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长春十一中高一年级第一学期数学期末测试题附答案


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长春市十一高中高一上学期期 长春市十一高中高一上学期期末考试 高一 数 学 试 题
考试说明: 考试说明:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,试卷 满分 120 分,附加题 10 分,答题时间为 120 分钟.考试结束后,将选择题答 题卡和答题纸一并交回,试题卷自己保留. 注意事项: 注意事项:1.答题前,考生必须将自己的班级、姓名、考号、座位序号填写清楚. 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字 笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.保持卡(卷)面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 一、选择题: 每小题 4 分,共 48 分) 选择题: (每小题 ( 1. sin 330 °等于( ) A. ?

3 2

B. ?

1 2


C.

1 2 cos θ 1 = sin θ 3

D.

3 2

2.下列结论能成立的是( A. sin θ =

1 1 且 cos θ = 2 2 2 2

B. tan θ =2 且

C. tan θ =1 且 cos θ = 3.若 sin θ =

D. sin θ =1 且 tan θ ? cos θ = )

1 2

m?3 4 ? 2m , cos θ = 则 m 的值为( m+5 m+5

A. 0 B. 8 C .0 或 8 D. 3<m<9 4.对于平面 α 和共面的直线 m, n, 下列命题中真命题是( ) A.若 m, n 与 α 所成的角相等,则 m ∥ n B.若 m ∥ α ,则 m ∥ n C.若 m ⊥ α ,m ⊥ n 则 n ∥ α 5.设 A 是△ABC 的一个内角,且 sin A + cos A = D.若 m ? α ,n ∥ α , m ∥ n 则

2 ,则这个三角形是( 3



A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.非等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知函数 f (x)=a sin x +b tan x +1,满足 f (5)=7,则 f (-5)的值为( ) A. 5 B. -5 C. 6 D.-6 7.在正方体 ABCD ― A1 B1C1 D1 中,与 AD1 成 60°角的面对角线共有( )

A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.10 条 8.一个几何体的三视图如下图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的 等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( ) A. 12π B. 3π C. 3π D. 12 3π

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9.函数 y = sin ?

?π ? ? 2 x ? 的单调递减区间是( ?3 ?



2π ], k ∈ Z 6 3 π 5π ], k ∈ Z B. [ 2kπ ? , 2kπ + 12 12 π 5π C. [ kπ ? , kπ + ], k ∈ Z 12 12
A. [ ? kπ +

π

, ? kπ +

正视图

侧视图

(第 8 题图) 俯视图

D. [ kπ ?
3

π

6

, kπ +
3

π

3

], k ∈ Z

10.如果 sin θ ? cos θ > cos θ ? sin θ ,且 θ ∈ (0, 2π ) , 那么角 θ 的取值范围是( A. ( 0, )

π

4

)

B. (

π 3π π
4 2 , 4

)

C. (

π 5π
4 , 4

)

D. (

5π , 2π ) 4

11.已知函数 f (x)= sin(ω x +

) , x ∈ R, ω > 0 )的最小正周期为 π ,为了得到函数 (
) B.向右平移 D.向右平移

g (x)= cos ω x 的图象,只要将 y=f(x)的图象( A.向左平移 C.向左平移

π

π

8

个单位长度 个单位长度

π π
8 4

个单位长度 个单位长度 )

4

12.若函数 y = 3 sin( 2 x ? φ ) 的图象关于点 ( A.

π
6

B.

π
4

4π , 0) 中心对称,则 φ 的最小值为( 3
C.

π

3

D.

π

2
A

C B

( 二、填空题: 每小题 4 分,共 16 分) 填空题: 13. α 是第二象限角,其终边上一点 P (x, 5 ) ,且 cos α = 则 sin α 的值为_ ____. 14.函数 f (x)= tan x + sin x , x ∈ [0,

2 x, 4
C1 A1
1 1 直观图

π
3

] 的最大值为___

____.

B1

15.函数 y = sin x ? sin x 的值域是_______________. 16.如图右(上) ,三棱柱的侧棱长和底边长均为 2, 且侧棱 AA1 ⊥平面 A1 B1C1 , 正视图与俯视图如图右 (下) , 则该三棱柱的侧视图面积为_____________.
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2 2

正视图

俯视图

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长春市十一高中高一上学期期末 长春市十一高中高一上学期期末考试 高一上学期期
※※※※ 装 ※※※※ 订 ※※※※ 线 ※※※※ 内 ※※※※ 不 ※※※※ 准 ※※※※ 答 ※※※※ 题 ※※※※ ○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○

数 学 试 题 答 题 纸
(每 二、填空题: 每小题 4 分,共 16 分) 填空题: ( 13. 14. 15. 16.

