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北约自主招生物理模拟试题清北学长精心打造


北约自主招生数学模拟试题一
一、选择题(本题满分 48 分,每小题 8 分) 1 .已知数列 {an} 满足 3an+1+an=4(n ≥ 1) ,且 a1=9 ,其前 n 项之和为 Sn 。则满足不等式

|Sn-n-6|<

的最小整数 n 是(



A.5 B.6 C.7 D.8 2. 设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面是三角形 ABC 的中心, 过 O 的动平面与 PC 交于 S, 与 PA、

PB 的延长线分别交于 Q、R,则和式 A.有最大值而无最小值 C.既有最大值又有最小值,两者不等





B.有最小值而无最大值 D.是一个与面 QPS 无关的常数

3.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1= A.1 B.-1

,则

=( C.2+

) D.-2+

4.已知 =(cos

π, sin

π),

, )

,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等

腰直角三角形,则△OAB 的面积等于(

A.1

B.

C.2

D.

5.过椭圆 C:

上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足),延长

PH 到点 Q,使|HQ|=λ |PH|(λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取 值范围为( )

A.

B.

C.

D.

6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c(b≠1),且 x=logb(4x-4)的根,则△ABC( ) A.是等腰三角形,但不是直角三角形 C.是等腰直角三角形 二、解答题(每小题 18 分,共 72 分)



都是方程 log

B.是直角三角形,但不是等腰三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

7.已知 a, b, c∈R+,且满足

≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求 k 的最小值。

8.求所有实多项式 f 和 g,使得对所有 x∈R,有:(x2+x+1)f(x2-x+1)=(x2-x+1)g(x2+x+1)。 9.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 的距离为 2,Q 是 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外切,⊙Q 交 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。 10.已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2, (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明:a≤2 ; ;

(2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 (3)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件。

参考答案: 一、选择题

1 .由递推式得: 3(an+1-1)=-(an-1) ,则 {an-1} 是以 8 为首项,公比为 -

的等比数列,∴

Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+ ? +(an-1)=

=6-6 ? (-

)n ,∴ |Sn-n-6|=6 ? (

)n<

,得:

3n-1>250,∴满足条件的最小整数 n=7,故选 C。

2.设正三棱锥 P-ABC 中,各侧棱两两夹角为α ,PC 与面 PAB 所成角为β ,则 vS-PQR=

S

△ PQR

? h=

PQ ? PRsin α ) ? PS ? sin β 。另 一方 面, 记 O 到 各 面的 距离为 d ,则

vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS, S△PQR?d=

△PRS

?d+

S△PRS?d+

△PQS

?d=

PQ?PRsin

α +

PS ? PRsin α +

PQ ? PS ? sin α , 故 有 : PQ ? PR ? PS ? sin β

=d(PQ?PR+PR?PS+PQ?PS),即

=常数。故选 D。

3. xn+1=

, 令 xn=tanα n, ∴xn+1=tan(α n+

), ∴xn+6=xn, x1=1, x2=2+

, x3=-2-

,

x4=-1, x5=-2+

, x6=2-

, x7=1,??,∴有

。故选 A。

4.设向量 =(x, y),则





,即

. ∴



,∴S△AOB=

=1。

5.设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λ PH,

所以

,所以由定比分点公式,可得:

,代入椭圆方程,得 Q

点轨迹为 C。 6. 由 log

,所以离心率 e=

。故选

x=logb(4x-4)得: x2-4x+4=0, 所以 x1=x2=2, 故 C=2A, sinB=2sinA, 因 A+B+C=180°,

所以 3A+B=180°,因此 sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又 sinA

≠0,所以 sin2A= 二、解答题:

,而 sinA>0,∴sinA=

。因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。

7.解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2

)2+(2

+2

)2=

4ab+8ac+8bc+16c

。所以





当 a=b=2c>0 时等号成立。故 k 的最小值为 100。 8、设 w 是 1 的非实的立方根,满足 w2+w+1=0,则 g(w2+w+1)g(0)=0,设α 为-1 的非实的 立方根,则 f(α 2-α +1)=f(0)=0,故可设:f(x)=x?a(x);g(x)=x?b(x)。因此原条件可化为: a(x2-x+1)=b(x2+x+1)。令 x=-y,得:a(y2+y+1)=b(y2-y+1), 1]。下面证明无穷多个 n 使得: a(n2+3n+3)=a(1) 。 由 n=1 可 得 : a(1)=a(7) , 假 设 a[(n-1)2+3(n-1)+3]=a(1)(n ≥ 2) , 则 a[(n+1)2+3(n+1)+3]=a[(n+2)2+(n+2)+1]=a[(n+1)2-(n+1)+1]=a[(n-1)2+3(n-1) +3]=a(1)。由于多项式 a(x)-a(1)有无穷多个根,所以 a(x)-a(1)是零多项式,即 a(x)为常数,因 此 f(x)=kx,类似可知:g(x)=kx。

9.以 为 x 轴,点 P 到 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,设 Q 的坐标为(x, 0), 点 A(k, λ ),⊙Q 的半径为 r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以 x=

±

, ∴tan∠MAN=

, 令 2m=h2+k2-3 , tan ∠ MAN= m+(1-nh)r=

, 所 以 m+r

k

=nhr , ∴

,两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为对

于任意实数 r≥1,上式恒成立,所以

,由(1) (2)式,得 m=0, k=0,

由(3)式,得 n=

。由 2m=h2+k2-3 得 h=±

,所以 tan∠MAN=

=h=±

。所以∠

MAN=60°或 120°(舍)(当 Q(0, 0), r=1 时∠MAN=60°),故∠MAN=60°。

10(1)证:依题设,对任意 x∈R,都有 f(x)≤1。∵f(x)=-b(x1,∵a>0, b>0, ∴a≤2 。

)2+

,∴f(

)=



(2)证:(必要性),对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1

-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即 a-b

≥-1, ∴a≥b-1。 对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 -≤1,∴a≤2 ,所以 b-1≤a≤2 。

f(x)≤1, 因为 b>1, 可推出 f(

)≤1。 即 a?

(充分性):因 b>1, a≥b-1,对任意 x∈[0, 1],可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x ≥-1,即:ax-bx2≥-1;因为 b>1,a≤2 即 ax-bx2≤1,∴-1≤f(x)≤1。 综上,当 b>1 时,对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 (3)解:因为 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1]。 。 ,对任意 x∈[0, 1],可推出 ax-bx2≤2 -bx2≤1,

f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即 f(x)≥-1; f(x)≤1 f(1)≤1 a-b≤1,即 a≤b+1; a≤b+1 f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即 f(x)≤1。 所以,当 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1],|f(x)| 的充要条件是:a≤b+1

≤ 1

北约自主招生模拟试题二
答题时注意: 1、试卷满分 150 分;考试时间:120 分钟. 2、试卷共三大题,计 16道题。考试结束后,将本卷及演算的草稿纸一并上交。

一、 选择题 (共 5 小题, 每题 6 分, 共 30 分.以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的 括号内.不填、多填或错填均不得分)
1、如果关于 x 的方程 A、 2、如图,已知:点 于点 ] B、 、 分别是正方形 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是( C、 的边 D、 的中点, 分别交 的面积等 )

