 2 ,在 ?ABC 中, B1 、 C1 分别是边 AB 、 AC 延长线上的点, D1 一、 是 线 段 B1C1 上 一 点 , 直 线 AD1 与 ?ABC 的 外 接 圆 交 于 点 D . 求 证 :

AB ? AB1 + AC ? AC1 = 2 AD ? AD1 的充要条件是 D1 为线段 B1C1 的中点.

5

(本题满分 40 分)设 Si = {xi , yi , zi }(i = 1, 2,L , n) 均为集合 T = {1, 2, 3,L ,1000} 的三元子 二、 集,求正整数 n 的最大值,使得 (ⅰ) xi + yi + zi = 2011(i = 1, 2,L n) ; (ⅱ) Si I S j = ? (1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j ) .

6

(本题满分 50 分)已知数列 {an } 满足 a1 = 三、

1 1 2 , an +1 = an + 2 an ( n ∈ N + ) ,求证: 2 n

6n (n ≥ 3) ; 5n + 6 3 (Ⅱ) an < ( n ≥ 1) . 2
(Ⅰ) an >

7

(本题满分 50 分)求整数 p ,使得方程 3 = 2 + p 的正整数解 ( x, y ) 的组数最多,并求相 四、
x y

应的正整数解 ( x, y ) .

8


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