( 三、解答题: 共 56 分) 解答题: 17. (10 分)已知函数 y= 2a cos(2 x ? 是[ ?5,1 ],求 a、b 的值.

π
3

) + b 的定义域是[0,

π
2

],值域

班级:一年 班级:



考号: 考号:

18. 分) (10 如图, B、 D 为空间四点, A、 C、 在△ABC 中, AB=2, AC=BC= 2 , 等边三角形 ABD 以 AB 为轴转动. (1)当面 ABD ⊥ 面 ABC 时,求 CD 长; (2)当△ABD 转动时,是否总有 AB ⊥ CD?证明你的结论.

(1) (2) (3)

D

姓名: 姓名:

A

B

C

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19. (12 分)已知 tan α =

2 ,求下列各式的值, 3 cos α ? sin α cos α + sin α (1) + ; cos α + sin α cos α ? sin α 1 . (2) 2 sin α ? 2 sin α cos α + 4 cos 2 α

20. (12 分)如图,把边长为 1 的正方形沿对角线 BC 折起得到三棱锥 D-ABC,O 是 BC 边上一点. (1)当 DO 取最小值时,求证:BC ⊥ 平面 DAO; (2)当三棱锥 D-ABC 体积最大时,求二面角 A-CD-B 的正切值.

D

B

O

C

A

座位号

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21. (12 分)函数 f1 ( x) = A sin(ω x + φ ), ( A > 0.ω > 0, φ < (1)求函数 f1 ( x) 的解析式; (2)将函数 y = f1 ( x) 的图象向右平移

π
2

) 的一段图象如图所示,

π
4

个单位,得函数 y = f 2 ( x) 的图象,

求 y = f 2 ( x) 的最大值,并求此时自变量 x 的集合. y
2

?

π
6

O

π
3

x

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22. (10 分)附加题:已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中(底面为正三角形, 附加题: 附加题 侧棱垂直于底面) ,BC=1,D 是棱 BC 上的动点. (1)当 D 在何处时,A1B∥平面 AC1D,并证明; (2)若 D 为 BC 的中点,且直线 AC1 与平面 ABC 成 60°角,试求二面 角 C-AC1-D 的大小的正切值.

A1 B1 C1

A

B

D

C

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高一上学期期末数学试题答案 选择题: 一. 选择题: 1B 2C 3C 4 D5B6 B7C 8C 9C10C11A12C 填空题: 二. 填空题:13 解答题: 三. 解答题: 17.解:∵ 0 ≤ x ≤ . ∴?
π π
2

10 14 4

3 3 15 2

[0,2] 16

2 3

3 3 1 π ∴ ? ≤ cos(2 x ? ) ≤ 1 2 3

≤ 2x ?

π



2π 3

? 当 a > 0时, a + b ≤ 2a cos(2 x ? ) + b ≤ 2a + b 3

π

由已知得, 由已知得, ?

?? a + b = ?5 ∴ DE ? 2a + b = 1

?a=2 ? ?b = ?3

2 当 a < 0时,a + b ≤ 2a cos(2 x ? ) + b ≤ ?a + b 3

π

由已知得, 由已知得, ?

?2a + b = ?5 ?a = ?2 ∴? ? ?a +b =1 ? b = ?1

18.解:⑴ 若面 ABD ⊥ 面ABC时,取AB中点为O, 连接OC , OD, . 则 OD ⊥ 面ABC ∴ OD ⊥ OC ∵在正三角形 ABD中,AB = 2 ∴ OD = 3在Rt?ABC中,OC = 1 ∴ 在Rt?DOC中,CD = 2 结论: ⑵ 结论:总有 AB ⊥ CD ① 若面 ABD不与面ABC重合 ,
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由上知 ?