,若正方形 ) B、28 D、30

的 面 积 是 240 , 则 四 边 形

于????????( A、26 C、24 3 、设

是两两不等的实数,且满足下列等式: ,则代数式 的值是??????? ( ) D、条件不足,无法计算

A、0

B、1

C、3

4、如图,四边形

内接于以

为直径的⊙

,已知:

,则线段 是??????? ( A、 B、7 ) C、4+3 D、3+4

的长

5、某学校共有 3125 名学生,一次活动中全体学生被排成

一个 排的等腰梯形阵,且这 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列,则当 取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一 周的学生总人数是??????? ( ) A、296 B、221 C、225 D、641

二、填空题:(共 5 小题,每题 6 分,共 30 分)
6、已知:实常数 ⑵ 同时满足下列两个等式:⑴ (其中 为任意锐角),则 ; 之间的关系式是:

。 7、函数 的最小值是 。

8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无 摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图),则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚 过的部分的面积是 。

9、已知:

,则

可用含 的 = 。

有理系数三次多项式来表示为:

10、设 p、q、r 为素数,则方程 数组( p, q, r )是

的所有可能的解 p、q、r 组成的三元 。

三、解答题(共 6 题,共 90 分)
11、(本题满分 12 分) 赵岩, 徐婷婷, 韩磊不但是同班同学, 而且是非常要好的朋友, 三个人的学习成绩不相伯仲, 且在整个年级中都遥遥领先, 高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学. 后来三 个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题:有一种密码把英 文按字母分解,英文中的 26 个自然数表示,并给出如下一个变换公式: 个字母(不论大小写)依次用 这

;已知对于任意的实数

,记号[

]表示

不超过 的最大整数;将英文字母转化成密码,如

,即

,再



,即

。他们给出下列一组密码:

,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来,并简单地 写出翻译过程。

12、(本题满分 15 分) 如果有理数 可以表示成 (其中 是任意有理数) 的形式, 我们就称

为“世博数”。 ⑴ 个“世博数” 之积也是“世博数”吗?为什么? ( )之商也是“世博数”。

⑵ 证明:两个“世博数”

13、(本题满分 15 分) 如图,在四边形 中,已知△ 、△ 、△ 的面积之比是 3∶1∶4, 点

在边 ⑴求

上,

交 的值;



,设



⑵若点 式表示△

分线段



的两段,且

,试用含

的代数

三边长的平方和。

14、(本题满分 16 分) 观察下列各个等式: ⑴你能从中推导出计算 ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题: 已知:如图,抛物线 等分,分点从左到右依次为 轴的垂线依次交抛物线于点 △ 、 △ 、 △ 。 ①当 时,求 的值; 、 ? 、 △ 与 、 轴的正半轴分别交于点 ,将线段 个点作 、 的公式吗?请写出你的推导过程; 。

,分别过这 ,设△

的 面 积 依 次 为

②试探究:当 取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么?

15、(本题满分 16 分) 有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计):①两直角边分别为 3、4 的直角三角形 ②腰长为 4、顶角为 ③腰长为 5、顶角为 的等腰三角形 的等腰三角形 ; ; ; 。 ;

④两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形 ⑤长为 4 且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形

它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外径分别为 2.4、2.7 的铁圆环。 我们规定: 如果塑料板能穿过铁环内圈, 则称为此板 “可操作” ; 否则, 便称为 “不可操作” 。

⑴证明:第④种塑料板“可操作”; ⑵求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。

16、(本题满分 16 分) 定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。 如图所示,已知:⊙ 点 。 是△ 的 边上的旁切圆, 分别是切点, 于

⑴试探究: ⑵设

三点是否同在一条直线上?证明你的结论。 如果△ 和△ 的面积之比

等于



,试作出分别以

为两根且二次项系数为

6 的一个一元二次方程。

参考答案与评分标准
一、选择题
CBADB

二、填空题:(共 5 小题,每题 6 分,共 30 分。不设中间分)
6、已知:实常数 同时满足下列两个等式:⑴ ;

⑵ 间的关系式是: 。 7、函数

(其中 为任意锐角),则



的最小值是

8



8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无 摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图),则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚 过的部分的面积是 84— 。

9、已知:

,则

可用含 的 =

有理系数三次多项式来表示为:

。 10、设 p、q、r 为素数,则方程 数组( p, q, r )是 。 的所有可能的解 p、q、r 组成的三元

三、解答题(共 6 题,共 90 分。学生若有其它解法,也按标准给分)
11、(本题满分 12 分) 赵岩, 徐婷婷, 韩磊不但是同班同学, 而且是非常要好的朋友, 三个人的学习成绩不相伯仲, 且在整个年级中都遥遥领先, 高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学, 后来三 个人应母校邀请给全校学生作一次报告。 报告后三个人还出了一道数学题: 有一种密码把英 文按字母分解,英文中的 26 个自然数表示,并给出如下一个变换公式: 个字母(不论大小写)依次用 这

;已知对于任意的实数

,记号[

]表示

不超过 的最大整数。将英文字母转化成密码,如

,即

,再



,即

。他们给出下列一组密码:

,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来,并简单地 写出翻译过程。 略解:由题意,密码 应的英语单词是 best, 对应的英语单词是 interest, 对应的英语单词是 is, (9 分) 对

对应的英语单词是 teacher.

所以,翻译出来的一句英语是 Interest is best teacher,意思是“兴趣是最好的老师”。 (3 分) 12、(本题满分 15 分) 如果有理数 可以表示成 (其中 是任意有理数) 的形式, 我们就称

为“世博数”。 ⑴ 个“世博数” 之积也是“世博数”吗?为什么? ( = “世博数” 即可。 (3 分) ,不妨设 (3 分) 是“世博数”;(3 分) 其中 j、k、 (其中 )之商也是“世博数”。 ,其中 是有理数,

⑵ 证明:两个“世博数” 略解:

是任意有理数),只须

对于任意的两个两个“世博数” r、s 为任意给定的有理数, 则

= 13、(本题满分 15 分) 如图,在四边形

也是“世博数”。

(3 分)

中,已知△

、△

、△

的面积之比是 3∶1∶4, 点

在边 ⑴求

上,

交 的值;



,设



⑵若点 式表示△

分线段



的两段,且

,试用含

的代数

三边长的平方和。

略解:⑴不妨设△ △ 、△

、 的面积

分别为 3、1、4,

∵ ∴△

, 的面积是 6,△

的面积是





的面积是

, △

的面积为

,△

的面积是



(3 分)由此可得: ∴ =3

+ (1 分)

=

,即

,∴

(3 分)

⑵由⑴知: ∴点 是△

分别为 的重心。

的中点,又∵点 (2 分)

分线段



的两段,

而当延长



,使得

,连结

后便得到平行四边形



再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得:

,类似地有 中点 为边 的中点。∴

,其 。(3

分)∵



,∴

,∴ 14、(本题满分 16 分) 观察下列各个等式: ⑴你能从中推导出计算 ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题: 已知:如图,抛物线 n 等分, 分点从左到右依次为 轴的垂线依次交抛物线于点 △ 、 △ 、 △ 。 ①当 时,求 的值; 、 ? 、 △ 与

。(3 分)

。 的公式吗?请写出你的推导过程;

、 轴的正半轴分别交于点 , 分别过这 ,设△

,将线段 个点作 、

的 面 积 依 次 为

②试探究:当 取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么?

略解:⑴∵ 可得下列 个等式:

,∴当式中的 从 1、2、3、…依次取到 时,就 (2 分)

,将这 个等式的左右两边分别相加得: (2 分)



=

。(3 分)

⑵先求得

两点的坐标分别为

,∴点

的横坐标分别为

,点

的纵坐标

分别为 (3 分)∴





= ∴①当 时,



(3 分)

=



②∵

∴当 取到无穷无尽时,上式的值等于 15、(本题满分 16 分)

,即所有三角形的面积和等于

。 (3 分)

有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计):①两直角边分别为 3、4 的直角三角形 ②腰长为 4、顶角为 ③腰长为 5、顶角为 的等腰三角形 的等腰三角形 ; ; ; 。



④两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形 ⑤长为 4 且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形

它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为 2.4、2.7 的铁圆环。

我们规定: 如果塑料板能穿过铁环内圈, 则称为此板 “可操作” ; 否则, 便称为 “不可操作” 。 ⑴证明:第④种塑料板“可操作”; ⑵求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。

略解:⑴由题意可知四边形

必然是等腰梯形,(2 分)不妨设 = ,分别过点 作 的垂线,垂足为

,则由△

∽△

得到

,即

,解得



∴ ∴第④种塑料板“可操作”。 (5 分) 斜边

<2.4,

⑵如上图所示,分别作直角三角形 的高 、等腰三角形

上的高 ,易求得: ,△ ≌△

、等腰三角形 =2.4, ,∴

的腰



底边上的高 的锐角底角是

=2.5. (2 分) = .

又由⑴可得等腰梯形

而黄金矩形

的宽等于

>2.4,

(4 分)

∴第①②④三种塑料板“可操作”;而第③⑤两种塑料板“不可操作”。

∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率 16、(本题满分 16 分)

。(3 分)

定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。 如图所示,已知:⊙ 点 。 三点是否同在一条直线上?证明你的结论。 是△ 的 边上的旁切圆, 分别是切点, 于

⑴试探究:

⑵设

如果△

和△

的面积之比等于



,试作出

分别以

为两根且二次项系数为 6 的一个一元二次方程。

略解:⑴结论: 在一条直线上。(1 分) 证明:分别延长 , 交于点 ,由旁切圆的定义及题中已知条件得:

三点是同

,再由切线长定理得:

,(3 分)

∴ (3 分) ⑵∵ △ ∽△

。 ∴

, 由梅涅劳斯定理的逆定理可证

三点共线。

∴ ,△ ∽△ ,

三点共线, 四点共圆。(2 分)

,连结

,则

设⊙ 的半径为 ,则:









∴由△

∽△

得:



,∴



(4 分)

∴ 一元二次方程是

,因此,由韦达定理可知:分别以 。 (3 分)

为两根且二次项系数为 6 的一个

北约数学模拟试题三
一.选择题:(本大题共 12 个小题,每个 4 分,共 48 分,将所选答案填涂在机读卡上) 1、下列因式分解中,结果正确的是( ) A. B.

C. 2、“已知二次函数

D. 的图像如图所示,试判断 时 与 ,

0 的大小.”一同学是这样回答的:“由图像可知:当 所以 做( ) A.换元法 C.数形结合法

.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫

B.配方法 D.分类讨论法

3、已知实数 满足 A.-2 B.1

,则

的值是( ) C.-1 或 2 D.-2 或 1

4、若直线 还必过点( )

与反比例函数

的图像交于点

,则反比例函数

的图像

A. C.(-2,-3)

(-1,6) D.(2,12)

B.(1,-6)

5、现规定一种新的运算:“*”:

,那么

=( )

A.

B.5

C.3 =( ) B.150° C.160°

D.9

6、一副三角板,如图所示叠放在一起,则 A.180°

D.170° 7、某中学对 2005 年、2006 年、2007 年该校住校人数统计时发现,2006 年比 2005 年增加 20%,2007 年比 2006 年减少 20%,那么 2007 年比 2005 年( ) A.不增不减 B.增加 4% C.减少 4% D.减少 2%

8、一半径为 8 的圆中,圆心角θ 为锐角,且 A.8 B.10

,则角θ 所对的弦长等于( ) C. D.16

9、一支长为 13cm 的金属筷子(粗细忽略不计),放入一个长、宽、高分别是 4cm、3cm、 16cm 的长方体水槽中,那么水槽至少要放进( )深的水才能完全淹没筷子。 A.13cm B. cm C.12cm D. cm

10、 如图, 张三同学把一个直角边长分别为 3cm,4cm 的直角三角形硬纸板, 在桌面上翻滚 (顺 时针方向),顶点 A 的位置变化为 挡住,使纸板一边 的路程为( ) A. cm B. cm C. cm D. cm ,其中第二次翻滚时被桌面上一小木块 ,则 翻滚到 位置时共走过

与桌面所成的角恰好等于

11、一辆汽车从甲地开往乙地,开始以正常速度匀速行驶,但行至途中汽车出了故障,只好 停下修车,修好后,为了按时到达乙地,司机加快了行驶速度并匀速行驶。下面是汽车 行驶路程 S(千米)关于时间 t(小时)的函数图象, 那么能大致反映汽车行驶情况的图像是 ( )

A B C D 12、由绵阳出发到成都的某一次列车,运行途中须停靠的车站依次是:绵阳→罗江→黄许→ 德阳→广汉→清白江→新都→成都.那么要为这次列车制作的车票一共有( ) A.7 种 B.8 种 C.56 种 D.28 种

二. 填空题(共 6 个小题,每个小题 4 分,共 24 分。将你所得答案填在答卷上) 13、根据图中的抛物线可以判断: 当 ________时, 随 的增大而减小; 当 ________时, 有最小值。

14、函数 15、如图,在圆 点。弦 与 中,直径 交于点 ,则

中,自变量 的取值范围是__________. 是上半圆 上的两个动

=____________.

16、下图是用火柴棍摆放的 1 个、2 个、3 个??六边形,那么摆 100 个六边形,需要火柴棍______根。

17、在平面直角坐标系中,平行四边形四个顶点中,有三个顶点坐标分别是(-2,5), (-3, -1), (1,-1),若另外一个顶点在第二象限,则另外一个顶点的坐标是_______________. 18、参加保险公司的汽车保险,汽车修理费是按分段赔偿,具体赔偿细则如下表。某人在汽 车修理后在保险公司得到的赔偿金额是 2000 元,那么此人的汽修理费是________元. 汽车修理费 元 0 500 1000 ?? 三.解答题(共 7 个小题,满分 78 分,将解题过程写在答卷上) 500 1000 3000 赔偿率 60% 70% 80% ??

19、(10 分)先化简,再求值:



其中

.

20、 (10 分) 在 是 的中点,求证:

中, .