AB ⊥ 面OCD ? ? AB ⊥ OD ∴ ? CD ? 面OCD ? ? AB ⊥ OC

∴ AB ⊥ CD ② 若面 ABD与面ABC重合 ∵ AB ⊥ OD, AB ⊥ OC, 且AB, OC, OD 共面 ∴ O, C , D 三点共线 ∴ AB ⊥ CD 成立。 故总有 AB ⊥ CD 成立。 19.解:⑴原式= . 原式
1 ? tan α 1 + tan α + 1 + tan α 1 ? tan α 26 5

原式= ∵ tan α = ∴原式=

2 3

sin 2 α + cos 2 α 原式= 2 ⑵原式 sin α ? 2 sin α cos α + 4 cos 2 α

=

1 + tan 2 α tan 2 α ? 2 tan α + 4 2 3 13 28

原式= ∵ tan α = ∴原式=

20.解:⑴ 若 DO 取最小值,则 DO ⊥ BC,又DB = DC, . 取最小值, ∴ O为BC中点,故AO ⊥ BC 又 OA ∩ OD = O, ∴ BC ⊥ 平面DAO ⑵ 作 AE ⊥ CD,垂足为E , 设O为BC中点,连接OE 是等边三角形, ∵ DA = 1, ∴ ?ACD 是等边三角形, 中点, ∴ E为DC 中点,∴ OE ∥ DB ∴ OE ⊥ DC, ∴ ∠AEO 为所求二面角的平
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面角。 面角。∵ AO =

2 1 3 , OE = , AE = , ∴ AE 2 = AO 2 + OE 2 , 2 2 2

∴ AO ⊥ OE ∴ cos ∠AEO =

OE 3 = AE 3
T 2

21.解:⑴由图象可知, A = 2, = . 由图象可知,
π π

π

? (? ) = , ∴ ω = 2 3 6 2

π

π

又∵图象过点 (? ,0) ,∴ 2 × (? ) + ? = 0 ∴ ? =
6 6

π
3

∴ f1 ( x) = 2 sin(2 x + )
3

π

⑵∵将函数 个单位, ⑵∵将函数 f1 ( x) = 2 sin(2 x + ) 的图象向右平移 个单位,得到函数
3 4

π

π

π π? π ? f 2 ( x) = 2 sin ?2( x ? ) + ? = 2 sin(2 x ? ) 的图象。 的图象。 4 3? 6 ?

∵函数 f 2 ( x) = 2 sin(2x ? ) 的定义域是 R ,
6

π π

∴函数 f 2 ( x) = 2 sin(2x ? ) 的最大值是 2
6

此时 2 x ?

π
6

=

π
2

+ 2 Kπ

x=

π
3

+ Kπ

∴当函数 f 2 ( x) = 2 sin(2x ? ) 的最大值是 2 时,
6

π

自变量 x 的集合是 ? x x =
?

?

π

? + Kπ , K ∈ Z ? 。 3 ?

22.解:⑴当 D为BC的中点时,A1 B ∥平面 AC1 D . 连接 A1C, 设A1C ∩ AC1 = E, 连接DE
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是正三棱柱, ∵ ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱,∴四边形 A1 ACC1 是矩形 ∴ E是A1C的中点,又∵ D是BC的中点, DE ∥ A1 B ∴ ∵ DE ? 平面AC1 D, A1 B ? 平面AC1 D, ∴ A1 B ∥平面 AC1 D ⑵∵ CC1 ⊥ 平面ABC, ∴ ∠C1 AC是直线AC1与平面ABC所成的角,即 ∠C1 AC = 600 ∴ CC1 = 3 AC = 3BC, ∵ BC = 1, ∴ CC1 = 3 在面 ABC 内作 DF ⊥ AC于点F , 在面 A1 ACC1 内作 FG ⊥ AC1于点G, 连接DG ∵平面 A1 ACC1 ⊥ 平面ABC, ∴ DF ⊥ 平面A1 ACC1 , 上的射影, ∴ FG是DG在平面A1 ACC1 上的射影, ∵ FG ⊥ AC1 , ∴ DG ⊥ 平面AC1 , ∴ ∠FGD是二面角C ? AC1 ? D 的平面角 在正 ?ABC中,DF =
3 3 , AF = , 4 4

∵ ?AFG ∽ ?ACC1 , ∴

FG AF = , CC1 AC1

3 AF 3 3 ? CC1 = 4 × 3 = ∴ FG = AC1 2 8
tan 在 Rt?DFG中, ∠FGD = DF 2 = FG 3 2 3

∴二面角 C ? AC1 ? D的正切值为 。
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