.以

为底作等腰直角



21、(10 分)绵阳中学为了进一步改善办学条件,决定计划拆除一部分旧校舍,建造新校舍。 拆除旧校舍每平方米需 80 元, 建造新校舍每平方米需要 800 元, 计划在年内拆除旧校舍 与建造新校舍共 9000 平方米, 在实施中为扩大绿化面积, 新建校舍只完成了计划的 90% 而拆除旧校舍则超过了计划的 10%,结果恰好完成了原计划的拆、建总面积。 (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米? (2)若绿化 1 平方米需要 200 元,那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化,可 绿化多少平方米?

22、 (10 分) 已知直线 与 轴交于点 ,

与 轴的负半轴交于点 ( 的坐标; 的面积 .

, 直线

与 轴交于点 .



是坐标原点),两条直线交于点

(1)求 的值及点 (2)求四边形

23、(12 分)如图:已知 于点 交 , 于点 是圆

是圆

的直径,

是圆

的弦,圆

的割线

垂直于

(1)求证:

的切线;

(2)请你再添加一个条件,可使结论 (3)在满足以上所有的条件下, 求

成立,说明理由。 的值。

24、 (12 分) 如图, 菱形 做 匀速运动,点 (1)已知点 达 从点

的边长为 12cm,

=60 , 点

从点

出发沿线路

同时出发沿线路

做匀速运动. 分别到

运动的速度分别为 2cm/秒和 2.5cm/秒,经过 12 秒后, 的形状,并说明理由; 有分别从 同时沿原路返回,点 分别到达 两点,若

两点,试判断 (2)如果(1)中的点

的速度不变,点 与题(1)中

的速度改为 cm/秒,经过 3 秒后, 的 相似,试求 的值.

25、(14 分)在 (1)求证:

中, ;

的长分别是

,且

.

(2)若 =2,抛物线 且 的面积为 6(

与直线

交于点

和点



是坐标原点).求

的值;

( 3)若 点中,一个交点在

,抛物线

与 轴的两个交

原点的右侧,试判断抛物线与 轴的交点是在 轴的正半轴还是负半轴,说明理由.

北约数学模拟试题三参考答案
一.选择题(本大题共 12 个小题,每个 4 分,共 48 分,将所选答案填涂在机读卡上) 1.B 2.C 12.D 二.填空题(共 6 个小题,每个小题 4 分,共 24 分。将你所得答案填在答卷上) 13. <1 、 =1 ; 14. x>-2 且 x 16. 501 ; 17.(-6,5) ; 18. 2687.25 1 ; 15. 100 ; 3.D 4.C 5.D 6.A 7.C 8.A 9.C 10.D 11.C

三.解答题(共 7 个大题,共 78 分) 19、(10 分)

(1)化简原式=

求值: 原式 20、(10 分) 过 作 交 于

??????①



??????????② ?????????????????③



21、(10 分) 解:(1)由题意可设拆旧舍 平方米,建新舍 平方米,则

答:原计划拆建各 4500 平方米。 (2)计划资金 实用资金 元

节余资金:3960000-3636000=324000

可建绿化面积= 答:可绿化面积 1620 平方米 22、(10 分) 解:(1)因直线 又由题知 而 故 与

平方米

轴负半轴交于点

,故

由 故: (2)过 ,点 作





的坐标为(5,-2) 轴于点 ,依题知:

23、(12 分)

解:(1)连接

相交于

,由题可知

,即 (2)加条件: 为 的中点,

为切线

(3)由题已知 即 又 或 8(舍)

24、(12 分) 解:(1) 又 点到达 点,即 与 重合

点在 (2) 为

之中点,即

为直角三角形

的中点,又 为直角三角形



相似



到达

处:

= =1



到达

处:

=9,



到达

处:

=6+12=18,

25、(14 分)

(1)证明:

(2)







,得 ??????①

要使 抛物线与直线有交点,则方程①中

得 过 作 于 ,设 为直线 与坐标轴的交点,则



过 则 又 故

分别作 轴、 轴的平行线交于点





由方程①得





(3) 又

且 ,即 ,即

抛物线与 轴的两个交点中有一个在原点右侧,故 而抛物线与 轴交点为 当 当 。 时, 时, ,交 轴于负半轴 ,交 轴于正半轴

绝密★启用前

清北学长精心打造——北约自主招生数学模拟试题(四)

考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 得分 一 二 三 总分

注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息<br/>2.请将答案正确填写在 答题卡上 第 I 卷(选择题) 请将答案写在答题纸上
评卷人 得分

一、选择题(5*6=30 分)

1. 已 知 函 数

的图象经过三点





,则

的值等于





A.0

B.1

C.

D.25

2.已知函数 假 命题的是 . (

关于 的方程 )

,下列四个命题中是

A.存在实数 ,使得方程恰有 2 个不同的实根; B.存在实数 ,使得方程恰有 4 个不同的实根; C.存在实数 ,使得方程恰有 6 个不同的实根; D.存在实数 ,使得方程恰有 8 个不同的实根;

3.函数 定义在正整数有序对的集合上,并满足 ,则 A.364 B.182 C.91 的值为 D.无法计算 ( )

4. 值范围是 A. C.

二次函数

的图象的一部分如图,则 a 的取 ( )

B. D.

5.关于 x、y 的方程 A.16 B.24

的正整数解(x,y)的个数为 ( C.32 D.48



6.设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆, 动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心轨迹不 可能是 ( )

第 II 卷(非选择题) 请将答案写在答题纸上
评卷人 得分

二、填空题(6*6=36 分)

7.定义: 区间 值域为 ,则区间

的长度为

. 已知函数

的定义域为

,

长度的最大值与最小值的差等于________.

8.设

是(3 +

)n 的展开式中 x 项的系数(n=2, 3, 4,? ), 则当 n>100 时,

+

+?+

的整数部分的值为

.

9. 平面上给定Δ A1A2A3 及点 p0,定义 As=As-3,s≥4,构造点列 p0,p1,p2,?,使得 pk+1 为绕中心 Ak+1 顺时针旋转 120 时 pk 所到达的位置,k=0,1,2,?,若 p1986=p0.则Δ A1A2A3 为 角形。
0



10.设数列{an}的各项依次是 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,?,(1 个 1,2 个 2,?,k 个 k, ?) 则数列的第 100 项等于 ; 前 100 项之和等于 。 11.设 90°,则 k= ,在三角形 ABC 中,A=90°,则 k= ;若 C=90°,则 k= . ,若 B=

12.用 3 个 2(不加任何运算符号)可以组成形如 用 4 个 2 可以组成类似形式的数
评卷人 得分

的四个数,那么 ;

个, 其中最大的是

三、解答题(共 54 分,12,14,14,14 分)

13.(本题满分 12 分)

如图, 曲线 曲线

是以原点 O 为中心、

为焦点的椭圆的一部分, 和

是以 O 为顶点、 为焦点的抛物线的一部分,A 是曲线

的交点且 (Ⅰ)求曲线 (Ⅱ)过 和 的方程;

为钝角,若



.

作一条与 轴不垂直的直线,分别与曲线

依次交于 B、C、D、

E 四点,若 G 为 CD 中点、H 为 BE 中点,问 值;若不是说明理由.

是否为定值?若是求出定

14.对于凸多边形 P 的每一边 b, 以 b 为一边在 P 内作一个面积最大的三角形. 证 明,所有这些三角形的面积之和不小于 P 的面积的两倍. 15.设 为 n 次(n>1)整系数多项式,k 是一个正整数.考虑多项式 ,其中 P 出现 k 次.证明,最多存在 n 个整数 t,使 得 .

16.求最小实数 M,使得对一切实数 a,b,c 都成立不等式

试卷答案
1.D 解析:由已知,设







, ,选 D

, 所 以

2.D 解析:设 当 3.A 4.C 解析: 由图象可知 a<0 且过点(0,1)和(1,0),由二次函数的对称性知,当 x=-1 时 y>0, 于是高 代入得 ;将 ,即 代入得 ,即 . 将 (0,1) ,所以 ,B 答案正确;当 时,A 答案正确; 时,C 答案正确;选 D。

5.D. 解析:由 得 ,整理得 ,从而,原方程的正整数解 有 6.A (组)

解析:设圆 O1 和圆 O2 的半径分别是 r1、r2,|O1O2|=2c,则一般地,圆 P 的圆心轨 迹是焦点为 O1、O2,且离心率分别是 和 的圆锥曲线(当 r1=r2 时,O1O2 的中垂线是轨迹的一部份,当 c=0 时,轨迹是两个同心圆)。 当 r1=r2 且 r1+r2<2c 时,圆 P 的圆心轨迹如选项 B;当 0<2c<|r1?r2|时,圆 P 的圆心轨迹如选项 C;当 r1≠r2 且 r1+r2<2c 时,圆 P 的圆心轨迹如选项 D。 由于选项 A 中的椭圆和双曲线的焦点不重合,因此圆 P 的圆心轨迹不可能是 选项 A。 7.8 8.17 9.等边
令 u= ,由题设, 约定用点同时表示 它们对应的复数,取给 定平面为复平面, 则

p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2,

①?u2+②?(-u)得 p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w 为与 p0 无关的常数。同理得 p6=w+p3=2w+p0,?,p1986=662w+p0=p0,所以 w=0,从而 A3-uA2+u2A1=0.由 u2=u-1 得 A3-A1=(A2-A1)u,这说明Δ A1A2A3 为正三角形。 10.14;945

11. 12.8;

13.(Ⅰ)解法一:设椭圆方程为 得 .

,则





,则





两式相减得

,由抛物线定义可知

,则



(舍去)

所以椭圆

方程为

,抛物线

方程为

. 解法二:过 直于该准线, 作 所以 轴于 ,则由抛物线的定义得 , 作垂直于 轴的直线 ,即抛物线的准线,作 垂





,所以 c=1,︱OM︱=

(

,得

),

因而椭圆

方程为

,抛物线

方程为

. (Ⅱ)设 把直线

14.证明:过 P 的每个顶点有唯一的直线平分 P 的面积,将该直线与 P 的边界的 另一交点也看作 P 的顶点(允许若干个相继顶点共线).每两条面积平分线都交 于 P 内.P 可 看成一个 2n 边形 2,…,n, 到, ).设 ,每条对角线 与 交于 是 P 的面积平分线(i=1, ( ),由面积关系得

, 中必有一个不小于 1,于是以 积

, 故



为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面 .

对于每条有向线段 T在 和

,P 内部的每一点 T 或在它的左侧或在它的右侧.由于 的相反侧,故必有 i 使得 T 在 或 中.即 和 .于是 的

相反侧,从而T在

P 中同一边上的各个 积.

之和就是该边上的面积最大的内接三角形面

15.证明:若 Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点,结论显然成立.

设有整数

使得



.作递推数列 的每一

.它以 k 为周期.差分数列 项整除后一项.由周期性及 ,所有 为同一个正整数 .令 . 数列的周期为 2.即 整除,故 号,推出 是 P 的 2-周期点. (允许 b=a).则 与

设 a 是 P 的另一个 2-周期点, ,同理 ,矛盾. .记

互相

.展开绝对值号,若二者同取正

故必有一个取负号而得到 数不动点都是方程 次.故得本题结论. 16.解析: . 设 原不等式成为

,我们得到:Q 的每个整

的根.由于 P 的次数 n 大于 1,这个方程为 n

, 则 .



中两个同号而与另一个反号.不妨设 , =

.则 .于是由算术-几何平均不等式

即 等号在 求的最小的

时原不等式成立. , . ,即 时达到,故所

清北学长精心打造——北约自主招生数学模拟试题五
一选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 设等差数列{an }满足 3a8=5a13 且 a1>0,Sn 为其前项之和,则 Sn 中最大的是( (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 )

2. 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1, Z2, ?, Z20, 1995 1995 1995 则复数 Z 1 ,Z 2 ,?,Z 20 所对应的不同的点的个数是( )

(A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大, 则称甲不亚于乙, 在 100 个小伙子中, 如果某人不亚于其他 99 人,就称他为棒小伙子,那么,100 个小伙子中的棒小伙子最多可 能有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 4. 已知方程|x-2n|=k (n∈N*)在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则 k 的取 值范围是( ) (A)k>0 1 1 (C)2n+1<k≤2n+1 1 (B)0<k≤2n+1 (D)以上都不是

5. logsin1cos1,logsin1tan1,logcos1sin1,logcos1tan1 的大小关系是 (A) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1 (B) logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1 (C) logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1 (D) logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin1 6. 设 O 是正三棱锥 P—ABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S, 1 1 1 与 PA,PB 的延长线分别交于 Q,R,则和式PQ+PR+PS (A)有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数 二、填空题(每小题 8 分,共 48 分) 1.arcsin(sin2000?)=__________. 32 33 2 .设 an 是 (3?)n 的展开式中 x 项的系数 (n=2 , 3, 4 , ? ) ,则 limn→∞( a2 +a3 + ?+ 3n an ))=________. 3. 用[x]表示不大于实数 x 的最大整数, 方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是 . 4. 直角坐标平面上,满足不等式组 x+y≤100 的整点个数是 . 5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可使用,那么不同的染色方法的总数是 . 6. 设 M={1,2,3,?,1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x∈A 时,15x?A,则 A 中元素的个数最多是 . 三。解答题 一、(16 分) 给定曲线族 2(2sinθ-cosθ+3)x2-(8sinθ+cosθ+1)y=0,θ 为参数,求该曲线在直 线 y=2x 上所截得的弦长的最大值.

二、(18 分) 求一切实数 p,使得三次方程 5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p 的三 个根均为正整数.

三、(18 分) 如图,菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E,F,G,H,在弧 EF 与 GH 上分别作圆 O 的切线交 AB 于 M,交 BC 于 N,交 CD 于 P,交 DA 于 Q,求证: MQ∥ NP.

四、(20 分) 将平面上的每个点都以红,蓝两色之一着色。证明:存在这样两个相似的三角 形,它们的相似比为 1995,并且每一个三角形的三个顶点同色.

2014 年全国高校自主招生数学模拟试卷五参考 答案
一、选择题] 1. 设等差数列{an}满足 3a8=5a13 且 a1>0,Sn 为其前项之和,则 Sn 中最 大的是( (A)S10 ) (B)S11 (C)S20 (D) S21

2 2 2 解:3(a+7d)=5(a+12d),?d=-39a,令 an=a-39a (n-1)≥0,an+1= a-39a n<0,得 n=20.选 C. 2. 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1, Z2, ?, Z20, 1995 1995 1995 则复数 Z 1 ,Z 2 ,?,Z 20 所对应的不同的点的个数是( (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 )

π π 20 - 解: 设 z1=cosθ+isinθ, 则 zk=z1εk 1, 其中 ε=cos10+isin10. ε =1. ε15=-i, ε10=-1, ε5=i. ∴ zk1995=(cos1995θ+isin1995θ) ε1995(k 1)= (cos1995θ+isin1995θ)(-i)k 1. ∴ 共有 4 个值.选 A. 3. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大, 则称甲不亚于乙, 在 100 个小伙子中, 如果某人不亚于其他 99 人,就称他为棒小伙子,那么,100 个小伙子中的棒小伙子最多可 能有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 解:把身高按从高到矮排为 1~100 号,而规定二人比较,身高较高者体重较小,则每个 人都是棒小伙子.故选 D. 4. 已知方程|x-2n|=k(n∈N*)在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则 k 的取 值范围是( )
- -

(A)k>0 1 1 (C)2n+1<k≤2n+1

1 (B)0<k≤2n+1 (D)以上都不是

解:由|x-2n|≥0,故 k≥0,若 k=0,可知在所给区间上只有 1 解.故 k>0. 1 由图象可得,x=2n+1 时,k≤1.即 k≤2n+1.故选 B. 又解: y=(x-2n)2 与线段 y=k2x(2n-1<x≤2n+1)有两个公共点. x2-(4n+k2)x+4n2=0 有(2n - 1, 2n+1]上有两个根.故△ =(4n+k2)2 - 16n2>0.且 (2n- 1)2- (4n+k2)(2n- 1)+4n2>0 , 1 1 (2n+1)2-(4n+k2)(2n+1)+4n2≥0,2n-1<2n+2k2<2n+1.? k≤2n+1. 5. logsin1cos1,logsin1tan1,logcos1sin1,logcos1tan1 的大小关系是 (A) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1 (B) logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1 (C) logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1 (D) logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin1

解 : p<1<p , 故 0<cos1<sin1<1<tan1 . ? logsin1tan1<0 , logcos1tan1<0 , logsin1cos1>0,logcos1sin1>0, 设 logsin1cos1=a , 则 得 (sin1)a=cos1<sin1 , a>1 ; logcos1sin1=b , 则 (cos1)b=sin1>cos1,0<b<1;即 logcos1sin1< logsin1cos1. 设 logsin1tan1=c,logcos1tan1=d,则得(sin1)c =(cos1)d=tan1,(指数函数图象进行比较), c<d.即 logsin1tan1<logcos1tan1 故选 C. 6. 设 O 是正三棱锥 P—ABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S, 1 1 1 与 PA,PB 的延长线分别交于 Q,R,则和式PQ+PR+PS (A)有最大值而无最小值 (B)有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数 解:O 到面 PAB、PBC、PCA 的距离相等.设∠APB=α,则 1 VPQRS=6d(PQ· PR+PR· PS+PS· PQ)sinα.(其中 d 为 O 与各侧面的距离). 1 VPQRS=6PQ· PR· PSsinαsinθ.(其中 θ 为 PS 与面 PQR 的夹角) ∴ d(PQ· PR+PR· PS+PS· PQ)=PQ· PR· PSsinθ. 1 1 1 sinθ ∴ PQ+PR+PS= d 为定值.故选 D. 二、填空题 1.arcsin(sin2000?)=__________. π 解:2000° =180° ?12-160° .故填-20° 或-9. 32 33 2 .设 an 是 (3?)n 的展开式中 x 项的系数 (n=2 , 3, 4 , ? ) ,则 limn→∞( a2 +a3 + ?+ 3n an ))=________. 2 3k 2· 32 18 - 解:an=3n 2Cn.∴ ak =n-1=n-1,故填 18. 3. 用[x]表示不大于实数 x 的最大整数, 方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是 解:令 lgx=t,则得 t2-2=[t].作图象,知 t=-1,t=2,及 1<t<2 内有一解. 1 当 1<t<2 时,[t]=1,t=.故得:x=10,x=100,x=10,即共有 3 个实根. 4. 直角坐标平面上,满足不等式组 x+y≤100 的整点个数是 . 解:如图,即△OAB 内部及边界上的整点.由两轴及 x+y=100 围成区域(包括边界) 内的整点数=1+2+3+?+101=5151 个. 1 1 由 x 轴、y=3x,x+y=100 围成区域(不包括 y=3x 上)内的整点数(x=1,2,3 时各有 1 个 整点,x=4,5,6 时各有 2 个整点,?,x=73,74,75 时有 25 个整点,x=76,77,?,100 时依次有 25 , 24 ,?, 1 个整点.共有 3 ? 1+3 ? 2+ ? +3 ? 25+25+24+ ? +1=4(1+2+ ? +25)=1300.由对称性,由 y 轴、y=3x、x+y=100 围成的区域内也有 1300 个整点. ∴所求区域内共有 5151-2600=2551 个整点. .

5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可使用,那么不同的染色方法的总数是 . 解:顶点染色,有 5 种方法, 4 1 底面 4 个顶点,用 4 种颜色染,A4=24 种方法,用 3 种颜色,选 1 对顶点 C2,这一对 1 2 1 1 2 顶点用某种颜色染 C4,余下 2 个顶点,任选 2 色染,A3种,共有 C2C4A3=48 种方法;用 2 2 种颜色染: A4=12 种方法; ∴共有 5(24+48+12)=420 种方法. 6. 设 M={1,2,3,?,1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x∈A 时,15x?A,则 A 中元素的个数最多是 . 解:1995=15× 133.故取出所有不是 15 的倍数的数,共 1862 个,这此数均符合要求. 在所有 15 的倍数的数中,152 的倍数有 8 个,这此数又可以取出,这样共取出了 1870 个.即|A|≥1870. 又{k, 15k}(k=9, 10, 11, ?, 133)中的两个元素不能同时取出, 故|A|≤1995-133+8=1870. 一、给定曲线族 2(2sinθ-cosθ+3)x2-(8sinθ+cosθ+1)y=0,θ 为参数,求该曲线在直线 y=2x 上所截得的弦长的最大值. 8sinθ+cosθ+1 解:以 y=2x 代入曲线方程得 x=0,x=2sinθ-cosθ+3. ∴ 所求弦长 l=2sinθ-cosθ+3.故只要求|x|的最大值即可. 由(2x-8)sinθ-(x+1)cosθ=1-3x.?(2x-8)2+(x+1)2≥(1-3x)2,即 x2+16x-16≤0. 24 7 解之得,-8≤x≤2.即|x|≤8(当 sinθ=±25,cosθ=?25时即可取得最大值).故得最大弦 长为 8. 二、 求一切实数 p,使得三次方程 5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p 的三个根均为正整数. 解:x=1 是方程的一个根.于是只要考虑二次方程 5x2-5px+66p-1=0 的两个根为正整数即可. 设此二正整数根为 u、v.则由韦达定理知, ② 消去 p,得 5uv-66(u+v)=-1.同乘以 5:52uv-5?66u-5?66v=-5. ∴ (5u-66)(5v-66)=662-5=4351=19?229.由于 u、v 均为整数,故 5u-66、5v-66 为整数. ∴ 5v-66=4351,-4351,229, -229. ∴ 其中使 u、v 为正整数的,只有 u=17,v=59 这一组值.此时 p=76. 三、如图,菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E,F,G,H,在弧 EF 与 GH 上分别作 圆 O 的切线交 AB 于 M,交 BC 于 N,交 CD 于 P,交 DA 于 Q,求证: MQ∥NP. 分析 要证 MQ∥NP,因 AB∥DC,故可以考虑证明∠AMQ=∠CPN.现∠A=∠C,故 可证Δ AMQ∽Δ CPN.于是要证明 AM∶AQ=CP∶CN.

ABC=2? , ∠ BMN=2γ.则

证 明 设 ∠ BNM=2? , ∠

1 由 ON 平分∠ONM,得∠ONC=∠ONM=2(180?-2?)=90?-?; 同理,∠OMN=∠OMA=90?-γ. 而∠CON=180?-∠OCN-∠ONC=?+?=90?-γ,于是Δ CON∽Δ AMO, ∴AM∶AO=CO∶CN,即 AM· CN=AO2. 同理,AQ· CP=AO2,∴AM· CN=AQ· CP. ∴Δ AMQ∽Δ CPN,∴∠AMQ=∠CPN. ∴MQ∥NP.

四、将平面上的每个点都以红,蓝两色之一着色.证明:存在这样两个相似的三角形, 它们的相似比为 1995,并且每一个三角形的三个顶点同色. 证明:首先证明平面上一定存在三个顶点同色的直角三角形. 任取平面上的一条直线 l,则直线 l 上必有两点同色.设此两点为 P、Q,不妨设 P、Q 同着红色.过 P、Q 作 直线 l 的垂线 l1、l2,若 l1 或 l2 上有异于 P、Q 的点着红色,则存在 红色直角三角形.若 l1、l2 上除 P、Q 外均无红色点,则在 l1 上任取异于 P 的两点 R、S,则 R、S 必着蓝色,过 R 作 l1 的垂线交 l2 于 T,则 T 必着蓝色.△RST 即为三顶点同色的直角 三角形. 设直角三角形 ABC 三顶点同色(∠B 为直角).把△ABC 补成矩形 ABCD(如图).把矩形 的每边都分成 n 等分(n 为正奇数, n>1, 本题中取 n=1995). 连结对边相应分点, 把矩形 ABCD 2 分成 n 个小矩形. AB 边上的分点共有 n+1 个,由于 n 为奇数,故必存在其中两个相邻的分点同色,(否则 任两个相邻分点异色,则可得 A、B 异色),不妨设相邻分点 E、F 同色.考察 E、F 所在的 小矩形的另两个顶点 E?、F?,若 E?、F?异色,则△EFE?或△DFF?为三个顶点同色的小直角 三角形.若 E?、F?同色,再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形,?.这样依次考察过 去,不妨设这一行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色. 同样,BC 边上也存在两个相邻的顶点同色,设为 P、Q,则考察 PQ 所在的小矩形,同 理,若 P、Q 所在小矩形的另一横边两个顶点异色,则存在三顶点同色的小直角三角形.否 则,PQ 所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色. 现考察 EF 所在行与 PQ 所在列相交的矩形 GHNM,如上述,M、H 都与 N 同色,△ MNH 为顶点同色的直角三角形. 由 n=1995,故△MNH∽△ABC,且相似比为 1995,且这两个直角三角形的顶点分别同 色. 证明 2:首先证明:设 a 为任意正实数,存在距离为 2a 的同色两点.任取一点 O(设为 红色点),以 O 为圆心,2a 为半径作圆,若圆上有一个红点,则存在距离为 2a 的两个红点, 若圆上没有红点,则任一圆内接六边形 ABCDEF 的六个顶点均为蓝色,但此六边形边长为 2a.故存在距离为 2a 的两个蓝色点. 下面证明:存在边长为 a,a,2a 的直角三角形,其三个顶点同色.如上证,存在距离 为 2a 的同色两点 A、B(设为红点),以 AB 为直径作圆,并取圆内接六边形 ACDBEF,若 C、 D、E、F 中有任一点为红色,则存在满足要求的红色三角形.若 C、D、E、F 为蓝色,则 存在满足要求的蓝色三角形.

下面再证明本题:由上证知,存在边长为 a,a,2a 及 1995a,1995a,1995?2a 的两个 同色三角形,满足要求. 证明 3:以任一点 O 为圆心,a 及 1995a 为半径作两个同心圆,在小圆上任取 9 点,必 有 5 点同色,设为 A、B、C、D、E,作射线 OA、OB、OC、OD、OE,交大圆于 A?,B?, C?,D?,E?,则此五点中必存在三点同色,设为 A?、B?、C?.则?ABC 与?A?B?C?为满足要 求的三角形.

清北学长精心打造——北约自主招生数学模拟试题六
选择题(36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x|≤0},B={x|10=10x},则 A∩?RB 是( (A){2} (B){?1} (C){x|x≤2} ) ) (D ) ?

α α α 2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin3>cos3,则3的取值范围是( π π (A)(2k?+6,2k?+3), k?Z 5π (C)(2k?+ 6 ,2k?+?),k? Z

2kπ π 2kπ π (B)( 3 + 6, 3 +3),k? Z π π 5π (D)(2k?+4,2k?+3)∪(2k?+ 6 ,2k?+?),k? Z

3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是 等边三角形,则△ABC 的面积是( ) 3 (A) 3 3 (B) 2 (C)3 (D)6

4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差 数列,则一元二次方程 bx2?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有 两个异号实根 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y=3x+5的距离中的最小值是( 34 (A) 170 34 (B) 85 1 (C) 20 ) 1 (D) 30 )

π π 6.设 ω=cos5+isin5,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是( (A)x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

(B) x4?x3+x2?x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0

α 1. 设 α,β 为一对共轭复数,若|α-β|=2,且β2为实数,则|α|= 2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 . 3.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________.



x2 y2 4.在椭圆a2 +b2=1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若 5-1 该椭圆的离心率是 2 ,则∠ABF=_________. 5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是 ________. 6.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, ____ 那么,可以组成的不同的四位数 abcd(____)abcd 的个数是_________ 三、解答题(60 分,每小题 20 分) Sn 1.设 Sn=1+2+3+?+n,n?N*,求 f(n)=Sn+1的最大值.

1 13 2.若函数 f(x)=-2x2+ 2 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b].

x2 y2 3.已知 C0:x2+y2=1 和 C1:a2 +a2 =1 (a>b>0).试问:当且仅当 a,b 满足什么条件 时,对 C1 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证 明你的结论.

2014 年全国高校自主招生数学模拟六参考答案
一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x|≤0},B={x|10=10x},则 A∩?RB 是( (A){2} (B){?1} 解:A={2},B={2,-1},故选 D. (C){x|x≤2} ) (D ) ?

α α α 2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin3>cos3,则3的取值范围是( π π (A)(2k?+6,2k?+3), k?Z 5π (C)(2k?+ 6 ,2k?+?),k? Z

)

2kπ π 2kπ π (B)( 3 + 6, 3 +3),k?Z π π 5π (D)(2k?+4,2k?+3)∪(2k?+ 6 ,2k?+?),k?Z

π α 2kπ π 2kπ 解:满足 sin?>0, cos?<0 的 α 的范围是(2k?+2,2k?+π),于是3的取值范围是( 3 +6, 3 π +3), α α α π 5π π π 满足 sin3>cos3的3的取值范围为(2k?+4, 2k?+ 4 ). 故所求范围是(2k?+4, 2k?+3)∪(2k?+ 5π 6 ,2k?+?),k?Z.选 D. 5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是 ________. 3 解:取球心 O 与任一棱的距离即为所求.如图,AE=BE=2a, 6 6 3 AG=3a,AO=4a,BG=3a,AB∶AO=BG∶OH. AO· BG 2 4 2 2 OH= AB =4a.V=3πr3=24πa3.填24πa3.. 6.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,23.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和 点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三角形,则△ABC 的面积是( ) 3 (A) 3 3 (B) 2 (C)3 (D)6

3 解:A(-1,0),AB 方程:y=3(x+1),代入双曲线方程,解得 B(2,), ∴ S=3.选 C. 4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差 数列,则一元二次方程 bx2?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有 两个异号实根 2p+q p+2q 解:a2=pq,b+c=p+q.b= 3 ,c= 3 ;

1 1 2 4 △ =a2 - bc=pq - 9 (2p+q)(p+2q)= - 9 (p - q)2<0. 选 A. 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y=3x+5的距离中的最小值是( 34 (A) 170 34 (B) 85 1 (C) 20 1 (D) 30 )

|25x-15y+12| 5x-3y+2+2| 解:直线即 25x-15y+12=0.平面上点(x,y)到直线的距离= 34 = 34 . ∵5x-3y+2 为整数,故|5(5x-3y+2)+2|≥2.且当 x=y=-1 时即可取到 2.选 B. π π 6.设 ω=cos5+isin5,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是( )

(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4?x3+x2?x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0 解:ω5+1=0,故?,?3,?7,?9 都是方程 x5+1=0 的根.x5+1=(x+1)(x4-x3+x2-x+1)=0.选 B. 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) α 1. 设 α,β 为一对共轭复数,若|α-β|=2,且β2为实数,则|α|= 解:设 α=x+yi,(x,y∈R),则|α-β|=2|y|.∴y=±. 2 设 argα=θ,则可取 θ+2θ=2π,(因为只要求|α|,故不必写出所有可能的角).θ=3π,于是 x=±1.|α|=2. 2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 . 解:设球半径为 R,其内接圆锥的底半径为 r,高为 h,作轴截面,则 r2=h(2R-h). 1 π π π 8 4 3 V 锥=3πr2h=3h2(2R-h)=6h· h(4R-2h)≤63=27· 3πR . ∴ 所求比为 8∶27. 3.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. a+log43 a+log83 a+log83 log43-log83 1 1 解:q=a+log23=a+log43=a+log43=log23-log43=3.填3. x2 y2 4.在椭圆a2 +b2=1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若 5-1 该椭圆的离心率是 2 ,则∠ABF=_________. 5-1 5+1 5+3 解:c= 2 a,∴|AF|= 2 a.|BF|=a,|AB|2=|AO|2+|OB|2= 2 a2. 故有|AF|2=|AB|2+|BF|2.即∠ABF=90° .填 90° . 5-1 或由 b2=a2-c2= 2 a2=ac,得解. ,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, .

____ 那么,可以组成的不同的四位数 abcd(____)abcd 的个数是_________ 解:a、c 可以相等,b、d 也可以相等. 2 ⑴ 当 a、c 相等,b、d 也相等时,有 C4=6 种; 2 2 ⑵ 当 a、c 相等,b、d 不相等时,有 A3+A2=8 种; 1 1 1 ⑶ 当 a、c 不相等,b、d 相等时,有 C3C2+C2=8 种; 3 ⑷ 当 a、c 不相等,b、d 也不相等时,有 A3=6 种;共 28 种.填 28. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) Sn 1.设 Sn=1+2+3+?+n,n?N*,求 f(n)=Sn+1的最大值. 1 n+1 64 1 1 解:Sn=2n(n+1),f(n)= n+2 = n ≤503.(n=8 时取得最大值). 1 13 2.若函数 f(x)=-2x2+ 2 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 1 13 1 13 解:⑴ 若 a≤b<0,则最大值为 f(b)=-2b2+ 2 =2b.最小值为 f(a)=-2a2+ 2 =2a.即 a, b 是方程 x2+4x-13=0 的两个根,而此方程两根异号.故不可能. 13 13 ⑵ 若 a<0<b,当 x=0 时,f(x)取最大值,故 2b= 2 ,得 b= 4 . 1 13 当 x=a 或 x=b 时 f(x)取最小值,①f(a)=-2a2+ 2 =2a 时.a=-2±,但 a<0,故取 a=- 1 13 39 2-.由于|a|>|b|,从而 f(a)是最小值.②f(b)=-2b2+ 2 =32=2a>0.与 a<0 矛盾.故舍. ⑶ 0≤a<b.此时,最大值为 f(a)=2b,最小值为 f(b)=2a. 1 13 1 13 ∴ -2b2+ 2 =2a.-2a2+ 2 =2b.相减得 a+b=4.解得 a=1,b=3. 13 ∴ [a,b]=[1,3]或[-2-, 4 ].

x2 y2 3.已知 C0:x2+y2=1 和 C1:a2 +a2 =1 (a>b>0).试问:当且仅当 a,b 满足什么条件 时,对 C1 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证 明你的结论. 解:设 PQRS 是与 C0 外切且与 C1 内接的平行四边形.易知圆的外切平行四边形是菱 形.即 PQRS 是菱形.于是 OP⊥OQ. 设 P(r1cosθ , r1sinθ) , Q(r2cos(θ+90° ) , r2sin(θ+90° ) , 则 在 直 角 三 角 形 POQ 中 有 2 2 2 2 r1 +r2 =r1 r2 (利用△POQ 的面积).即 1+2=1. cos2θ sin2θ 但 a2+b2=1,即 1= a2 + b2 ,

sin2θ cos2θ 1 1 同理,2= a2 + b2 ,相加得a2+b2=1. 1 1 反 之 , 若 a2 + b2 =1 成 立 , 则 对 于 椭 圆 上 任 一 点 P(r1cosθ , r1sinθ) , 取 椭 圆 上 点 cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ 1 1 Q(r2cos(θ+90° ),r2sin(θ+90° ),则 1= a2 + b2 ,,2= a2 + b2 ,,于是 1+2=a2+b2=1, 此时 PQ 与 C0 相切.即存在满足条件的平行四边形. 故证.


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